1. Tìm ?
3
2
2 1
lim
2 1
n
n n
−
− +
§
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn.
Nội dung

Củng cố
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn

ĐỊNH NGHĨA 1 (sgk, tr 146)
Giả sử (a;b) là khoảng chứa điểm và f là một
hàm số xác định trên tập hợp . Ta
nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x
dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số
. trong tập hợp (tức
và với mọi n) mà ta
đều có

=
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
0
( )f x L khi x x
→ →
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
Tóm tắt định nghĩa
Giả sử và f là một hàm số xác định trên
0
( ; )x a b
∈
0
( ; ) \{ }a b x
0
0 0
( ) ( ; ) \{ } lim
lim ( )
lim ( )
n n
x x
n

) trong (-2;5)\{2} mà
lim x
n
= 2, ta có
3 2
( ) 3 5
n n n n
f x x x x= − + +
- Ta nói hàm số f có giới hạn là 3 khi x
dần đến 2
3 2
2
lim( 3 5) 3
x
x x x
→
− + + =
- Khi đó ta viết
- Xét
0
2x
=
ta có (-2;5) là khoảng chứa 2
- Ta có (-2;5) là khoảng chứa 2
- f xác định trên tập (-2;5)\{2}
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn

2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→−
+ +
+
3 0 3x x
− ≠ ⇔ ≠
+ ĐK:
2
4 3 0 1 3x x x x
− + = ⇔ = =
+ và
Do đó:
2
4 3 ( 1)( 3)x x x x
− + = − −
mà , ta có
( ) \{3} lim 3
n n
x x
∀ ⊂ =
R
•
B2:

hạn
Giải
+Ta có
2
3 2 ( 1)( 2)
( ) ( 2)
1 1
x x x x
f x x
x x
+ + + +
= = = +
+ +
lim ( ) lim ( 2) 1 2 1
n n
f x x
= + =− + =
H1? Tìm
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→−
+ +
+
1 0 1x x

•
B3: Kết luận
•
B1: Xét hàm số:
2
3 2
( )
1
x x
f x
x
+ +
=
+
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn

Nhận xét
a) Nếu , trong đó c là
hằng số, thì
( ) ,f x c x
= ∀ ∈
R
0
,x
∀ ∈
R

x
b
→−
=
2
) lim 2
x
c x
→
=
6
) lim 6
x
d x
→−
= −
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
b) Giới hạn vô cực
a) Giới hạn hữu
hạn

ĐỊNH NGHĨA

Ví dụ 3: Tìm ?
2
2
1
lim

→
• = −∞
Tương tự:
•
B1: Xét hàm số
2
1
( )
( 2)
f x
x
=
+
+ ĐK:
2
( 2) 0 2x x
+ ≠ ⇒ ≠ −
•
B2: mà , ta có
( ) \{ 2}
n
x
∀ ⊂ −
R
lim 2
n
x
= −
2
1

( 2)
x
x
→−
= +∞
+
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực

ĐỊNH NGHĨA 2 (sgk, tr 148)
Giả sử hàm số f xác định trên , ta nói
( ; )a
+∞
( ) ( ; ) lim
lim ( )
lim ( )
n n
x
n
x a x
f x L
f x L
→+∞
∀ ⊂ +∞ = +∞

f x
→−∞
• = −∞
b) Giới hạn vô cực
được định nghĩa tương tự.
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn

Nhận xét: Với mọi số nguyên dương k, ta có
) lim ;
k
x
a x
→+∞
= +∞
1
) lim 0
k
x
c
x
→+∞
=
1
) lim 0
k
x

x
b x
→−∞
= +∞
3
') lim
x
b x
→−∞
= −∞
2
1
) lim 0
x
c
x
→+∞
=
3
1
) lim 0
x
d
x
→−∞
=
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu

) lim[ ( ) ( )]
x x
b f x g x L M
→
− = −
0
) lim[ ( ). ( )] .
x x
c f x g x L M
→
=
0
( )
lim
( )
x x
f x L
g x M
→
=
Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì
0
lim[ . ( )] .
x x
c f x c L
→
=
d) Nếu thì
0M
≠

a f x g x L M
→
+ = +
 
 
( ) ( )
0
) lim ;
x x
b f x g x L M
→
− = −
 
 
( ) ( )
0
) lim ;
x x
c f x g x LM
→
=
 
 
( )
( )
0
) lim ; 0
x x
f x
L

0
3
3
) lim ;
x x
b f x L
→
=
⇐
c) Nếu f(x) ≥0 với mọi x∈J\{x
0
}, trong đó J là một khoảng nào đó chứa x
0
thì
L≥0 và
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực

) lim
x
x x
b
x x
→−
+ +
+
Ví dụ:
3 3
2
lim2 2.2 16
x
x
→
= =
Giải

Ví dụ 5:
2
2
1
lim
2 1
x
x
x x
→+∞
+
− +

x x x x
x x x
x x x
→
→ → → →
+ − − =
= + − − =
= + − − = −
3 2
1
lim( 3 2 3) 1
x
x x x
→
+ − − = −
Vậy
2
2
1
2 1
) lim
x
x x
b
x x
→−
+ +
+
Với , ta có
2 2

= = = =
+ −
Vậy
2
2
1
2 1
lim 0
x
x x
x x
→−
+ +
=
+
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
b) Giới hạn vô cực
3. Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.

Ví dụ 5:
2

+
+
= ∀ ≠
− +
− +
2 2
1 1
lim (1 ) lim 1 lim 1 0 1
x x x
x x
→ +∞ → +∞ → +∞
+ = + = + =
Ta có
2 2
1 1 1 1
lim (2 ) lim 2 lim lim 2 0 0 2
x x x x
x x x x
→ +∞ → +∞ → +∞ → +∞
− + = − + = − + =
Do đó
2
2 2
2
2 2
1 1
1 lim (1 )
1 1
lim lim
1 1 1 1

xx
xx
-
Đặt bậc cao nhất của tử và mẫu làm nhân tử chung

Nếu bậc tử < bậc mẫu thì f(x)→0

Nếu bậc tử = bậc mẫu thì f(x)→số thực

Nếu bậc tử > bậc mẫu thì f(x)→∞
∞.0
0
0
∞−∞
Khử dạng vô đònh
Khử dạng vô đònh

Dạng hay
∞
∞
∞.0
∞
∞

Dạng dùng lượng liên hợp
∞−∞
))((
22
bababa
−+=−

x
x
x
2
121
lim
0
+

3
39
4
lim
0
+

x
x
x
4
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
b) Giới hạn vô cực
3. Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.
CỦNG CỐ BÀI HỌC

=
2. Giới hạn tại vô
cực:
PP: Tương tự như giới hạn dãy số
•
B3: : Kết luận
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
3. Tính giới hạn bằng định
lí
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
§
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn.
Nội dung

Củng cố