GIẢI ðÁP TOÁN CẤP 3 – THI ðẠI HỌC
THUẬT TOÁN TÌM ðIỂM
CÁCH VIẾT PHƯƠNG
TRÌNH MẶT PHẲNG
CÁCH VIẾT PHƯƠNG
TRÌNH ðƯỜNG THẲNG
CÁCH VIẾT PHƯƠNG
TRÌNH MẶT CẦU

CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TRONG HÌNH HỌC OXYZ

Biên soạn: Thanh Tùng *) Tóm tắt lý thuyết ñầy ñủ theo một trình tự logic và có hệ thống.
*) ðưa ra các hướng tư duy và phương pháp giải khái quát cho từng lớp bài toán.
*) Có bài toán mẫu minh họa ñi kèm.
*) Phần bài tập áp dụng có gợi ý.
*) Lời giải chi tiết cho từng bài toán cụ thể
(tham khảo thêm trên http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 ). BÀI TOÁN CỰC TRỊ
(tham khảo thêm)
H À N Ộ I 2 / 2 0 1 3
2
+)
1 2
( , )
M t t
: ñiểm M có tọa ñộ phụ thuộc vào hai ẩn
1
t
và
2
t
.
+)
a
r
1 2
( , )
t t
: véc tơ
a
r
có tọa ñộ phụ thuộc vào hai ẩn
1
t
và
2
t
.
1) (D – 2012: NC) Cho ñường thẳng
1 1
:

( )
MA t
MB t


→



uuur
uuur

+) Khai thác dữ kiện bài toán ( tam giác
AMB
vuông tại
M
) :
. 0 ( ) 0 ?
MAMB f t t M
= ⇔ = ⇔ = ⇒
uuur uuur

Giải: +) Gọi
( 2 ; ;2 )
(1 2 ; 1 ; )
(1 2 ; ; )
MA t t t
M t t t d
MB t t t




⇔ − − + − − = ⇔ − = ⇔ ⇒

=

(1; 1;0)
7 5 2
; ;
3 3 3
M
M
−


 

−
 

 
 5
( ; ; ) ( ) 2 4 0
M x y z P x y z
∈ ⇒ − − + =
(1)
+) Ta có: MA = MB = 3
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 0 (2)
9 ( 2) ( 1) 9
( 2) ( 3) 9 (3)
9 ( 2) ( 3) 9
x y z
MA x y z
x y z
MB x y z
+ − + =
 
= − + + − =

 
⇒ ⇒ ⇔
  
+ + + − =
= + + + − =
 

 

+) Từ (1) và (2)

=

(0;1;3)
6 4 12
; ;
7 7 7
M
M


 

−
 

 
BÀI TẬP ÁP DỤNG

1) (D – 2012: NC) Cho ñường thẳng
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−

Tìm ñiểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với
∆
và MI =
4 14

4) ( B – 2011: NC) Cho ñường thẳng
2 1 5
:
1 3 2
x y z
+ − +
∆ = =
−
và hai ñiểm A(- 2; 1; 1), B(-3; - 1; 2). Tìm ñiểm M
thuộc
∆
sao cho tam giác MAB có diện tích bằng
3 5

5) (A – 2010: CB) Cho ñường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
− +
∆ = =
−
và mp (P): x – 2y + z = 0. Gọi C là giao của
∆
với (P), M

3
:
x t
y t
z t
= +


∆ =


=

và
2
2 1
:
2 1 2
x y z
− −
∆ = =
. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc
1
∆

sao cho khoảng cách từ M tới
2
∆
bằng 1
9) (A – 2009 - NC) Cho mp (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai ñường thẳng

− −
= =
. Tìm tọa ñộ hình chiếu vuông góc của ñiểm
A trên ñường thẳng d.
12) (B – 2008): Cho 3 ñiểm A(0; 1; 2), B(2; - 2; 1), C(-2; 0; 1). Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt phẳng
2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
13) (D – 2008) Cho bốn ñiểm A(3 ; 3 ; 0), B(3 ; 0 ; 3), C(0 ; 3 ; 3), D(3 ; 3 ; 3). Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
14) (B – 2007) Cho mặt cầu (S) :
2 2 2
2 4 2 3 0
x y z x y z
+ + − + + − =

và mp (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0. Tìm tọa ñộ
ñiểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M ñến mp (P) lớn nhất.
15) (D – 2007) Cho hai ñiểm A(1; 4; 2),B(-1; 2; 4) và ñường thẳng :
1 2
:
1 1 2
x y z
− +
∆ = =
−
. Tìm tọa ñộ ñiểm M
thuộc
∆
sao cho
2 2
MA MB

1
d
, N thuộc
2
d
sao cho 3 ñiểm A, M, N thẳng hàng.
17) (D – 2006) : Cho ñiểm A(1; 2; 3) và ñường thẳng :
2 2 3
:
2 1 1
x y z
d
− + −
= =
−

Tìm tọa ñộ ñiểm A’ ñối xứng với ñiểm A qua ñường thẳng d
18) (A – 2005) Cho ñường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
− + −
= =
−
và mp (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm I thuộc d
sao cho khoảng cách từ I ñến mặt phẳng (P) bằng 2.
19) (D – 2005) Cho hai ñường thẳng :
1

d d
lần lượt tại
các ñiểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc tọa ñộ ).

20) ( A – 2002) Cho ñường thẳng
1
: 2
1 2
x t
y t
z t
= +


∆ = +


= +


Cho ñiểm M(2;1;4). Tìm tọa ñộ ñiểm H thuộc
∆
sao cho ñoạn
thẳng MH có ñộ dài nhỏ nhất
7

21) Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt cầu (S) :
2 2 2
2 2 2 0
x y z x z

và
2
d
sao cho ñường thăng MN song song với mặt phẳng
(P) : x – y + z = 0 và ñộ dài ñoạn MN bằng
2
.
23) Tìm hình chiếu H của ñiểm M(2; -3; 1) trên mặt phẳng (P) : x + 3y – z + 2=0.
24) Tìm hình chiếu H của ñiểm M(2 ; -1; 1) trên ñường thẳng d :
1 2
1
2
x t
y t
z t
= +


= − −


=


25) Tìm hình chiếu của d:
2 6
1 1 4
x y z
− +
= =

d y t
z t
= +


= − −


= +


Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ñồng thời song song với
1 2
,
d d
. Phân tích:
+) Bài toán cho ñi qua ñiểm A(0; 1; 2) (biết một yếu tố - vẫn còn thiếu véc tơ pháp tuyến của (P))
+) Khai thác dữ kiện: “(P) ñồng thời song song với
1 2
,
d d
”
⇒

1 2
,
u u

1 2
,
d d

( ) 1 2
, (1;3;5)
P
n u u
 
⇒ = =
 
uuur ur uur

Vậy phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A(0; 1; 2) và có
( )
(1;3;5)
P
n =
uuur
là:

( 0) 3( 1) 5( 2) 0
x y z
− + − + − =
hay
3 5 13 0
x y z
+ + − =

Kiểm tra kết quả:

d P
d P

⇒


(thỏa mãn)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
3 5 13 0
x y z
+ + − =
2) ( D – 2010) : Cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 và mặt phẳng (Q) : x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt

phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O ñến (R) bằng 2. Phân tích:
+) Như vậy với dữ kiện của ñề bài ta không khai thác ñược yếu tố ñiểm. Thế còn véc tơ pháp tuyến ?
+) Dữ kiện: “mp (R) vuông góc với (P) và (Q)”
⇒

( ) ( )
,
P Q
n n
uuur uuur
là cặp vtcp của (R)

( )
(1; 1;1)
Q
n = −
uuur

mà mp (R) vuông góc với (P) và (Q)”
( ) ( ) ( )
, (2;0; 2) 2.(1;0; 1)
R P Q
n n n
 
⇒ = = − = −
 
uuur uuur uuur

Vậy phương trình (R) có dạng:
0
x z m
− + =
Ta có:
( ;( )) 2
d O R
=

2 2
2 2 2 2 2
1 1
m
m m⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

, , , ?
a b c d
=

Với phân tích trên ta sẽ ñi theo Hướng tư duy ở TH3 . Và ta có lời giải cụ thể sau:
Giải:
Gọi mp (P) có dạng:
0
ax by cz d
+ + + =
. Vì (P) ñi qua A(1 ; 2 ; 1), B(-2 ; 1 ; 3)
2 0
2 3 0
a b c d
a b c d
+ + + =

⇒

− + + + =
3
2
5 5
2
a b
c
a b

a b b a
d C P d D P a b b a
b
a b a b a b a b
=
− −

= ⇔ = ⇔ − = − ⇔

=
+ + + + + +


+) Với
2
a b
=
chọn
4; 2 7
a b c
= = ⇒ =
và
15
d
= −
⇒
mp (P):
4 2 7 15 0
x y z
+ + − =


tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc ñường thẳng AM. Phân tích: Với dữ kiện (P) ñi qua
(0;0;3)
A
và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C cho ta hướng tư duy của TH4
Nên theo Hướng tư duy của TH4 ta có lời giải như sau:
Giải: Vì (P) ñi qua A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C nên
( ;0;0)
B b
và
(0; ;0)
C c

⇒
phương trình (P):
1
3
x y z
b c
+ + =

Ta có:
(1;2; 3)
AM
= −
uuuur
⇒

 
 
(2) Từ (1) và (2)
2
3
3
2 2
3
4
1 3 3
b
t
t
c
t b
c
t

=


=




⇒ = ⇔ =
 
 
=

d
− +
= =
−
,
2
1
: 1 2
2
x t
d y t
z t
= +


= − −


= +


Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ñồng thời song song với
1 2
,
d d
. (ñã giải)
3) (B – 2005) Cho lăng trụ ñứng
1 1 1
.
ABC AB C

x t
d y t
z t
=


= −


= +


Chứng minh
1
d
và
2
d
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai ñường thẳng
1
d
và
2
d
.
5) (A – 2002) Cho hai ñường thẳng
1
2 1 4
:
2 3 4

α
ñi qua M và ñồng thời vuông góc với (P) và (Q).
7) Cho ñiểm M(0 ; – 2; -1), ñường thẳng d:
1 1
2 2 1
x y z
− +
= =
−
và mặt phẳng (P): x – y – 2z + 2012 = 0. Viết phương
trình mặt phẳng
( )
α
ñi qua M song song với d và vuông góc với (P).

Bài 2. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH2)

1) ( D – 2010) : Cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 và mặt phẳng (Q) : x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt
phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O ñến (R) bằng 2. (ñã giải)
2) (TN – 2005) Trong không gian cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 4 3 0
x y z x y z
+ + − + + − =
và hai ñường thẳng
1
1
:
1 1 1
x y z

Gọi (S) là mặt cầu qua bốn ñiểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện của (S) và song song với (ABD).
4) Trong không gian cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 2 10 0
x y z x y z
+ + − + + − =
và hai ñiểm A(-1; 2; 1), B(2; 3; -1).
Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với AB và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Bài 3. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH3)
1) (A – 2011:NC) Cho mặt cầu
2 2 2
( ): 4 4 4 0
S x y z x y z
+ + − − − =
và ñiểm A(4 ; 4 ; 0). Viết phương trình mặt
phẳng (OAB), biết ñiểm B thuộc (S) và tam giác OAB ñều.
11

2) (B – 2009:CB) Cho tứ diện A(1 ; 2 ; 1), B(-2 ; 1 ; 3), C(2 ; - 1 ; 1) và D(0 ; 3 ; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P)
ñi qua A, B sao cho khoảng cách từ C ñến (P) bằng khoảng cách từ D ñến (P). (ñã giải)
3) (A – 2008): Cho ñiểm A(2; 5; 3) và ñường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
− −
= =
. Viết phương trình mặt phẳng

∆ = =
− −
và ñiểm A(1; 0; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, song song
với ñường thẳng
∆
và khoảng cách giữa ñường thẳng
∆
với mặt phẳng (P) bằng 3. Bài 4. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH4)
1) (B – 2012 – NC) Cho
(0;0;3), (1;2;0)
A M . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt
tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc ñường thẳng AM. (ñã giải)
2) (B – 2010: CB) Cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với
, 0
b c
>
và mp (P): y – z + 1 = 0. Tìm b và c, biết mp
(ABC) vuông góc với mp (P) và kcách từ O ñến mp (ABC) bằng
1
3

3) Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
ñi qua ñiểm
(1;2;3)
M

là tam giác ñều và
có diện tích bằng
2 3
.
5) Viết phương trình

mặt phẳng
( )
P
ñi qua ñiểm
(9;1;1)
M
và cắt các tia
, ,
Ox Oy Oz
lần lượt tại
, ,
A B C
sao cho
a)
OA OB OC
+ +
nhỏ nhất .
b) Thể tích tứ diện
OABC
lớn nhất.


tọa ñộ G
+) Véc tớ Chỉ Phương:
( )
( ) ,
d OAB
d OAB u n OA OB
 
⊥ ⇒ = =
 
uur uuuuur uuur uuur

Vậy theo hướng tư duy ở TH1 ta có lời giải như sau:
Giải:
+) Vì G là trọng tậm của tam giác OAB
⇒
(
)
0;2;2
G
(với
(0;0;0)
O
)
+) Ta có:
(1;4;2)
( 1;2;4)
OA
OB

=

2) (A – 2005) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho ñường thẳng d :
1 3 3
1 2 1
x y z
− + −
= =
−

và mặt phẳng
(P) : 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa ñộ giao ñiểm A của ñường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số

của ñường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (P), biết
∆
ñi qua A và vuông góc với d. Phân tích:
+) Yếu tố ñiểm:
{
}
( )d P A
∩ = ⇒
tọa ñộ ñiểm
A


}
( )
d P A
∩ =
)
2(1 ) 3 2 2(3 ) 9 0
t t t
⇒ − − + − + + =2 2 0 1 (0; 1;4)
t t A
⇔ − = ⇔ = ⇒ −

+) Ta có:
( )
(2;1; 2)
P
n
= −
uuur
và
( 1;2;1)
d
u = −
uur
.Mà
( )
( )
, (5;0;5) 5.(1;0;1)

3) (A, A1 – 2012 :NC) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
d
+ −
= =
, mặt phẳng

( ): 2 5 0
P x y z
+ − + =
và ñiểm
(1; 1;2)
A
−
. Viết phương trình ñường thẳng
∆
cắt
d
và
( )
P
lần lượt tại M và N

sao cho A là trung ñiểm của ñoạn thẳng MN.

A
−
là trung ñiểm của ñoạn thẳng MN
2 3 2
2 2 (3 2 ; 2 ;2 )
2 2
N A M
N A M
N A M
x x x t
y y y t N t t t
z z z t
= − = −


⇒ = − = − − ⇒ − − − −


= − = −


Mặt khác:
{
}
( ) ( ) 3 2 2 2(2 ) 5 0 2 0 2
P N N P t t t t t
∆ ∩ = ⇒ ∈ ⇒ − − − − − + = ⇔ − = ⇔ =(3;2;4)

A M N
− − −
(Bài toán trên thầy ñã chọn ñiểm
(3;2;4)
M
)
14 4) ( D – 2011) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm A(1 ; 2 ; 3) và ñường thẳng d :
1 3
2 1 2
x y z
+ −
= =
−

Viết phương trình ñường thẳng
∆
ñi qua ñiểm A, vuông góc với d và cắt trục Ox. Phân tích:
+) Yếu tố ñiểm:
∆
ñi qua ñiểm A (1 ; 2 ; 3)
+) Véc tơ chỉ phương:

( 1; 2; 3)
AB x
⇒ = − − −
uuur

Ta có:
(2;1; 2)
d
u
= −
uur
Mà
. 0 . 0
d d
d u u AB u
∆
∆ ⊥ ⇔ = ⇔ =
uur uur uuur uur

2( 1) 2 6 0 1
x x
⇔ − − + = ⇔ = −
( 1;0;0)
B
⇒ −

(
)
( 2; 2; 3) 2;2;3
u AB

nằm trong mặt phẳng (P),
biết
∆
ñi qua A và vuông góc với d. (ñã giải)
3) Cho ñường thẳng d :
1
1 2 3
x y z
−
= =
−
và hai mặt phẳng (P): x + y – 3z + 4 = 0, (Q) : x – y + 2z – 2 = 0
Viết phương trình ñường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (Q) ñi qua ñiểm M và song song với (P), biết M là giao
ñiểm của ñường thẳng d và mặt phẳng (Q).
4) Cho ñiểm M(- 1 ; 2 ; 1) và hai ñường thẳng
1
:
d
1 2
2 1 3
x y z
− +
= =
−

và
2
4

d
− +
= =
−
và mặt phẳng
( )
α
: x + y – 2z + 2012 = 0. Viết phương
trình ñường thẳng
∆
ñi qua M song song với
( )
α
và vuông góc với
d
.
7) Cho hai ñiểm A(2; 4; -1), B(-5; 2; 4) và ñường thẳng
1 2
:
1 1 2
x y z
d
− +
= =
−
. Viết phương trình ñường thẳng ñi
qua M và song song với
d
biết
2

(ñã giải)
15

2) ( D – 2011) Cho ñiểm A(1 ; 2 ; 3) và ñường thẳng d :
1 3
2 1 2
x y z
+ −
= =
. Viết phương trình ñường thẳng
∆
ñi qua
ñiểm A, vuông góc với d và cắt trục Ox. (ñã giải)
3) )(D – 2009 : NC) Cho ñường thẳng
2 2
:
1 1 1
x y z
+ −
∆ = =
−
và mặt phẳng (P) : x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương
trình ñường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với ñường thẳng
∆
.
4) (A – 2007) Cho hai ñường thẳng :
1
1 2
:
2 1 1

− −
và ñường thẳng
3 2
: 1
1 4
x t
d y t
z t
= − +


= −


= − +

. Viết phương trình ñường thẳng
∆
ñi qua
ñiểm A, cắt và vuông góc với ñường thẳng d.
6) Cho ñường thẳng
1
1 2 2
:
2 1 2
x y z
d
− + −
= =
−

1 2
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
= − +


= +


=


Chứng minh rằng
1 2
,
d d
chéo nhau và viết phương trình ñường vuông góc chung của

I

+) Yếu tố Bán Kính: Tam giác IAB vuông cân tại I ( vì IA = IB = R)
⇒

2
R IH
=
⇒
cần tính
IH
:
C1: Tìm tọa ñộ ñiểm
H
(dùng Thuật Toán Tìm ðiểm)
IH
⇒

C2:
IH
bằng khoảng khoảng cách từ
I
ñến
d
(Áp dụng công thức khoảng cách)
Vậy theo hướng tư duy ở TH1 ta có lời giải như sau:Giải:
+) Gọi

 
⇒ = ⇔ − + + − = ⇔ − = ⇔ = ⇒ −
 
 
uuur uur2 2 2
2 2 2 2 3
3 3 3 3
IH
     
⇒ = + + =
     
     
(có thể tính
( ; )
IH d I AB
= =
2 3
3
- Công thức có ở ban Nâng Cao).
+) Vì tam giác IAB vuông tại I và IA = IB = R
⇒
tam giác IAB vuông cân tại
I0
cos45


+) Yếu tố Bán Kính: Mặt cầu cắt (P) theo một ñường tròn có bán kính bằng 4
2 2 2
R r h R
⇒ = + →Giải:
+) Gọi mặt cầu cắt (P) theo một ñường tròn có tâm
'
I
và bán kính
4
r
=
. Suy ra
' ( )
II P
⊥
. Nên:

2 2 2
4 1 6 10
9
' ( ;( )) 3
3
2 1 2
h II d I P
+ − +
= = = = =

A
,
( 2;3;2)
B
−
. Viết phương trình mặt
cầu ñi qua
,
A B
và có tâm thuộc ñường thẳng
d
.

Phân tích:
+) Yếu tố Tâm: ðề bài ñã cho tâm
I d
∈
→
Dựa vào Thuật Toán Tìm ðiểm
I
⇒

+) Yếu tố Bán Kính:
R IA
=Vậy theo hướng tư duy ở TH2 ta có lời giải như sau:
Giải: +) Gọi mặt cầu có tâm
I

R IA= = + + =

Vậy phương trình mặt cầu là:
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 17
x y z
+ + + + − =

4) (D – 2011 - NC) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng
1 3
:
2 4 1
x y z
− −
∆ = =
và mặt phẳng
(P) : 2x – y + 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ñương thẳng
∆
, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt
phẳng (P).

Phân tích:
+) Yếu tố Tâm: ðề bài ñã cho tâm
I
∈ ∆

→
Dựa vào Thuật Toán Tìm ðiểm
I
⇒

 
= − − − −
+ +
 

+) Vậy phương trình mặt cầu là:
2 2 2
( 5) ( 11) ( 2) 1
x y z
− + − + − =
hoặc
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 1
x y z
+ + + + + =

BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1: ((Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH1)
1) (D – 2012) Cho mặt phẳng (P):
2 2 10 0
x y z
+ − + =
và ñiểm I(2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P)
theo một ñường tròn có bán kính bằng 4. (ñã giải)
2) (A, A1 – 2012) Cho ñường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d

A C
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
1 1
( )
BCC B
.
5) Cho ñiểm I(1 ; 2 ; -2) và mặt phẳng (P) : 2x +2y + z + 5 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I, sao cho (P)
cắt (S) theo một ñường tròn có chu vi là
8
π

6) Cho mặt phẳng (P) : 5x – 4y + z – 6 = 0, mặt phẳng (Q) : 2x – y + z + 7 = 0 và ñường thẳng d :
1 1
7 3 2
x y z
− −
= =
− −
.
18

Viết phương trình mặt cầu (S), biết rằng tâm I của mặt cầu là giao ñiểm của d với (P) và mặt phẳng (Q) cắt hình cầu
(S) theo thiết diện là hình tròn với diện tích là
20
π

7) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2 ; 3 ; -1) và cắt ñường thẳng d :
11 25
2 1 2
x y z

0
x t
d y t
z
= +


= −


=


a) Chứng minh
1 2
,
d d
chéo nhau.
b) Lập phương trình mặt cầu (S) nhận ñoạn vuông góc chung của
1
d
và
2
d
làm ñường kính.
BÀI 2: ((Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH2)

1) Cho hai ñiểm A(2 ; -1 ; 0), B(1 ; 1 ; -2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên trục Oy và
A, B là hai ñiểm thuộc (S).
2) (B – 2012: CB): Cho ñường thẳng

mặt cầu có tâm thuộc ñương thẳng
∆
, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P). (ñã giải)
4) (D – 2008) Cho bốn ñiểm A(3 ; 3 ; 0), B(3 ; 0 ; 3), C(0 ; 3 ; 3), D(3 ; 3 ; 3). Viết phương trình mặt cầu ñi qua bốn
ñiểm A, B, C, D.
5) (D – 2004) Cho ba ñiểm A(2 ; 0 ; 1), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0.
Viết phương trình mặt cầu ñi qua ba ñiểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
6) (TN – 2004) Trong không gian cho bốn ñiểm A(1 ; -1 ; 2), B(1 ; 3 ; 2), C(4 ; 3 ; 2) và D(4 ; -1 ; 2). Gọi A’ là hình
chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Viết phương trình mặt cầu ñi qua A’, B, C, D.
7) Cho ñường thẳng d :
1 2
3 1 1
x y z
− +
= =
và mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 2 = 0.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với (P) và có bán kính bằng 1.
8) Cho hai ñiểm A(2 ; -1 ; 0), B(1 ; 1 ; -2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên trục Oy và A, B là hai ñiểm
thuộc (S).
9) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên ñường thẳng
: 0
1
x t
d y
z
=


=


∈
sao cho:
1)
2 2
1 2
k MA k MB
+
nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) 2)
1 2
k MA k MB
+
uuur uuur
nhỏ nhấ
t.
3) MA + MB nhỏ nhất (hoặc chu vi tam giác
MAB
nhỏ nhất). 4)
MA MB
− lớn nhấ
t.

Cách giải chung: Gọi
( )
M t d
∈

→

Câu 1)
2 2 2

b
a f t k MA K MB khi t M
a a a
−∆ −∆

> → ≥ → + = = − →


−∆ −∆

< → ≤ → + = = − →



C2: Hàm số bậc hai:
2
( )
f t at bt c
= + +
ñạt cực tiểu khi
0
a
>
và cực ñại khi
0
a
<
tại
2
b

0
a
>
) (*)
Từ (*)
1 2
min
4
k MA k MB
a
−∆
→ + =
uuur uuur
khi
2
b
t M
a
= − →Câu 3)
2 2
1 1 2 2
MA MB at bt c at b t c
+ = + + + + +
(*)
C1: +) Từ (*)
→
(

( )
MA MB
+
.
a HK
=
+) Dấu “=” (4*) xảy ra khi:
{ } Ox
N HK
=
I
? ?
N t M
→ = → = →

C1.2:
+) Trong mặt phẳng Oxy xét :
1 1
2 2
( ; )
( ; )
u t x y
v x t y

−


−



u v
r r
cùng hướng

1 1
2 2
0
t x y
x t y
−
→ = >
−
?
t M
→ = →

C2: Dùng hàm số ñể tìm min của
2 2
1 1 2 2
( )
f t at bt c at b t c
= + + + + +Câu 4)
2 2
1 1 2 2
MA MB at bt c at b t c
− = + + − + +
(*)

.
a HK
= (4*)
+) Dấu “=” (4*) xảy ra khi:
{ } Ox
N HK
=
I
? ?
N t M
→ = → = →

CHÚ Ý:
+) Ở Câu 3 (và Câu 4) ta phải chọn
1 2
. 0
y y
<
(và
1 2
. 0
y y
>
) ñể hai ñiểm H, K khác phía (và cùng phía) với Ox.
+) Ở phần cách giải chung trong Câu 3 và Câu 4 ta ñang giải quyết trong trường hợp khó là AB và ñường thẳng d
là chéo nhau (không ñồng phẳng). Nhưng nếu AB và d ñồng phẳng (có thể cắt nhau, song song, trùng nhau) thì ta sẽ
có cách giải quyết nhẹ nhàng hơn ??? (thầy sẽ nói rõ ñiều này qua các ví dụ) .
+) Ở Câu 1,Câu 2 chúng ta có thể mở rộng bài toán thành n ñiểm
1 2
, , ,

3) MA + MB nhỏ nhất. 4)
MA MB
−
lớn nhất.
Ví dụ 2: Cho hai ñiểm A(1; 1; 0), B(3; – 1;4) và ñường thẳng
1 1 2
:
1 1 2
x y z
d
+ − +
= =
−

Tìm ñiểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Cho hai ñiểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và ñường thẳng
1 2
: 1
2
x t
y t
z t
= − +


∆ = −


=


+
uuur uuur
nhỏ nhất.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(1; 2; -1), B(7; - 2; 3) và ñường thẳng d có phương
trình:
2 4
3 2 2
x y z
− −
= =
−
. Tìm trên d những ñiểm M sao cho tổng khoảng cách từ M ñến A và B là nhỏ nhất.
21
Bài toán 2: Cho mặt phẳng (P) và ba ñiểm A, B, C. Tìm tọa ñộ ñiểm
( )
M P
∈
sao cho:
1)
2 2 2
1 2 3
k MA k MB k MC
+ +
nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có). 2)

2 2 2
1 2 3 1 2 3
k MA k MB k MC k MA k MB k MC
+ + = + +
uuur uuur uuuur2 2 2
1 2 3
( ) ( ) ( )
k MI IA k MI IB k MI IC
= + + + + +
uuur uur uuur uur uuur uur

=
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) 2 ( )
k k k MI k IA k IB k IC MI k IA k IB k IC
+ + + + + + + +
uuur uur uur uur

=
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( )
k k k MI k IA k IB k IC
+ + + + +
(2*) (do có (*))
+) Mà


(4*)
+) Từ (4*)
→
M là hình chiếu của
I
trên (P)
M
→

Câu 2)
+) Xét ñiểm
I
thỏa mãn:
1 2 3
0
k IA k IB k IC
+ + =
uur uur uur r
(*)
→
tọa ñộ ñiểm
I

+) Ta có:
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( )
k MA k MB k MC k MI IA k MI IB k MI IC
+ + = + + + + +
uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur


(2*)
→
M là hình chiếu của
I
trên (P)
M
→CHÚ Ý: Các em có thể tìm nhanh ñiểm I nhờ vào công thức sau:

1 2 3 1 2 3
1 2 3
1
0 .( )
k IA k IB k IC OI k OA k OB k OC
k k k
+ + = ↔ = + +
+ +
uur uur uur r uur uuur uuur uuur
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
.( )
1

22
Câu 3)
Xét vị trí tương ñối của A, B so với mặt phẳng (P) ( giống như trong mặt phẳng ñiểm với ñường thẳng). Nếu :

TH1 TH2
TH1: A, B khác phía so với (P)
MA MB AB const
→ + ≥ =
min
( )
MA MB AB
→ + =
khi
0
( )
M M AB P
≡ =
I
TH2: A, B cùng phía so với (P)
+) Xác ñịnh ñiểm
'
A
ñối xứng với A qua (P)
+) Ta có:

I
TH2: A, B cùng phía so với (P)
+) Xác ñịnh ñiểm
'
A
ñối xứng với A qua (P)
+) Ta có: ' '
MA MB MA MB A B const
− = − ≤ =
max
'
MA MB A B
→ − = khi
0
' ( )
M M A B P
≡ =
I
CHÚ Ý: Qua Câu 3 và Câu 4 ta nhận thấy ñể giải ñược bài toán:
+)
min
( )
MA MB
+
thì A, B khác phía (nếu cùng phía thì phải chuyển về khác phía – phần giải ñã làm rõ ñiều này).
+)
max
MA MB−
thì A, B cùng phía (nếu khác phía thì phải chuyển về cùng phía).


.
3)
2 2 2
3 5
MA MB MC
+ −
lớn nhất , biết
(1;2;1), (0;1;2), (0;0;3)
A B C
.
4)
3 4
MA MB MC
+ +
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất, biết
(1;2;1), (0;1;2), (0;0;3)
A B C
.
5)
MA MB
+
nhỏ nhất, biết
(1;0;0)
A
,
(1;2;0)
B
.
6)
Cách giải chung:
Với dạng toán trên chúng ta thường ñi theo hai hướng :
+) Cắt nghĩa bài toán ñể khai thác ñược yếu tố vuông góc, song song.
+) Thiết lập biểu thức khoảng cách theo ẩn t. Và chuyển về bài toán tìm t ñể khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Cho ñiểm A(10; 2: - 1) và ñường thẳng
1 1
:
2 1 3
x y z
d
− −
= =
. Lập phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A,
song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
Ví dụ 2: (
2
t
) Cho ñiểm A(2; –1; 0), B(0; 1; – 1) và ñường thẳng
1 1
:
1 2 2
x y z
− +
∆ = =
−
. Viết phương trình ñường
thẳng d ñi qua B cắt
∆



∆ = +


= −

.
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
1
∆
và cách
2
∆
một khoảng lớn nhất.
Ví dụ 7: Cho ñường thẳng
2
: 1
2
x t
y t
z t
=


∆ = −


= +
