Nguyễn Phú Khánh

505

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TỌA ĐỘ OXY

Dạng 1. Tọa độ vectơ

1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc
Ox
và
Oy
với hai vectơ
đơn vị lần lượt là
i, j
 
. Điểm O gọi là gốc tọa độ,
Ox
gọi là trục hoành và
Oy

gọi là trục tung.
Kí hiệu
Oxy
hay
(
)
O;i, j
 

2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ .

)
O;i, j
 
, tọa độ của vectơ
OM

gọi là tọa độ của điểm
M
, kí hiệu là
(
)
M x; y=
hay
(
)
M x; y
.
x
được gọi là hoành độ,
y
được gọi là
tung độ của điểm
M
.
Nhận xét: Gọi
H, K
lần lượt là hình chiếu của
M
lên
Ox

AB
là
A B A B
M M
x x y y
x , y
2 2
+ +
= =

+ Cho tam giác
ABC
có
(
)
A A B B C C
A(x ; y ), B(x ;y ), C x ; y
. Tọa độ trọng tâm

(
)
G G
G x ;y
của tam giác
ABC
là
A B C
G
x x x
x ,


 

+
u v (x x';y y')± = ± ±
 

+
k.u (kx;ky)=


+
u'

cùng phương
u

(
u 0≠
 
) khi và chỉ khi có số k sao cho
x' kx
y' ky
 =

=
http://trithuctoan.blogspot.com/


sao cho :
a.u 15
=
 
và
b.u 11
= −

Lời giải
1. Ta có
( ) ( ) ( )
ma 2m; 3m ,nb n; 2n ma nb 2m n;3m 2n
= − = − ⇒ + = − + −
   

Vậy
2m n 3 m 11
c ma nb
3m n 5 n 19
− + = −  =
= + ⇔ ⇔
 
− = − =
 
  


(
)
(
)
A 2; 2 ,B 5; 2−
. Tìm trên trục hoành điểm
C
để
ABC
∆
vuông.
2. Tìm trên trục hoành điểm
A
, cách
(
)
B 2; 3
−
, một khoảng bằng
5
.
3. Tìm trên trục tung điểm
C
cách điểm
(
)
D 8;13
−
một khoảng bằng
17

*
ABC
∆
vuông tại A
2
AB AC AB.AC 0 C ;0
3
 
⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ −
 
 
 

*
ABC∆
vuông tại B
22
AB BC AB.BC 0 C ;0
3
 
⇔ ⊥ ⇔ = ⇔
 
 
 

*
ABC∆
vuông tại C
( ) ( )
CA CB AC.CB 0 C 1;0 ,C 6;0⇔ ⊥ ⇔ = ⇔

(
)
0 0
C x ; y Oy :CD 8;13 y ,CD 17
∈ = − − =
http://trithuctoan.blogspot.com/
)
Nguyễn Phú Khánh

507

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 0
0
0
y 2
13 y 8 17 C 0; 2 ,C 0;28
y 28
 = −
⇔ − + − = ⇒ ⇒ −

=


4. Gọi
( )

sao cho

1.
OAB
là tam giác đều,
(
)
0
OA;OB 60
=
 
.
2.
OAB
là tam giác cân,
(
)
0
OA;OB 45
=
 Lời giải
1. Ta có :
( )
( )
0
0
0

Khi đó
2
2
0 0
1 2 3
OA OB x x 20
2 3
 
+
= ⇔ + =
 
 
−
 
(
)
2
2
0
x 2 3⇔ = −

Vì
(
)
0 0 0
y 0 x 0 x 2 3 B 1 3;1 3> ⇒ > ⇒ = − ⇒ − +

2. Tương tự
( )
( )

B
là giao điểm
OB
và
AB
nên
( )
y 3x
B : B 2;6
2x y 10 0
 =
⇒

+ − =
Ví dụ 4
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
cho
ABC
∆
biết
(
)
(
)
(
)
A 1;1 ;B 3; 2 ;C 0;1


=

∆ ⇔

=


 
 

(
)
I

( ) ( ) ( ) ( )
AH x 1;y 1 ,BH x 3; y 2 ,BC 3;3 ,AC 1;0= − − = + + = = −
   

Khi đó
( )
(
)
(
)
( )
( )
3 x 1 3 y 1 0
x 3
I H 3;5

)
(
)
AA' a 1;b 1 ,BA' a 3; b 2 ,BC 3;3
= − − = + + =
  

Khi đó, ta có hệ:
( ) ( )
( ) ( )
1
a
3 a 1 3 b 1 0
1 3
2
A' ;
3
2 2
3 b 2 3 a 3 0
b
2

=


− + − =
 
 
⇔ ⇒
 

ABEC
là hình thang có 2 đáy
AB
và
CE
với
K
là giao
điểm
K
của
AC
và
BE
. Lời giải
• Gọi
( )
E 0,e Oy
∈
ABEC
là hình thang có
2
đáy
AB
và
CE AB⇒



↑↑

⇔ ∗∗

↑↑


 
 

(
)
(
)
(
)
(
)
K K K K
AC 4; 4 ,AK x 2;y 1 ,BE 3; 6 ,BK x 3;y 1
= − − = − − = − − = − +
   

Khi đó
( )
( ) ( )
( ) ( )
K K
K K K

1. Cho
( )
A 3;0
và
( )
C 4;1
− là đỉnh đối nhau của hình vuông. Tìm 2 đỉnh còn lại.
2. Cho
( )
A 2; 1
− và
( )
B 1; 3
− là 2 đỉnh liên tiếp hình vuông. Tìm 2 đỉnh còn lại.

http://trithuctoan.blogspot.com/
)
Nguyễn Phú Khánh

509

3. Cho
( ) ( )
A 2; 4 ;B 1;1
. Tính tọa độ
C,D
biết
ABCD
là hình vuông.


2 2
BI.AC 0
I
1
BI AC
4

=

⇒

=


 
, trong đó
( )
1 1
BI a ;b ,AC 7;1
2 2
 
= + − = −
 
 
 

Từ
( )
( )
2




+ + − =
   

   


Vậy
(
)
B 0; 4
hoặc
(
)
B 1; 3
− −
;
(
)
D 0;4
hoặc
(
)
D 1; 3
− −

2. Gọi
(

( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
C 3;6
c 3,d 6
c 1 d 3 25
II
c 5,d 0
C 5;0
3 c 1 4 d 3 0


 = =
+ + − =
 
⇔ ⇔ ⇒
  
= − =
−
− + + − =





Vì
ABCD
là hình vuông

* C 5;0 ,
−
ta có:
( )
( )
( )
BC 4; 3
x 2 4
D 2; 4
y 1 3
AD x 2; y 1

= − −
 − = −

⇒ ⇒ − −
 
+ = −
= − +






Vậy,
( ) ( )
C 3;6 ;D 6;2
hoặc
( ) ( )





 

x 4
y 0
 =
⇔

=

hoặc
x 2
y 2
 = −

=


TH1 :
(
)
(
)
C 4;0 AB DC D 5;3
⇒ = ⇒
 


)
d : x y 8 0
+ − =
.

1. Tìm điểm
( )
P d∈
sao cho
PMN∆
cân đỉnh
P

2. Tìm điểm
(
)
Q d
∈
sao cho
QMN
∆
vuông đỉnh
Q
Lời giải
1.
( ) ( )
0 0 0 0

 
⇔ ⇒
 
=
− + − = − + −





2.
(
)
(
)
1 1 1 1
Q x ; y d : x y 8 0
∈ + − =
.
(
)
1 1
QM 1 x ;1 y
= − −

,
(
)
1 1
QN 7 x ;5 y

=



Ví dụ 8
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,

cho
ABC
∆
biết
(
)
A 3;1 ,( )
B 1; 3−
trọng tâm
G
của
ABC∆
nằm trên
Ox
. Tìm tọa độ đỉnh
C


( ) ( )
( )
( )
( )
M
M
M
M
3
x x 1
3 x 3 2 x 3
3 1
2
2AG 3AM M x 1 ;
1
2 2
3 2 y 1
y
2

= −


− = −
 
 
= ⇔ ⇔ ⇒ − −
 
 

3
x x 1
x 3x 4
2 2 2
C 3x 4;2
y y 3 y y 2
1
y
2 2 2
 +  +
= − =
 
 = −
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ −
  
+ − + =


 
= − =
 
 ( )
( )
B C C
M
C

(
)
CA 7 3x; 1 ,CB 5 3x; 5
= − − = − −
 (
)
( ) ( )
ABC
1
S 3 3 det CA,CB 6 5 7 3x 5 3x
2
∆
= ⇔ = ⇔ = − − + −
 2x 5 1 x 3
⇔ − = ⇔ =
hoặc
x 2=

Vậy,
( )
C 2;2
hoặc
( )
C 3;2
I
là giao điểm 2 đường chéo hình thoi

(
)
(
)
(
)
(
)
AI BI x 3 x 2 1 4 0
⇔ ⊥ ⇔ − + + − − =
 ( )
x 1,x 2 I 1;0⇔ = − = ⇒ −
hoặc
( )
I' 2;0

*
(
)
I 1;0
−
.




*
(
)
(
)
(
)
I 2;0 C 1; 1 ,D 6; 4
⇒ − −Ví dụ 10
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy

1. Cho tứ giác
ABCD
có
( ) ( ) ( ) ( )
A 2;14 ,B 4; 2 ,C 6; 2 ,D 6;10− − −
. Tìm tọa độ
M
giao
điểm 2 đường chéo
AC
và
BD

BD 2;12

= − +

⇒ − − + = ⇔ − − =

=





( )
( )
( ) ( )
M M
M M M M
CM x 6;y 2
16 x 6 8 y 2 0 2x y 10 0
CA 8;16

= − +

⇒ − + + = ⇔ + − =

= −






2.
( )
D 1; 4−
có
( ) ( )
AB 8; 4 ,AD 3; 9= − − = − −
 


(
)

0
AB.AD 24 36 1
cos BAD cos AB;AD BAD 45
AB.AD
4 5.3 10 2
+
= = = = ⇒ =
 
 Ví dụ 11
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
c
ho điểm
( )

Do
ABC
là tam giác cân tại
C

2 2
AB BC AC BC⇔ = ⇔ =

( ) ( ) ( )
(
)
(
)
2
2 2 2
0 0 0
x a 0 b x 0 0 a 3 b x 3b a C b 3 a;0⇔ − + − = − + − + ⇔ = − ⇒ −

Với
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
AB 4a 4ab 3 4b
C b 3 a;0 AB AC AB AC
AC 4a 4ab 3 4b

= − +

− ⇒ ⇒ = ⇒ =

là hình thang.
2. Cho
(
)
(
)
M 1;1 cosa ,N 3;4
−
. Tính
OM,MN
. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

2 2
y cos a 2cosa 2 cos a 6cosa 13= − + + + +
Lời giải

http://trithuctoan.blogspot.com/
)
Nguyễn Phú Khánh

513

1.
( )
( )
( )
AC 4;4

=



 


hay
ABCD
là hình thang
2.
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2
2
OM 1 1 cosa cos a 2cosa 2
MN 3 1 4 1 cosa cos a 6cosa 13

= + − = − +



= − + − + = + +


Vì
0 1 cosa 2
≤ − ≤

OM M N 1 2 3 1 4 2 5 8+ = + + − + − = +

1 1
y OM MN OM M N 1 20 1 2 5 Max y 1 2 5= + ≤ + = + = + ⇒ = +

Khi
(
)
1
M M 1;0
≡Ví dụ 13
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy

1. Cho
ABC∆
có các đỉnh
( ) ( ) ( )
A 2;6 ,B 3; 4 ,C 5;0− −
. Xác định tọa độ chân đường phân
giác
AD
.
2. cho
ABC
∆
có


( ) ( )
2 2
AC 3 6 3 5= + − =

BD AB 5 5
DB DC
DC AC 3 3
= = ⇒ = −
 
,
D
chia
BC
theo tỉ
5
k
3
= −

Vậy
D
D
5
3 .5
3
x 2
5
1
3

+

http://trithuctoan.blogspot.com/
)
Nguyễn Phú Khánh

514

2. Nếu
0
0
β ≠

α ≠

thì
AB MA
M
AB MB
 α +β
= −


β
⇒

α + β

AB

( )
( )
M M
M M
M M
x 5 y 4
AM AB x 2y 3 0
6 3
IM AB IM.AB 0; I 4;1 2x y 9 0
− −
⇔ = ⇒ − + =
− −
⊥ ⇒ = ⇔ + − =
 

 

Vậy , tọa độ điểm
M
là nghiệm hệ:
( )
M M M
M M M
x 2y 3 0 x 3
M 3;3
2x y 9 0 y 3
 − + =  =
 

Gọi
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0 0 0 0
M x ;y d : 2x y 2 0 y 2x 2 M x ;2x 2∈ − + = ⇒ = + ⇒ +

Ta có
( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
AM x 4; y 6
AM BM 2x 4;2y 2
BM x ;y 4

= − −

⇒ + = − −

= +


 


0 0 0
f x 20x 32x 20= − +
có
( )
0 0 0
4
f' x 40x 32 0 x
5
= − = ⇔ = ( )
0
36
min f x
5
⇒ =
tại
0 0
4 18
x y

f x

36
5
http://trithuctoan.blogspot.com/
)
Nguyễn Phú Khánh

515

Vậy
4 18
M ;
5 5
 
 
 
thì độ dài
36 6 5
AM BM
5 5
+ = =
 
đạt giá trị nhỏ nhất

Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy

a.
C
ho tam giác
ABC
có
(
)
A 1; 1 ,−

(
)
B 5; 3−
và
C Oy∈
, trọng tâm
G
của tam giác ở
trên
Ox
. Xác định tọa độ
C
và
G
.
b. Cho 4 điểm
(
)

M
.
b. Gọi
C
là điểm nằm trên
Oy
và
G
là trọng tâm
ABC
∆ . Tìm tọa độ điểm
C
, biết
G

nằm trên
Ox
.

Bài tập
4.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho 2 điểm
( ) ( )
B 2;1 ,C 6;1

a. Tìm điểm
(
)

cho tứ giác
ABCD
có
(
)
(
)
(
)
(
)
A 2;14 ,B 4; 2 ,C 5; 4 ,D 5;8− − −
. Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường chéo
AC
và
BD.

Bài tập
6.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
tam giác
ABC
có trung
điểm các cạnh
BC,AC,AB
lần lượt là
(
)
(

( ) ( )
A 1; 2 ,B 2;3 ,
−
( )
C 1; 2
− − . Tìm điểm
D
trên
Oy
sao cho
ABCD
là hình thang có
cạnh đáy là
AD
. Tìm giao điểm
I
của 2 đường chéo.

Bài tập 8.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho 4 điểm
(
)
A 2; 3 ,− −

( )
B 4; 1 ,
−
( ) ( )

cho
ABC
∆ , biết
( )
A 4;6 ,

(
)
(
)
B 4;0 ,C 1; 4− − −

a. Tìm tọa độ trực tâm
H
, trọng tâm
G
, tâm
I
và bán kính
R
đường tròn ngoại tiếp
ABC∆

b. Kẻ đường cao
AD
. Tìm tọa độ
D

c. Tìm độ dài trung tuyến
BE

H
. Chứng minh rằng :
G,H,I
thằng hàng.

Bài tập
11.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,

cho điểm
(
)
A 2;1
. Tìm
tọa độ điểm
B
biết rằng đường thẳng
AB
cắt
Oy
tại
C
chia đoạn
AB
theo tỉ số
2
3

và đường thẳng

là 3 đỉnh của một tam giác.
b. Tìm tọa độ chân đường cao
A'
xuất phát từ
A
.
c. Tính tọa độ trọng tâm
G
, trực tâm
H
và tâm
I
của tam giác
ABC
.Có nhận xét gì
về điểm
G,H,I
?
Bài tập
13.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho điểm
( )
A 0;4
, và

http://trithuctoan.blogspot.com/
)
Nguyễn Phú Khánh

Oxy,
3 điểm
(
)
(
)
(
)
A 3;5 ,B 1;2 ,C 5;1

a. Tìm tọa độ trọng tâm
G
, trực tâm
H
, tìm chân đường cao
A'
của
AA'
.
b. Xác định tọa độ tâm
I
đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
. Chứng minh
G,H,I
thẳng
hàng.

Bài tập
15.

. Đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
AC
cắt
đường thẳng
x 2a 0
+ = tại điểm
B
. Chứng minh tam giác
ABC
là tam giác cân.
b. Cho 2 đường thẳng
3x 4y 6 0− + =
và
4x 3y 9 0− − =
. Tìm một điểm
M
trên trục
Oy
cách đều 2 đường thẳng ấy.
c. Cho
ABC∆
với
(
)
(
)
(
)

− − . Xác định hoành độ của điểm
C
để tổng
AC CB+
đạt giá trị nhỏ nhất.
b. Cho 2 điểm
( ) ( )
A 1; 1 ,B 5; 3
− − và đường thẳng
( )
: 5x 12y 32 0
∆ − + = . Tìm
M
để
MA MB=
và khoảng cách từ
M
đến
(
)
∆
bằng 4.

Bài tập
18.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,

cho đường thẳng
( )

, tìm điểm
M
sao cho
AM BM
+
 
có độ dài nhỏ
nhất, với
(
)
(
)
A 6; 5 ,B 4; 5
−

http://trithuctoan.blogspot.com/
)
Nguyễn Phú Khánh

518

b. Cho
(
)
(
)
A 1; 2 ,B 2;4
. Tìm trên trục hoành điểm
P
sao cho

(
)
(
)
A 1;6 ,B 3; 4− −
và
đường thẳng
( )
: 2x y 1 0
∆ − − = . Tìm điểm
M
trên
( )
∆ sao cho vectơ :
AM BM
+
 
có
độ dài nhỏ nhất.

Bài tập
21.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
(
)
: 2x y 1 0∆ + + =
,
(

A 0; 1 ,B 2;3 ,C ;0 ,E 1;6 ,F 3; 4
2
 
− − −
 
 

a. Tìm trên
( )
T
điểm
D
sao cho 4 điểm
A, B,C,D
lập thành hàng điểm điều hòa.
b. TÌm điểm
M
trên
(
)
T
sao cho
EM FM+
 
có độ dài nhỏ nhất.

Bài tập
23.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy

: x 4y 7 0∆ − + =
. Tìm một điểm
C

trên
( )
∆ sao cho
ABC
∆ là tam giác cân, đáy
AB
.

Bài tập
24.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
tam giác
ABC
, biết
( ) ( ) ( )
A 6;4 ,B 4; 1 ,C 2; 4
− − −
a. Tìm tọa độ chân đường phân giác trong
AD
của góc
A
. Tính độ dài
AD
.

ABC
∆ .
b. Cho điểm
(
)
(
)
A 4; 3 ,B 3;1−
. Tìm điểm
M
trên trục
Ox
sao cho

AMB
4
π
=
.
c. Cho các điểm
( ) ( ) ( ) ( )
A 2;1 ,B 0;1 ,C 3;5 ,D 3; 1
− − . Tính tọa độ các đỉnh hình vuông
có 2 cạnh song song đi qua
A
và
C
, 2 cạnh song song còn lại đi qua
B
và

.

Bài tập
27.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
( )
ABC,A 1; 6 ,
∆
(
)
B 4; 4 ,− −
(
)
C 4;0
. Tìm tọa độ chân đường phân giác trong và ngoài góc
A
và tọa độ
tâm đường tròn nội tiếp
ABC
∆ .

Hướng dẫn giải
Bài tập
1. a.
( )
AB 2; 3
= −


=


 

b. *
ABC∆
vuông cân tại
2 2
CA CB
CA.CB 0
C
CA CB
CA CB

 ⊥
=

⇔ ⇔
 
=
=



 

2 2
x y 6x 8y 23 0
x y 1 0

⇔ ⇔
 
=




*
ABC∆
vuông cân tại
( ) ( )
B C 0;3 ,C' 4;7⇔
Bài tập
2. a. Gọi
(
)
(
)
G x;0 ,C 0;y
. Trung điểm
I
của
AB
:
(
)
I 3; 2⇒ −


520

b.
AB 2DC
AB 2 5,CD AD 5,BC 10 ABCD
AD.AB 0

=

= = = = ⇒ ⇒

=


 
 
là hình thang
vuông.
( )
1 15
P AB BC CD AD 4 5 10,S AB CD .AD
2 2
= + + + = + = + =
Bài tập
3. a.
(

−




b.
( )
C
C Oy C 0; y∈ ⇒
,
( )
G
G Ox G x ;0∈ ⇒

G
là trọng tâm
ABC∆
, ta có
G A B C G
G
G A B C C
C
1
3x x x x 3x 3 4
x
3
3y y y y 0 2 3 y
y 5

 = + +  = − +

2 2 2 2
2
x 2 y 1 4
AB BC
AC BC
x 6 y 1 4


− + − =
=
 
⇔ ⇔
 
=
 
− + − =



( )
x 4
A 4;1 2 3
y 1 2 3

=

⇔ ⇒ +

= +





A'
A'
x 8
y 1 2 3
 =

⇒

= −



c.
(
)
( ) ( )
AD x 4; y 1 2 3 ,BD x 2; y 1 ,CD x 6; y 1= − − − = − − = − −
  

AD 3BD 4CD 0 x 11,y 1 3− + = ⇔ = = − −
  

d.
ABCM
là hình bình hành
(
)

Bài tập
5. Gọi
(
)
I x; y
là giao điểm 2 đường chéo
AC,BD

AI AC

BI BD

↑↑

⇔

↑↑


 
 
với
( ) ( )
( ) ( )
AI x 2;y 4 ,AC 7; 18
BI x 4; y 2 ,BD 1;10

= + + = −



 
 

= −

Bài tập
6a. Ta có
A A
A A
x 2 3 2 x 3
PA MN
y 1 0 4 y 3
 − = − −  = −
 
= ⇔ ⇔
 
− = − = −
 
 
 

( ) ( ) ( )
: A 3; 3 ;B 7;5 ;C 3;3− − −

b. Gọi
M
là trung điểm

MNP∆
. Bài tập
7. Ta có
( )
( )
AB 1; 5
2 0
AB
1 5
AC 2;0

=
−

⇒ ≠ ⇒

= −





không cùng phương
AC

. Do đó
A, B,C

Gọi
( )
I a,b
là giao điểm 2 đường chéo
AC
và
BD

Ta có :
( ) ( ) ( )
20
AC 2;0 ;AI a 1;b 2 ;BD 2; ; BI a 2; b 3
3
 − 
= − = − + = − = − −
 
 
   

I
là giao điểm
AC
và
BD
A,I,C⇔
thẳng hàng và
B,I,D
thẳng hàng
AC⇔


 =
 
⇔ ⇔ ⇒ +
 
+
= +



=



http://trithuctoan.blogspot.com/
)
Nguyễn Phú Khánh

522

(
)
(
)
( ) ( )
2. b 2 0. a 1 0
1
a
1
I ; 2
2

=

⇒ = ⇒

=



   

cùng phương hay
ABCD
là hình
thang.
b.
( ) ( )
0
AB Ox N x ;0 AN∩ = ⇔

cùng phương
AB

với
( ) ( )
0
AN x 2; 3 ; AB 6;2= + =
 

(
)

2 1
I ;
3 3
 − 
 
 

Bài tập
9a.
( )
* H x; y
là tọa độ trực tâm
H
của
ABC∆
, ta có
( )
AH BC AH.BC 0
I
BH AC
BH.AC 0

 ⊥ =

⇔
 
⊥
=





và
( )
(
)
(
)
( )
3 x 4 4 y 6 0
I
5 x 4 10y 0

− − − =

⇔

− + − =



( )
x 4
H 4;0 : H B ABC
y 0
 = −
⇔ ⇒ − ≡ ⇒ ∆

=




* Tọa độ tâm
(
)
I a; b
của đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
là giao điểm của 2 đường
trung trực
Gọi
M,N
lần lượt là trung điểm
AB,BC
, ta có
( )
( )
M A B
M A B
1
x x x 0
2
1
y y y 3
2

= + =





⇒ − −

 
 

= +



Theo bài toán ta có :
( )
MI AB MI.AB 0
II
NI BC
NI.BC 0

 ⊥ =

⇔
 
⊥
=



 
 
mà
( )

a
3
II I ;1
2
5
2
3 a 4 b 2 0
b 1
2

+ − =

=
 


⇔ ⇔ ⇒
 
 
 
+ − + =
 
  
=

 


* Do
ABC∆


− =


− + + − =
=
  
⇔ ⇔
  
− + + + − =
= +
=

 



 
 

(
)
( )
( )
x 4; y 0; B 4;0
D B 4;0
x 4;y 6;A 4;6

= − = −
⇒ ⇒ ≡ = −

 
 


Chú ý : học sinh làm lại bài này nếu thay tọa độ
A, B,C
là
(
)
(
)
(
)
A 2; 2 ,B 5;1 ,C 3; 5− −Bài tập
10.
(
)
(
)
C C C C C C
C x ; y x 3y 5 x 5 3y C 5 3y ; y∈ − = ⇒ = + ⇒ +

a.
I
là tâm đường trong ngoại tiếp
ABC IA IC∆ ⇔ =


2
x
2 7
3
G ;
7
3 3
y
3

=

 

⇒

 
 

=

http://trithuctoan.blogspot.com/
)
Nguyễn Phú Khánh

524



⇔ ⇒

=

( )
( )
1 1 1
IG ; 1;1
3 3 3
2 2 2
GH ; 1;1
3 3 3

 
= − = −

 

 

 

= − = −
 

 

= ⇒ = ⇔ = ⇒ =
−
−

(
)
D d;0 Ox∈
, ta có:
A B
D B
y ky
DA 3 4 4
y y B 3;
DB 4 1 k 3 3
−
 
= − ⇒ = ⇔ = − ⇒ −
 
−
 Bài tập
12a.
( )
( )
AB 4; 8




Vì
( ) ( )
( )
a 1 b 2
BC BA' a 3
A' 3;0
5 5
b 0
AA'.BC 0
a 3 .5 b 6 .5 0
 − +

=
 =
 
⇔ ⇔ ⇒
  
=
=

 
+ + − =


 

 


A B C
G
A B C
G
x x x
4
x
4 7
3 3
G ;
y y y
3 3
7
y
3 3
 + +
= =

 

⇒

 
+ +
 

= =



Ta có :
( )
( )
IH 1; 2
IG IH
1 2 1 1
IG ; 1; 2 IH
3 3 3 3

= −

⇒

 − 
= = − =

 
 


 
 

. Hay
G,H,I
thẳng hàng. http://trithuctoan.blogspot.com/
㻐



= +

( ) ( )
B
B C B C
C
x 4
1
AB x ; 4 ,AC x ;4 S 24 x x 24
x 4
2
−
= − = ⇒ = = ⇔ + =
−
 

Vậy,
2 2
B
B C
C
B C
x 6
x x 0
x 6




hoặc
(
)
( )
B' 6;0
C' 6;8

−


−

Bài tập
14. a. * Tọa độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC :

A B C
G
A B C
B
x x x
x 3

( ) ( )
AH x 3;y 5 ;BC 4; 1
BH x 1;y 2 ;AC 2; 4

= − − = −


= − − = −


 
 

Thỏa:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
17
x
4 x 3 y 5 1 0
AH.BC 0
17 19
7
H ;
19
7 7
2 x 1 y 2 4 0
BH.AC 0
y
7


 
và
BC

cùng phương
BA'


( )
∗

Với
(
)
(
)
(
)
AA' x 3;y 5 ;BC 4; 1 ,BA' x 1;y 2= − − = − = + −
  ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 x 3 y 5 0
AA'.BC 0 4x y 7 0
x 4y 9 0
4 y 2 x 1 0
BC BA'


( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
23
x
x 3 y 5 x 1 y 2
IA IB
23 37
7
I ;
37
7 14
IA IC
x 3 y 5 x 5 y 1
y
14


=


− + − = − + −
=
 
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇒
  

 
= −

 
     

 
⇒ = − − − =

     
 
     

= −
 

 


 
http://trithuctoan.blogspot.com/
끀
ο
Nguyễn Phú Khánh

526


( ) ( )
( )
2 2
2 x 6 4.y 0
x 2
CD AB
D 2; 4
y 4
BD AC
x 1 y 1 10

− − + =

 = −
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ − −
  
= −
=


+ + + =



 


Bài tập
16.a.

2 a 0 4 b 1 0
BH BC

 ⊥
− + − =
 
 
⇔ ⇔
 
 
− − − =
↑↑
 




 

d.
( ) ( )
A a;0 ,B 0;b .MA :MB 3 : 5 5AM 3MB= ⇔ =
   

(
)
(
)
( )
32

MA MB+
khi
A,M,B
thẳng hàng và
( ) ( )
1 12
AB M ;
7 7
 
∆ ∩ =
 
 

b. Gọi
A'
đối xứng
A
qua
(
)
∆
thì
( ) ( )
1 40
A'C N ;
19 19
 
∩ ∆ = −
 
 

)
(
)
0 0
a x 1;2 ,b 3 x ;4= − = −
 

Ta có
( )
min
AP PB a b a b 2 10 AP PM 2 10+ = + ≥ + = ⇒ + =
   

Khi
0 0
0
x 2 3 x
5 5
a b x P ;0
2 4 3 3
− −
 
↑↑ ⇔ = ⇔ = ⇒
 
 
 

Bài tập
22. a.
A, B,C,D
http://trithuctoan.blogspot.com/
匀
ς
Nguyễn Phú Khánh

527

( )
A B
D
A B
D
x k.x
x 1
DA 1 1
1 k
; k D 1; 3
y k.y
3 3
DB
y 3
1 k
 −
= = −

 

−

EM x 1; y 6
EM FM 2x 2;2y 2
FM x 3; y 4

= − −

⇒ + = + −

= + +



 


( ) ( )
2
2 2
0 0 0
3 16
EM FM 2x 2 2y 2 2 5. x
5 25
 
⇒ + = + + − = − +
 
 
 
;
0 0
y 2x 1= −

 

c.
(
)
C 1;2

Bài tập
24. a.
2 8 20
D ; ,AD 2
3 3 3
 
− − =
 
 
b.
( )
I 1; 1−

Bài tập
25. a.
( ) ( )
5
1; , 16;5 , 1;0
2
 
 
 
b.


 

 
−
 
⇒
 
−
 
=
= =
 
−


,

( )
( )
A D
J
A D
J
x k'.x
I 1;1
x
1 k'
E 16;6
BA