DẠY BÀI TẬP KHỐI ĐA DIỆN
A. Đặt vấn đề:
Mỗi mơn học trong chương trình tốn phổ thơng đều có vai trò rất quan
trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh.
Trong q trình giảng dạy, giáo viên ln phải đặt ra cái đích là giúp học
sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó
tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta
còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải tốn nhất là hình học
khơng gian của học sinh còn rất yếu. Chương Khối đa diện trong chương trình
hình học khối 12 là nội dung có thể nói là rất khó vì nó trừu tường, có nhiều kiến
thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhìn hình khơng gian,
khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập chưa cao… Xuất phát từ thực
tế trên tơi chuẩn bị một hệ thống bài tập chương khối đa diện dạy trong các tiết
bài tập trên lớp (trên cơ sở bài tập sách giáo khoa) để học sinh rèn kỷ năng giải
tốn trên khối đa diện và giúp mọi đối tượng học sinh lĩnh hội kiến thức cơ bản
nhất của chương.
I.Cơ sở lý luận:
Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế các tiết dạy bài tập về khối
đa diện mà trọng tâm là thể tích khối đa diện. Khi giải bài tập tốn, người học
phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài
tốn đã làm và bài tốn mới. Các tiết dạy bài tập của một chương phải được
thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư duy cho
học sinh trong q trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của học sinh. Hệ
thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản
nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã
học một cách linh hoạt vào giải tốn và trình bày lời giải. Từ đó học sinh có
hứng thú và động cơ học tập tốt.
II. Cơ sở thực tiển:
Trong q trình giảng dạy hình học khơng gian (chương trình cũ rơi vào lớp
11, chương trình mới rơi vào lớp 11 và 12) tơi thấy đa phần học sinh rất lúng
túng, kỹ năng giải tốn hình khơng gian còn yếu. Bên cạnh đó bài tập sách giáo

vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng, mặt
phẳng đã học ở lớp 11( đầu năm giành 1 tiết ôn tập trước khi dạy chương
trình 12)
+ Hệ thống bài tập giao cho học sinh trong các giờ bài tập của chương: được
đưa ra từ dễ đến khó, khai thác triệt để các bài tập trong sách giáo khoa kết
hợp đưa thêm bài tập ngoài bằng cách sắp xếp lại theo dạng.
+ Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong
sách giáo khoa có bài tôi thay đổi một số giả thiết về độ dài của một cạnh để
học sinh dễ tính toán, dễ tiếp thu; các bài tập khó tôi bổ sung thêm những
yêu cầu nhỏ để giảm bớt độ khó của bài.
+ Trước khi dạy mỗi dạng bài tập, giao bài tập về nhà cho học sinh chuẩn bị
trước.
+ Dạy xong các dạng giao bài tập tương tự về nhà cho các em luyện tập.
Bằng cách này học sinh yếu, trung bình có thể tiếp thu được những yêu cầu cơ
bản nhất của chương, học sinh khá nâng cao được kỷ năng giải toán, có hứng thú
trong học tập.
4
A
C
B
S
A'
C'
B'
A
C
B
H
B. Nội dung nghiên cứu:
I.Kiến thức cơ bản :

S AB AC=
,
ABC∆
đều cạnh a:
2
3
4
a
S =
3) Định lý đường trung bình, Talet.
4) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý:
;
, ;
d a d b
d
a b a b
α
α
⊥ ⊥

⇒ ⊥

⊂ ∩ ≠ ∅

5) Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý:
d
d a
a
α
α

nhau.
1) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách xác định chiều cao và
đáy của khối đa diện.
Phương pháp:
+ Xác định đáy và dựng được chiều cao khối đa diện.
+ Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc
đáy. Góc giữa SC và đáy bằng
60
ο
. M là trung điểm SC.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
5
B
O
C
D
A
I
M
HD
S
C
B
A
M

3 3
a
V a a
⇒ = =
b) Kẻ
/ / ( )MH SA MH DBC⇒ ⊥
Ta có:
1
2
MH SA=
,
1
2
BCD ABCD
S S=

3
D
1 2 6
4 3
MBC
a
V V
⇒ = =
Nhận xét:
+Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
+Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam
giác vuông.
Bài 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

2 2
ô ó :DOC vu ng c DO DC OC
∆ = −

6
3
a
=

2 3
1 3 6 2
.
3 4 3 12
a a a
V
⇒ = =
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M
đến mp(ABC) là MH
6
A'
C'
B
A
c
D
D'
B'
O
M
tích của khối

. D.AA'V AB A=

2 3
3. 3a a a
= =

2 2
ó : 2ABD c DB AB AD a
∆ = + =
.
* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và
đường cao giống khối hộp nên:

3
' ' ' '
1 3
3 3
OA B C D
a
V V
⇒ = =
b) M là trung điểm BC
( ' ')OM BB C⇒ ⊥
2 3
' ' ' '
1 1 3 3
. . .
3 3 2 2 12
O BB C BB C
a a a

diện.
Phương pháp: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính
thể tích.
(Trên cơ sở phát hiện những khối dễ xác định đường cao và diện tích đáy)
7
A'
C'
D'
D
A
C
B'
B
A
C
B
C'
A'
B'
I
E
F
J
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích
khối tứ diện ACB’D’.
Yêu cầu:
+Học sinh biết chọn đáy và chiều
cao đối với khối nhỏ đang tính
Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối

hộp” thành “hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu.
Sau đó, yêu cầu học sinh tự giải bài 3/25 sách giáo khoa ở nhà.
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối
CA’B’FE.
Yêu cầu:
+ Học sinh biết cách tính khối A’B’
BC
+Biết phân khối chóp CA’B’FE
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:
Gọi I là trung điểm AB, Ta có:

' ' ' '
1
.
3
A B BC A B B
V S CI
=

2 3
1 3 3
.
3 2 2 12
a a a
= =
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối
CEFA’ và CFA’B’.

C
S
I
N
M
thành hai khối chóp tam giác.
+ Biết được đường thẳng nào vuông
góc với mp(CEF), ghi công thức thể
tích cho khối CEFA’.
+ Tương tự cho khối CFA’B’
A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao
JA’ nên
' ' F FB'
1
. '
3
A B C C
V S A J
=

2
FB' '
1
2 4
C CBB
a
S S= =

2 3
' ' F

SA a
=
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng
α
qua AG và song song với
BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Yêu cầu:
+Học sinh ghi được thể tích khối
SABC và tính.
+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các
Lời giải:
a)Ta có:
.
1
.
3
S ABC ABC
V S SA
=
+
SA a
=
+
â ó : 2ABC c n c AC a AB a
∆ = ⇒ =

2
1
2

S
E
F
M
đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai
khối.
+ Nắm được công thức (*) để lập tỉ số
thể tích đối với khối chóp 2
3
SM SN SG
SB SC SI
⇒ = = =

4
.
9
SAMN
SABC
V
SM SN
V SB SC
⇒ = =
Vậy:
3
4 2
9 27
SAMN SABC

.
Ta có (AEMF) //BD
⇒
EF // BD
b)
. D D
1
.
3
S ABC ABC
V S SO
=
+
2
DABC
S a
=
+
SOC
∆
có :
6
.tan 60
2
a
SO AO
ο
= =

Vậy :

D
1
.
3
SAMF
SAC
V
SM SF
V SC SD
⇒ = =

3
D D
1 1 6
3 6 36
SAMF SAC SAC
a
V V V⇒ = = =
10
D
B
A
C
F
E
3 3
. EMF
6 6
2
36 18

DF
DB
.
+Biết dụng hệ thức trong tam giác
vuông để suy ra
DE
DA
Lời giải:
a)Tính
ABCD
V
Ta có:
3
1 1
.
3 3
ABCD ABC
V S AD a
= =
b) Ta có:
,AB AC AB CD⊥ ⊥

AB EC⇒ ⊥
Ta có:
DB EC⊥

( )EC ABD⇒ ⊥
c) Tính
EFDC
V

DF DC a
DB DB DC CB
= = =
+
Từ (*)
1
6
DCEF
DABC
V
V
⇒ =
.
Vậy
3
1
6 36
DCEF ABCD
a
V V= =
Nhận xét:
+ Kỷ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa được tốt.
+ Giáo viên giúp học sinh rút ra tỉ số
2
2
DE DC
DA DA
=
từ hệ thức
2


. ' 'S AC D
+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.
Lời giải:
a) Ta có:
3
.
1 2
.
3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA
= =
b) Ta có
( ) 'BC SAB BC AB⊥ ⇒ ⊥
Ta có
'SB AB
⊥
Suy ra:
' ( )AB SBC⊥
c) Tính
. ' ' 'S AB C D
V
+Tính
. ' 'S AB C
V
:
Ta có:
' ' '

3
SA B C
SABC
V
V
⇒ =

3 3
' ' '
1 2 2
.
3 3 9
SA B C
a a
V
⇒ = =
+
3
. ' ' ' . ' '
2 2
2
9
S AB C D S AB C
a
V V
= =
Nhận xét:
+ Bài toán này lấy từ bài tập 8/26 sách giáo khoa. Tuy nhiên, tôi thay đổi một
số giả thiết để phù hợp với khả năng của học sinh: “Hình chữ nhật” được thay
bởi hình vuông cạnh a, “Cạnh SA=c” được thay bởi

Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC và ABC đều cạnh a. Góc giữa
mp(SBC) và mp(ABC) bằng
60
ο
. Tính thể tích của khối chóp SABC.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có
( )SA ABC⊥
, tam giác ABC vuông cân tại A,
BC =
2a
, SA=2a. E là trung điểm SB, F là hình chiếu của A lên SC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Tính thể tích khối SAEF.
c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE)
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a, M
là trung điểm SB.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính thể tích khối chóp S.DCM
c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA tại N. Tính thể tích khối chóp S.MNDC
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ
nhật, AB = 2BC=a, SA= a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) AH, AK là đường cao của tam giác SAB và SAD. Tính thể tích của khối
S.AHK
C.Kết quả:
13
Với thời lượng 6 tiết bài tập, dưới sự hướng dẫn của giáo viên kết hợp thảo
luận trao đổi với nhau, học sinh giải được 9 bài tập mà trong đó bài sau có một
hay vài yêu cầu tương tự bài tập trước giúp học sinh có thể nắm, hiểu, làm bài tại
lớp. Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững

học sư phạm
MỤC LỤC
A. Đặt vấn đề ……………………………………………………3
I - Cơ sở lý luận .………………………………………………… 3
II - Cơ sở thực tiển .…………………………………………………. 3
15
III - Cách thực hiện ………………………………………………… 4
B. Nội dung nghiên cứu……………………………………………….
I - Kiến thức cơ bản …………………………………………………. 5
II - Nội dung chính
Bài tập dang 1 ……………………………………………………5
Bài tập dang 2 ……………………………………………………7
Bài tập dang 3 ……………………………………………………9
Bài tập tự luyện ………………………………………………… 13
C. Kết quả ………………………………………………… 14
D. Kết luận – Kiến nghị ……………………………………………… 14
Tài liệu tham khảo …………………………………………………15
16