CHUYấN TNH GI TR BIU THC Cể IU KIN
Ngời viết : Tễ MINH NHT
Đặt vấn đề
Bài tập tính giá trị của một biểu thức đại số có hai loại chính là :
- Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện dàng buộc giữa các
biến số
- Tính giá trị của biểu thức trong đó giá trị của các biến số lại bị dàng
buộc bởi một hoặc nhiều điều kiện nào đó
Ví dụ 1: Các bài tập sau đây là loại tính giá trị không có điều kiện
1) Tính f(2) biết f(x) = 5x
5
+ 4x
4
+ 3x
3
+ 2x
2
+ x + 1
2) Cho biểu thức :
A =
2 2 3 3
2
(1 ) 1 1
:
1 1 1
x x x x
x x
x x x


+

= 14
Tính giá trị của biểu thức : C = a
4
+b
4
+ c
4
3) Giả sử m , n thoả mãn mn = 3 là hai nghiệm phân biệt của
phơng trình :
x
4
+ a.x
3
+ b.x
2
+ a.x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức Q = 9a
2
48b + 2007 .
Việc luyện tập cho HSG có cách nhìn tổng quát về loại bài tập tính giá
trị của biểu thức đại số nói chung và tính giá trị của biểu thức có diều
kiện nói riêng là rất quan trọng .Nó giúp HS có một t duy toán học chặt
chẽ , chính xác , rèn luyện phép biến đổi đại số linh hoạt để HS tự tin
khi gặp các loại toán này.Tuy nhiên chuyên đề này chỉ bàn tập trung
vào loại tính giá trị với điều kiện cho trớc . Loại tính giá trị không có
điều kiện đã dợc bàn tới nhiều trong sách giáo khoa và sách bài tập
B . Nội dung chuyên đề
Loại 1 : Không tính đợc giá trị cụ thể của các biến số
Ví dụ 1 : Cho x+y = 3 Tính giá trị của biểu thức
A = x

( ) ( ) ( )
a b b c a c
abc
+ + +
Từ giả thiết: ( a + b )
3
+ c
3
- 3ab( a + b ) 3abc = 0

( a + b + c)( a
2
+ 2ab + b
2
- ac bc + c
2
) 3ab( a + b + c) = 0


( a + b + c )( a
2
+ b
2
+ c
2
- ab bc ca ) = 0
Vậy ta đợc a + b + c = 0 , hoặc a
2
+ b
2

2
+ ( c a)
2
= 0 . Vậy a = b = c
Khi đó B =
2 .2 .2b c a
bca
= 8
Ví dụ 3 : Cho 3 số dơng x , y , z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1
Tính giá trị của biểu thức
A =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
y z z x x y
x y z
x y z
+ + + + + +
+ +
+ + +

Ta thấy con số 1 trong điều kiện đã cho và trong biểu thiức có liên quan
với nhau, hãy tính riêng từng bộ phận :
1 + x
2
= xy + yz + zx + x
2
= y( x + z ) + x( x + z ) = ( x + y )( x + z )

Ta chỉ cần giải phơng trình x
2
+ 9y
2
= 6xy -
3x

để tìm giá trị của
x , y nh sau
Ta có x
2
+ 9y
2
= 6xy -
3x

tơng đơng với phơng trình .
( x 3y)
2
+
3x

= 0
Từ đó tính đợc x = 3 , y = 1 chỉ việc thay vào biểu thức M rồi tính toán
Ví dụ 2 : Cho các số x , y , z thoả mãn hệ

2 2 2
3 3 3
1
1

y
3
+ z
3
= 1
Vì vậy : ( x + y)( y + z)( z + x) = 0 . Nên hoặc x = - y , hoặc y = - z ,
hoặc z = - x
Nếu x = - y thì x+ y = 0 và từ x + y + z = 1 ta có z = 1 nên z
2
= 1 và x
2
+ y
2

= 0 suy ra x = y = 0 khi đó Q = 0
4
+ 0
5
+ 1
6
= 1 .
Hoàn toàn tơng tự cho các trờng hợp còn lại ta vẫn đợc Q = 1 . Tóm lại là
Q = 1
ví dụ 3 : Cho x =
3 3
20 14 2 20 14 2
+ +
. Tính giá trị của biểu thức :
P = x
3

Giải : Đặt
2 2
3
a
=
ta có
( )
2
2
1 1
1 1 1 1
2
1 1
a a
a a a
A
a a
a a
+ +
+ + +
= = =
+
Sau đó thay giá trị của a vào tính toán ta đợc kết quả là A =
2

Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức
17 17
1 1 5 1 5
2 2
5

,x x
là các nghiệm của phơng trình bậc hai :
X
2
-X 1 = 0 Đặt
1 2
n n
n
S x x
=

Và ta có công thức truy hồi là :

2 1
0
n n n
S S S
+ +
=

2 1
2 1
5 5 5
n n n
n n n
S S S
S S S
+ +
+ +
= + = +

sau đó từ công thức (*) ta tính đợc :

2 1 0
3 2 1
4 3 2
5 4 3
0 1 1
1 1 2
2 1 3
3 2 5
U U U
U U U
U U U
U U U
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
v.vĐây chính là dãy Phibonaci và
n
U
là số hạng tổng quát của
dãy này :
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,233 ,cứ nh vậy ta tính đợc

17
1597U A
= =
Loại bài tập này rất phong phú,đa dạng mà trên đây chỉ một vài ví dụ cơ
bản . Để luyện tập chuyên đề mời các bạn làm một số bài tập luyện tập sau

Bài tập 3 : Cho 3x y = 3z và xy 0
2x + y = 7z
Tính giá trị của biểu thức
2
2 2
2x xy
C
x y

=
+ Bài tập 4 : Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc và a + b + c 0
Tính giá trị của biểu thức :
( )
2 2 2
2
a b c
D
a b c
+ +
=
+ +

a b c
+ + =
và
2
a b c
x y z
+ + =

Tính giá trị của
2 2 2
2 2 2
a b c
F
x y z
= + + Bài tập7: Cho x, y , z là các số dơng thoả mãn
4x y z xyz
+ + + =
Tính giá trị của biểu rhức :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4 4 4H x y z y z x z x y xyz
= + +
Bài tập 8 : Cho
(
)
(
)
2 4 2 4 2

3
16
y
x xy
y
z
z xz x
+ + =
+ =
+ + =
Tính giá trị của biểu thức : N = xy + 2yz + 3zx
Bài tập 11: Cho a , b , c là 3 số phân biệt sao cho các phơng trình :
x
2
+ a.x + 1 = 0 và x
2
+ bx + c = 0 có nghiệm chung . Đồng
thời các phơng trình x
2
+ x + a = 0 và x
2
+ cx + b = 0 cũng có
nghiệm chung .
Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c

Hết