1
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1988-1989 ( thi 10/8/1988 , tg =150’)
Bài 1
Cho A=
2
2 2
2 2 4 3
:
2 2 4 2
x x x x
x x x x x
 
  
 
 
   
 
a/ Rút gọn A.
b/ Tính giá trị của A khi |x | = 1
Bài 2
Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến B với vận tốc 40km/h Sau đó 1giờ 30 phút, một chiếc xe con
cũng khởi hành từ tỉnh A để đi đến tỉnh B với vận tốc 60km/h. Hai xe gặp nhau khi chúng đã đi được
một nửa quãng đường AB.
Tính quãng đường AB.
Bài 3
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là trung điểm của cung AB không chứa C
và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I: các dây
BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
a/ Góc CID bằng góc CKD.
b/ Tứ giác CDFE nội tiếp được.

   
 
=
2
2 2 4 3
:
2 2 (2 )(2 ) (2 )
x x x x
x x x x x x
 
  
 
 
    
 
` =
2 2 2
(2 ) (2 ) 4 (2 )
.
(2 )(2 ) 3
x x x x x
x x x
    
  
=
2 2 2
4 4 4 4 4 (2 )
.
(2 )(2 ) 3
x x x x x x x

1 3
4
1
1 3
A
A

  





  

 

Bài II:
Gọi độ dài quãng đường AB là x (km ; x > 0)
Ta có phương trình:
3
: 40 : 60
2 2 2
x x
 
Bài III:
a/
CID
=
CKD

3
2
)
2
-
1
4

-
1
4
Dấu “ = ” xảy ra khi ( |2x – 1| –
3
2
)
2
= 0  | 2x - 1| =
3
2

2x – 1 =

3
2

3
2 1
2
3
2 1

N¨m häc :1989-1990

K

F

E

P

O

D

C

B

A
I
3
Bài 1
Cho biểu thức
A = 1- (
2
2 5 1
1 2 4 1 1 2
x
x x x
 

Tìm giá trị của x để biểu thức y=
2
2
2 1989x x
x
 
(Đk x ≠ 0) đạt giá trị nhỏ nhất và tìm GTNN
đó.
GỢI Ý GIẢI đề 1989-1990
Bài I:
A = 1- (
2
2 5 1
1 2 4 1 1 2
x
x x x
 
  
) :
2
1
4 4 1
x
x x

 
1/Đk x


½ & x

x


= 1-
4 2 5 2 1
(2 1)(2 1)
x x x
x x
   
 
.
2
(2 1)
1
x
x


= 1-
1
(2 1)(2 1)
x
x x

 
.
2
(2 1)
1
x

2 1 1
:50 : 40
3 3 50 2
x
x x  

2 1
150 120 50 2
x x x
  
Bài III:
a/ AE = AF. Vì

FAD =

EAB (cùng phụ với

DAE)
=>

ADB =

ABE (cạnh gv- gn ) => k luận.
b/ Các tam giác vuông IGE & IKF bằng nhau (GE // KT
IE = IF) => GF = GE =KF = KE (vì AK là trung trực).
c/ tam giác AKF và CAF đồng dạng và AF
2
= KF.CF
Vì ABCD là hình vuông => goc ACF = 45
0

x x 
max

2
1
2 1989
1
x x
 
max

2
2 1989
1
x x
 
min
Mà
2
2 1989
1
x x
 
=
2 2
1989 2 1989.(1988 1)
1989x x

 
= 1989 (


)
2
+
1988
1989

1988
1989
=> Min y =
1989
1988
khi x = 1989.
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1990-1991
Bài 1:
Xét biểu thức
P = (
1 1 5
9 1
3 1 3 1
x x
x
x x

 

 
) : (1-
3 2

6
1/ Đk: x

1/9 => P = (
1 1 5
9 1
3 1 3 1
x x
x
x x

 

 
) : ( 1-
3 2
3 1
x
x


)
=
( 1)(3 1) (3 1) 5
(3 1)(3 1)
x x x x
x x
    
 
:

2/ P =
6
5

3 1
x
x 
=
6
5
=> 5x – 6 (
3 1x 
) = 0

5x - 18
x
+6 = 0

= =>
x
=
Bài II:
Gọi quãng đường AB là x(km, x > 0)
Ta có phương trình:
3 1 1
. . 2
30 4 45 4 50 3
x x x
  
Bài III

1991x 
+
1
4
] -
1
4
+ 1991
= (
1991x 
-
1
2
)
2
+
3
1990
4

1
4
+
3
1990
4
= 1991 => Min y = 1991 khi x = 1991

®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1991-1992

) : (
9 3 2
( 3)( 2) 2 3
x x x
x x x x
  
 
   
)
a/ Rút gọn Q.
b/ Tìm giá trị của x để Q < 1
Bài 2 Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại đi vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp khởi
hành , đoàn xe được giao thêm 14 tấn nữa. Do đó , phải điều thêm 2 xe cùng loại trên và mỗi xe phải
chở thêm 0,5 tấn. Tính số lượng xe phải điều theo dự định. Biết rằng mỗi xe chở số hàng như nhau.
Bài 3
Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A,B. Người ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia
Ax và By vuông góc với AB và trên tia Ax lấy một điểm I. Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K.
Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a/ Cm tứ giác CPKB nội tiếp được .
b/ Cm AI.BK= AC.CB
c/ Cm tam giác APB vuông
d/ Giả sửA,B,I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI
lớn nhất.
Bài 4
Chứng minh rằng các đường thẳng có phương trình y = (m-1)x + 6m - 1991 (m tùy ý)luôn đi
qua một điểm duy nhất mà ta có thể xác định được tọa độ của nó.
GỢI Ý GIẢI ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1991-1992
Bài I:
a/Đk: x

 
:
9 ( 3)( 3) ( 2)( 2)
( 3)( 2)
x x x x x
x x
      
 
8
=
3( 3)
( 3)( 3)
x
x x
 
 
:
9 9 4
( 3)( 2)
x x x
x x
    
 
=
3
( 3)x


.
( 3)( 2)


CPK =

CBK = 90
0
b/ AI.BK= AC.CB vì

AIC ~

BCK (gg)
c/

APB vuông vì

APB =

APC +

BPC
mà

APC =

AIC =

KGB,

BPC =

BKC => KL

b/ Tìm
B
khi x = 5+ 2
3
Bài 2:

O

P

K

I

C

B

A
9
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm
trong 5 giờ, người thứ 2 làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được ¾ công việc. Hỏi mỗi người làm
một mình công việc đó thì mấy giờ xong.
Bài 3:
Cho nửa đường tròn đường kính AB. K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung KB lấy M
(M ≠ K,B ). Trên tia AM lấy N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP//KM. Gọi Q là giao điểm của các đường
thẳng AP, BM.
a/ So sánh các tam giác AKN và BKM.
b/ Cm tam giác KMN vuông cân.
c/ Tứ giác ANKP là hình gì? Tại sao?

 
) : (1-
2
1
x
x x

 
)
=
2 1
( 1)( 1)
x x x x
x x x
   
  
:
1 2
1
x x x
x x
   
 
=
1
( 1)( 1)
x
x x x

  

=
3 1
2

Bài II:
10
Gọi thời gian làm một mình xong công việc của thứ nhất là x(giờ, x >
1
7
5
)
Thời gain người thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ, y >
1
7
5
)
Thì trong 1 giờ, người thứ nhất làm được
1
x
(cv); người thứ hai làm được
1
y
(cv) & cả hai làm được
5
36
(cv). => ta có hệ phương trình:
1 1 5
36
5 6 3
4

KNM = 45
0
&

RPK =

APK (tgnt) =

PAN = 45
0
d/

ABM =

RPM (ABMP nt)

RPM =

QSR (RPMS nt) => RS//AB
BP//KM => cung KP = cung MB =>

POM = 90
0
=>

OMP nội tiếp đường tròn đường kính PM (k đổi)
=>

Q = 45
0


R

N

M

I

K

O

B

A

Q
11

®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1993-1994
Bài 1:
Cho biểu thức
M =
1 2 1 2
( 1) :(1 )
2 1 2 1 2 1 2 1
x x x x x x
x x x x

a/ Cmr M là trung điểm của BC.
b/ Cmr tam giác O
1
MO
2
vuông.
c/ Cmr B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng.
d/ Gọi I là trung điểm của DE. Cmr đường tròn ngoại tiếp tam giác IO
1
O
2
tiếp xúc với đường thẳng BC.
Bài 4:Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm
x
2
- (2m-3)x + 6 = 0
2 x
2
+x + (m-5) =0
HƯỚNG DẪN GIẢI ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1993-1994
Bài 1:
a/ Rút gọn; Đk x

0 & x

½
12
M =
1 2 1 2

   
=
2 2 ( 1) ( 2 1)( 2 1)
.
( 2 1)( 2 1) 2( 1)
x x x x
x x x
  
   
= -
2x
b/ Tính M khi x =
1
2
(3+2
2
) =
1
2
(
2
+ 1)
2
 M = -
2
( 2 1)
= - (
2
+ 1)
Bài 2:





Bài 3:
a/ Cm M là trung điểm của BC.
MA MB
MB MC





=> MB = MC (t/c 2 tt cắt nhau) => Kl
b/ Cm

O
1
MO
2
vuông.
Vì MA = MB = MC (cmt) =>

ABC vuông tại A
Mà
1
ABM AO M
(gnt, góc ở tâm)
Và
2

0
&
EAC
= 90
0
(gnt chn na ng trũn) => KL
Tng t vi C , A, D.
d/ Cm BC l tt t(IO
1
O
2
)

ADE vuụng ti A(do ) = >ID = IA = IE (t/c) => O
1
I l trung trc ca AD => O
1
I // O
2
M, tng t
ta cú O
2
I // O
1
M m
1 2
O MO
= 90
0
=> t giỏc O

1 2
O MO
=90
0
=> t giỏc O
1
MO
2
I l hỡnh ch nht ).
đề thi vào lớp 10 của thành phố hà nội*
Năm học :1994-1995
Bài 1: Cho biểu thức P =
3
3
2 1 1
.
1 1
1
a a a
a
a a a
a
2
) và D là trung điểm của BC. Chứng minh M,N,D thẳng hàng.
14
Bài 4:
Tìm tất cả các cặp số (x;y) thoả mãn phơng trình sau:
5x- 2
01)2(
2
yyx
HDG đề thi vào lớp 10 của thành phố hà nội*
Năm học :1994-1995
Bài 1: a/Rg biểu thức (k : x

0 & x

1 )
P =
3
3
2 1 1
.
1 1
1
a a a
a
a a a
a



=

2
1
1
( 1)( 1)
a a
a
a a a



=
1a
c) Xét dấu của biểu thức P.
a1
P.
a1
= (
1a
).
a1
Vi a

0 v a < 1 thỡ
a
< 1 =>
1a


BC (gt)
=>
MIB
= 90
0

BIMK ni tip c
Tng t vi t giỏc CIMH
b/ C/m tia đối của tia MI là phân giác của
HMK
Gi tia i ca MI l Mx, ta cú:
Vỡ t giỏc BIMK ni tip (cmt) =>
xMK
=
IBK
(
cựng bự
KMI
)
Vỡ t giỏc CIMH ni tip (cmt) =>
xMH
=
ICH
M
IBK
=
ICH
(cựng chn cung BC) =>
xMK

15
QIM
=
HCM
(nt chắn cung HM) = ½ sđ cung MC

PMQ
+
PIM
+
QIM
= 180
0
=> tứ giác MPIQ nội tiếp được
=>
PQM
=
PIM
,
PIM
=
KBM
&
KBM
=
ICM

PQM
=
ICM

a
a 
) : (
3
1
a a
a
 

-
1
1a 
)
a) Rút gọn B.
b) So sánh B với 1.
2/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể , thì sau 6 giờ đầy. Nếu vòi 1 chảy 20 phút và vòi 2 chảy
30 phút thì được
1
6
bể.
Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể ?
Bài 3
Cho nửa đường tròn đường kính AB và 2 điểm C,D thuộc nửa dường tròn sao cho cung AC < 90
0
và
góc COD = 90
0
. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn, sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các
dây AM và BM cắt OC, OD lần lượt tại E, F.

1 1 1
6
1 1 1
3 2 15
x y
x y









<=>
10
15
x
y





Tg vũi 1 chy = 10h, tg vũi 2 chy = 15h.
Bi III:
a/ MEOF l hcn vỡ cú 3 gúc vuụng.
b/ OD


2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn A
b) Tìm GT của a để A>1/6
Bài2: Cho phơng trình x
2
-2(m+2)x+m+1=0 (ẩn x)
17
a) Giải phơng trình khi m = -
2
3
b) Tìm các GT của m để phơng trình có hai nghiệm tráI dấu
c) Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phơng trình .Tìm GT của m để
x
1
(1-2x
2

A=






















1
2
2
1
:
1
1


=
2
3
a
a

b/Tìm GT của a để A>1/6
1
6
A

2
3
a
a

>
1
6

2
3
a
a

-
1
6
> 0

3
+2)x -
2
3
+1= 0

x
2
- x -
1
2
= 0

2x
2
2x 1 = 0

= 1 + 2 = 3 =>
1
2
1 3
2
1 3
2
x
x





4 4 1 0
1
m m m
m






2
3 3 0
1
m m
m






2
3 3 0
1
m m
m







m < - 1 (
2
3 3
( ) 0
2 4
m m
)
Bài 3:
a/Chứng minh bai điểm B,C,D thẳng hàng
ADB ADC
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
b/Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
Vì
BFC
=
BEC
= 90
0
=> nt (đl)
c/Chứng minh ba đờng thẳng AD,BF,CE đồng quy
Vì AD , BF, CE là các đờng cao của

ABC => đồng quy
đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội*
Năm học :1996-1997
Khóa thi ngày 28-29-30/V/1997

B. Bài toán bắt buộc.
I. Đại số (4 điểm)
1)(2đ) Cho biểu thức:
P=
2 4 2 2
1 1 1
a a
a a a a a
 
 
   
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi a = 3- 2
2
2) (2đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một người dự định sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do tăng năng suất 4 sản
phẩm mỗi giờ, nên đã hoàn thành sớm hơn dự định 1 giờ. Hãy tính năng suất dự kiến của người đó.
II. Hình học (4 đ)
Cho đường tròn (O;r) và dây cung AB (AB<2r). Trên tia AB lấy điểm C sao choAC>AB. Từ C kẻ
hai tiếp tuyến với đường tròn tại P,K. Gọi I là trung điểm AB.
a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh 2 tam giác ACP và PCB là đồng dạng. Từ đó suy ra: CP
2
= CB.CA
c) Gọi H là trực tâm của tam giác CPK. Hãy tính PH theo r.
d) Giả sử PA// CK, chứng minh rằng tia đối của tia BK là tia phân giác của góc CBP
GỢI Ý GIẢI Đề tn 1996-1997
Bài I:
1/ P =
1


ACP ~

PCB =>
CP CA
CB CP

=> CP
2
= CA.CB
3/ H (~ OC (H l trc tõm) => t giỏc OPHK l hỡnh thoi => OP = r.
4/

BKC =

BPK (cựng chn cung BK )

KBC =

BKP (cung AK = cung PK)
=>

KBC =

PKB => Kt lun.

đề thi vào lớp 10 của thành phố hà nội*
Năm học :1996-1997( thi 21/7/1996 tg 150)
Bài 1: Cho biểu thức
A =

1
1
x
xxxxx
x
x
1) Rút gọn A
2) Với GT nào của x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Một ngời đi xe máy t A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trớc .Sau khi đi đợc 1/3
quáng đờng AB ngời đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đờng còn lại. Tìm vận tốc dự định và
thời gian lăn bánh trên đờng,biết rằng ngời đó đến B sớm hơn dự định 24phút.
Bài3:
Cho đờng tròn (O) bán kính R và một dây BC cố định. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.
Lấy điểm M trên cung nhỏ AC,kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I và cắt tia CM tại D.
1) Chứng minh gúc AMD= gúc ABC và MA là tia phân giac của góc BMD.
2) Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và góc BDC có độ lớn không phụ
thuộc vào vị trí điểm M.
21
3) Tia DA cắt tia BC tại E và cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai F, chứng minh AB là tiếp tuyến của
đờng tròn ngoai tiếp tam giác BEF.
4) Chứng minh tích P=AE.AF không đổi khi M di động. Tính P theo bán kính R và ABC =

Bài4:
Cho hai bất phơng trình : 3mx -2m>x+1 (1)
m-2x<0 (2)
Tìm m để hai bất phơng trình trên có cùng tập hợp nghiệm

đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội *
Năm học :1997-1998

6
2. Gii bi toỏn sau bng cỏch lp phng trỡnh:
Mt ụ tụ d nh i t tnh A n tnh B vi vn tc 48km/h. Sau khi i mt gi ụ tụ b chn
ng bi xe ha 10 phỳt. Do ú , n tnh B ỳng hn , xe phi tng vn tc thờm 6km/h. Tớnh
quóng ng AB.
3/. Cho ng trũn (O;R ), mt dõy CD cú trung im l H. Trờn tia i ca tia DC ly mt im
S v qua S k cỏc tip tuyn SA, SB vi ng trũn. ng thng AB ct cỏc ng thng SO; OH ln
lt ti E v F.
a/ Chng minh t giỏc SEHF ni tip.
b/Chng minh OE.OS = R
2
c/ OH.OF = OE.OS.
d/ Khi S di ng trờn tia i ca tia DC hóy chng minh ng thng AB luụn i qua mt im
c nh.
22
GỢI Ý GIẢI đề 1997- 1998
Bài I:
1/ A =
2
3
a
a

2/ A >
1
6

2
3
a


AOS vuông tại A => hệ thức.
c/

HOS ~

EOF =>
d/ OH cố định & OF =
2
R
OH
=> F cố định.
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1997-1998
(26/7/1997- tg= 150’)
Bài 1
Cho biểu thức
A =
1 1 2
: ( )
1 1 1
x x
x
x x x x x
 
 
   
a/Rút gọn A.
b/ Tìm x để A = 7
Bài 2:

-
-
Bài IV:
1/
2/
3/
24
4/
Bi V:
đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội *
Năm học :1998-1999
(Cơ sở để chọn vào lớp 10)
A. Lí thuyết (2 điểm): Học sinh chọn một trong hai đề sau:
Đề 1
: Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số. Các đẳng thức sau đúng hay sai,vì sao?

3
5
515
255
;3
1
13
2
2












1
4
1:
1
1
1
12
3
xx
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm GT nguyên của x để P nhận GT nguyên dơng.
Bai 2(2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Một ngời dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36km trong thời gian nhất định.Sau khi đi
đợc nửa quãng đờng ngời đó dừng lại nghỉ 18 phút.Do đó để đến B đúng hẹn ngời đó đã
tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đờng còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn
bánh trên đờng.
Bai3(3,5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A,đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh
AB,AC lần lợt tại E và F.
1) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật

Bi III:
1/

AEH =

AFH =

A = 90
0
` 2/ AE.AB = AF.AC = R
2
3/

AEF =

C =

KAF =>

IAC cõn =>IA = IC
Tng t, IA = IB => kl
4/ GT => S
ABC
= 4S
AFE
=> t s ng dng k = 2 => EF = ẵ CB = AH
=> AH = AI => H

I => kl