bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao Đẳng năm 2002
đề chính thức
Môn thi : toán, Khối B.
(Thời gian làm bài : 180 phút)
_____________________________________________
Câu I. (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,5 điểm)
Cho hàm số :
(
)
109
224
++= xmmxy (1) ( m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1=m
.
2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
Câu II. (ĐH : 3,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm)
1. Giải phơng trình: xxxx 6cos5sin4cos3sin
2222
= .
2. Giải bất phơng trình:
(
)
1)729(loglog
3

x
x
.
3. Giải hệ phơng trình:



0;
2
1
I
, phơng trình đờng thẳng AB là 022
=+ yx
và ADAB 2
=
. Tìm tọa độ các đỉnh
DCBA ,,, biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
2. Cho hình lập phơng
1111
DCBABCDA có cạnh bằng
a
.
a) Tính theo
a
khoảng cách giữa hai đờng thẳng BA
1
và DB
1
.
b) Gọi PNM ,, lần lợt là các trung điểm của các cạnh CDBB ,
1
,
11
DA . Tính góc giữa
hai đờng thẳng MP và NC
1

Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002
Đáp án và thang điểm đề thi chính thức
Môn toán, khối b

Câu
ý Nội dung ĐH CĐ
I
1
Với
1=m
ta có 108
24
+= xxy là hàm chẵn đồ thị đối xứng qua Oy .
Tập xác định
Rx ,
(
)
44164'
23
== xxxxy , 0'
=
y



=
=

2
0

2x
'y

0
+

0


0 +

"y + 0

0
+

+ 10 +
y
lõm U CĐ U lõm
CT lồi CT
6 6
Hai điểm cực tiểu :
()
6;2
1
A
và






9
10
;
3
2
2
U .
Giao điểm của đồ thị với trục tung là
(
)
10;0B .
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ:

64 +=x và 64 =x .
0,25 đ

5,1 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
x 0
10
y



=+
=
=
092
0
0'
22
mmx
x
y

Hàm số có ba điểm cực trị phơng trình
0'
=
y
có 3 nghiệm
phân biệt (khi đó 'y đổi dấu khi qua các nghiệm)

phơng trình

092
22
=+ mmx
có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
092
22
=+ mmx


m

Vậy hàm số có ba điểm cực trị



<<
<

.30
3
m
m


0,1
đ
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ



+


=
+

()()
06cos8cos10cos12cos
=
+
+ xxxx

()
07cos11coscos = xxx

02sin9sincos = xxx.
2
9
02sin9sin Zk
k
x
k
x
xx



0,1
đ

0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ
2 (
)
1)729(loglog
3

x
x
(1).

729log)1(
3(
)
072333729
2

xxxx
(3).
Đặt
x
t 3= thì (3) trở thành

293898072
2
xttt
x
.
Kết hợp với điều kiện (2) ta đợc nghiệm của bất phơng trình là:

273log
9

<
x .

www.Toancapba.net
www.Toancapba.net
3

3

3






++=+
=
).2(2
)1(
3
yxyx
yxyx
Điều kiện: )3(
.0
0



+

yx
yx

== yx
.
Kết hợp với điều kiện (3) hệ phơng trình có 2 nghiệm:

1,1 =
=
yx
và
2
1
,
2
3
== yx

Chú ý:
Thí sinh có thể nâng hai vế của (1) lên luỹ thừa bậc 6 để di đến kết quả:




+=
=
.1yx
yx


0,1
đ
0,25 đ


Tìm giao điểm của hai đờng cong
4
4
2
x
y =
và
24
2
x
y =
:
4
4
2
x

=
24
2




=
8
0
22
24
4
42
21
8
0
2
8
0
2
22
1
16
SSdxxdxx ==

.
Để tính
1
S ta dùng phép đổi biến tx sin4
=
, khi
4
0

0,25 đ

0,25 đ

5,1 đ


y
-2
2
2
2
2
A
2
A
1
4
x
4y
2
=
24
x
y
2
=
www.Toancapba.net
www.Toancapba.net
4

4
()
422cos18cos1616
4
0
4

4
2
21
+==

SSS .
Chú ý: Thí sinh có thể tính diện tích dx
xx
S










=
8
8
22
24
4
4
.

0,25 đ


2
5
==
IBIA .
Do đó BA, là các giao điểm của đờng thẳng
A
B với đờng tròn tâm
I
và bán
kính
2
5
=
R . Vậy tọa độ BA, là nghiệm của hệ :












=+




là hình chiếu của
I
trên đờng thẳng AB .
Sau đó tìm
BA,
là giao điểm của đờng tròn tâm
H
bán kính
HA
với đờng
thẳng AB .
0,1 đ 0,25 đ
0,5 đ

0,5 đ

0,25 đ
x
C
I
O
A
D
B
H
y
www.Toancapba.net
www.Toancapba.net

)
(
)
(
)( )
aaDaaaCaaBaaCaAaDaBA ;;0,;;;;0;;0;;;0;0,0;;0,0;0;,0;0;0
1111

() ()()
0;0;,;;,;0;
1111
aBAaaaDBaaBA === và
[
]
(
)
222
11
;2;, aaaDBBA = .
Vậy
()
[
]
[]
66
,
.,
,
2
3

111
BCADB .
Gọi
()
111
BCADBG = . Do aCBBBAB
=
=
=
11111
nên
GGCGBGA ==
11
là tâm tam giác đều
11
BCA có cạnh bằng 2a .
Gọi
I là trung điểm của BA
1
thì IG là đờng vuông góc chung của BA
1
và
DB
1
, nên
()
6
2
3
3

là:
022 =++ azyx
và tính khoảng cách từ
1
A (hoặc từ B) tới
(
)
Q .


0,1
đ 0,25 đ

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ


2b)
Cách I.
Từ Cách I của 2a) ta tìm đợc


















a
a
Pa
a
N
a
aM ;
2
;0,0;;

aa
aMP
.
Vậy NCMP
1
.

Cách II. Gọi
E
là trung điểm của
1
CC thì
0,5 đ
0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ


bằng số cặp đờng chéo lớn của đa giác
n
AAA
221
L tức
2
n
C .
Theo giả thiết thì:

0,1 đ

0,25 đ 0,25 đ
D
1

)
(
) ()
2
1
20
6
2212.2
!2!2
!
20
!32!3
!2
20
23
2

=




=

=
nnnnn
n
n
n
n