Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321 I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
1. Định nghĩa: Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng hoặc cùng // với một mặt
phẳng.
2. Định lí: Cho 3 vectơ !"#$
%
"
#&"'trong đó !"#$
%
"
không cùng phương. Khi đó 3 vectơ !"#$
%
"
#&"'đồng phẳng khi và
khi chỉ khi tồn tại các số m, n sao cho &"()*!"+,*$
%
"
''
3. Định lí: Cho 3 vectơ !"#$
%
"
#&" không đồng phẳng . Khi đó với mọi vectơ -
"
ta đều có: -
.
()!"+,$
%

%
%
%
%
%
%
"
(;*<"+4*=
.
+2*/
.
.
* !
.
>$
.
(
1
!
6
>$
6
3!
7
>$
7
3!
8
>$
8

'
*@A
B
C
D
(
1
;
E
F;
G
34
E
F4
G
32
E
F2
G
5
*
* Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k 90@
%
%
%
%
%
%
"
(/*0A

6
7
+!
7
7
+!
8
7
.
* Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là @A(I
1
;
E
F;
G
5
7
+
1
4
E
F4
G
5
7
+
1
2
E
F2

U
*P
U
V
O
R
T
SO
T
T
SO
U
T
*
V
P
R
T
SP
T
T
SP
U
T
'''
* Lưu ý, góc giữa 2 đường thẳng : JKL
1
@A3WX
5
(QJKLM@A

D
*YZ
B
C
D
Q
GE*YZ
'
* '!%
%
%
"
[$
%
"
9!
.
*$
.
(\]!
6
*$
6
+!
7
*$
7
+!
8
*$

3$
7
3$
8
5.
Tích có hướng của 2 vectơ '!%
%
%
"
'gh'$
%
"
là vectơ ,
.
được tính bởi công thức sau:
,
.
(i'!%
%
%
"
3$
%
"
j(MQ
!
7
'!
8
$

%
"
3'!%
%
%
"
j . * i'!%
%
%
"
3$
%
"
j[!'%
%
%
"
#i'!%
%
%
"
3$
%
"
j[$'
%
%
%
"


k
*H$
%
"
H*LlmM!
.
3$
.
N*
Ứng dụng: * Diện tích hình bình hành ABCD : n(Hi'@A
%
%
%
%
%
%
"
3@X
%
%
%
%
%
"
jH
* Diện tích tam giác ABC: n(
6
7
Hi'@A
%

p
%
%
%
%
%
%
%
"
H
* Thể tích tứ diện ABCD : o(
6
q
Hi'@A
%
%
%
%
%
%
"
3@W
%
%
%
%
%
"
j*@X
%

%
%
"
#@W
%
%
%
%
%
"
#'@X
%
%
%
%
%
%
%
"
không đồng phẳng.

0@
%
%
%
%
%
%
"
(

4
G
F/*4
E
wF/
2
v
(
2
G
F
/
*
2
E
w
F
/
'

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321 II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
- Vectơ ,
.

3$
7
3$
8
5 khác \
.
, và không cùng phương. Lúc đó mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
,
.
(i'!%
%
%
"
3$
%
"
j(MQ
!
7
'!
8
$
7
$
8
Q3Q
!
8
'!
6

z
34
z
32
z
5 và nhận ,
.
(1@3A3W5 làm vectơ pháp tuyến có phương trình
tổng quát là: {
1
|F|
}
5
+~
1
•F•
}
5
+
1
!F!
}
5
(}#
1
@
7
+A
7
+W

6
(\, (Q): @
7
;+A
7
4+W
7
2+X
7
(\. Lúc đó:
a. (P) cắt (Q)9
1
@
6
%A
6
%W
6
5
x1@
7
%A
7
%W
7
5. b. (P) // (Q)9
G
R
G
T

T
(
Z
R
Z
T
* d. (P) [(Q)9@
6
*@
7
+A
6
*A
7
+W
6
*W
7
(\
*Chùm mặt phẳng: Mỗi mặt phẳng đi qua giao tuyến của (P) và (Q) đều có phương trình:
)
1
@
6
;+A
6
4+W
6
2+X
6

7
x\
5
, điểm 01;
z
34
z
32
z
5. Khoảng cách từ
M đến mặt phẳng (P) được tính bởi công thức: '()#
1
*
5
+(
k
{|
}
S~•
}
S !
}
S,
k
I
{
-
S~
-
S

5
và có vectơ chỉ
phương !
.
(
1
!
6
3!
7
3!
8
5
có phương trình tham số là: ?
;(;
z
+!
6
"
4(4
z
+!
7
"'
2(2
z
+!
8
"
'

3!
7
3!
8
5
có phương trình chính tắc là:
0/0
1
O
R
(
2/2
1
O
T
(
3/3
1
O
U
''
1
!
6
*!
7
*!
8
x\
5

(\.
Điểm 0
1
;3432
5
4
1
X
5
9 Tọa độ 1;34325 thỏa hệ phương trình 5
@
6
;+A
6
4+W
6
2+X
6
(\
@
7
;+A
7
4+W
7
2+X
7
(\
'
(1)

8
Q3Q
!
8
'!
6
$
8
$
6
Q3Q
!
6
'!
7
$
6
$
7
QN
4. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng 18
6
5 đi qua diểm 0
6
và có vectơ chỉ phương
9
6
B
D
, 18

%
%
%
%
%
"
(\*'
* 18
6
5 và 18
7
5 chéo nhau 9i9
6
B
D
#9
7
B
D
j*0
6
0
7
%
%
%
%
%
%
%

%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
"
(\
i9
6
B
D
#9
7
B
D
jx\
%
"
(;9
6
B
D
<9
7
B

#0
6
0
7
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
"
jx\
%
"
'
9:
9
6
B
D
=9
7
B
D
9

5
9:
i9
6
B
D
#9
7
B
D
j(\
%
"
i9
6
B
D
#0
6
0
7
%
%
%
%
%
%
%
%
%

%
%
%
%
%
"
'

5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng : 185 đi qua diểm 0 và có vectơ
chỉ phương 9
.
và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ,
.
. Ta có các trường hợp sau:
* Đường thẳng
1
8
5
=1y595
9
.
*,
.
(\
0>1y5
'
.
* Đường thẳng
1
8

.
*
6. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
* Cho đường thẳng : 185 đi qua diểm 0 và có vectơ chỉ phương 9
.
* Lúc đó khoảng cách từ điểm A đến
đường thẳng 185được tính bởi công thức:''({#
1
@
5
+(
QA{)
B
C
D
#B
.
'CQ
H
B
.
H
.
* Cho 2 đường thẳng chéo nhau: +18
6
5 đi qua 0
6
có VTCP 9
6
B

)
-
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
"
H
Hi
B
D
B
D
#B
-
B
D
jH
.
7.Góc: *Góc giữa 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng 18
6

SJ
-
*K
-
SJ
L
*K
L
k
V
J
D
-
SJ
-
-
SJ
L
-
*
V
K
D
-
SK
-
-
SK
L
-

(
k
J*{+K*~+Q*
k
R
J
-
+K
-
+Q
-
*
R
{
-
+~
-
+
-

* Góc giữa 2 mặt phẳng: Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là: ',
6
%
%
%
%
"
(
1
@

%
%
%
%
"
3P
-
%
%
%
%
"
5k
(
k
P
D
%
%
%
%
%
"
*P
-
%
%
%
%
%

D
*~
-
S
D
*
-
k
V
{
D
-
S~
D
-
S
D
-
*
V
{
-
-
S~
-
-
S
-
-
.

+&
7
F-W\. Lúc đó tâm
của mặt cầu có tọa độ U1!3$3&5 bán kính T(
R
!
7
+$
7
+&
7
F
2. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
1
n
5
%'
1
;F!
5
7
+
1
4F$
5
7
+
1
2F&
5

1
4F$
5
7
+
1
2F&
5
7
(T
7
@;+A4+W2+X(\
'

Đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P) và bán kính #(RT
7
FUY
7
, với
UY(-(U#
1
y
5
+*
3. Chùm mặt cầu: *Cho 2 mặt cầu giao nhau (giao tuyến là một đường tròn hoặc 1 điểm) có phương trình:
1
n
6
5
%;

2+-
7
(\
Lúc đó phương trình mặt cầu 1n
8
5 đi qua giao tuyến của
1
n
6
5
'gh'
1
n
7
5
'là :
1
n
8
5
%')
1
;
7
+4
7
+2
7
FV!
6

Tương tự ta cũng suy ra phương trình mặt cầu chứa đường tròn
1
W
5
(
1
n
5
Z1y5 (với (S) có phương trình
dạng 2, (P) có phương trình như trên) có dạng:
1
n
p
5
%';
7
+4
7
+2
7
FV!;FV$4FV&2+-+)1@;+A4+W2+X5(\
* Chú ý: Từ vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng ta có thể giải bài toán sau:
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : y(
k
@;+A4+W2+X
k
'gớ['
1
;#4#2
5

%
%
%
"
#@W
%
%
%
%
%
"
#.i@A
%
%
%
%
%
"
#@W
%
%
%
%
%
"
j . Mặt
phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng qua điểm A (hoặc B, C) có cặp vectơ chỉ phương @A
%
%
%

%
"
j. Từ đó phương trình tổng quát (P):
*lưu ý: Nếu A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) thì phương trình (ABC):
0
O
+
2
P
+
3
a
(w(pt mặt phẳng đoạn chắn)
Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B, và (P) //CD . Giải: Tính @A
%
%
%
%
%
"
#WX
%
%
%
%
%
"
#.
6@A
%

%
%
%
"
( i@A
%
%
%
%
%
"
#WX
%
%
%
%
%
"
j. Từ đó phương trình tổng quát (P): (kiểm tra lại (P) có thoả ycbt không?)
Bài toán 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B, và (P) //1b5 . Giải: Tính @A
%
%
%
%
%
"
#'từ phương
trình của đường thẳng 1b5 suy ra vectơ chỉ phương: 9
b
%

%
%
"
. Do đó (P) có VTPT: ,
`
%
%
%
%
"
(
i@A
%
%
%
%
%
"
# 9
b
%
%
%
%
"
j. Từ đó phương trình tổng quát (P): (kiểm tra lại (P) có thoả ycbt không?)
Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (đi qua) đường thẳng 1b
6
5 và (P) //1b
7

%
%
%
%
"
. Sau đó tính tích có hướng
6
9
6
%
%
%
%
"
# 9
7
%
%
%
%
"
7
. Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng qua điểm 0
6
có cặp
vectơ chỉ phương'9
6
%
%
%

%
"
7
. Từ đó phương trình tổng quát (P):
Bài toán 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1b
6
5 và 1b
7
5. Giải: Trước hết kiểm tra
xem vị trí tương đối của
1
X
6
5
#
1
X
7
5
*
* Nếu 1X
6
5&1X
7
5 thì có vô số mặt phẳng thoả yêu cầu bài toán.
* Nếu
1
X
6
5

1
X
6
5
(c$ặ&'0
7
4
1
X
7
5
+, &c'&ặb'ofWy'gh''9
6
%
%
%
%
"
#9
7
%
%
%
%
"
h,
`
%
%
%

'"ci'1y5'_['l9! 0
6
4
1
X
6
5
(c$ặ&'0
7
4
1
X
7
5
+&c'&ặb'ofWy'gh''9
6
%
%
%
%
"
#0
6
0
7
%
%
%
%
%

%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
"
j'hoặc',
`
%
%
%
%
"
(i9
7
%
%
%
%
"
#0
6
0
7
%

%
%
%
"
7
, vì lúc đó
6
9
6
%
%
%
%
"
#9
7
%
%
%
%
"
7
(\
%
"
''-$'1X
6
5nn1X
7
5.

%
%
%
"
. Sau đó tính tích có hướng i9
6
%
%
%
%
"
#,
p
%
%
%
%
"
j. Mặt phẳng (P) chứa 1b
6
5 nên (P) có 1 vectơ
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321 chỉ phương là 9
6
%

%
%
"
j. Từ đó phương trình tổng quát (P):
Bài toán 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và (P) [
1
o
5
#1S5'[
1
T
5
. Giải: Từ phương
trình mp
1
o
5
, mp(R) suy ra (Q) có VTPT ,
p
%
%
%
%
"
, (R) có VTPT: ,
q
%
%
%
%

%
%
%
"
#,
q
%
%
%
%
"
j. Từ đó phương trình tổng quát (P):
Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và (P) chứa đường thẳng
1
b
5
*'. Giải: Từ
phương trình 1b5, suy ra b đi qua 0
6
và có vectơ chỉ phương: 9
b
%
%
%
%
"
. Khi đó mặt phẳng (P) qua điểm A (hoặc
0
6
5'có cặp vectơ chỉ phương là @0

%
%
%
%
"
#9
b
%
%
%
%
"
j. Từ đó phương trình tổng
quát (P):
Bài toán 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (chứa) giao tuyến của 2 mặt phẳng (Q), (R) và (P) đi
qua A . Giải: Do mặt phẳng (P) đi qua (chứa) giao tuyến của 2 mặt phẳng (Q), (R) nên phương trình (P) có
dạng chùm : )Mgể'"#d['b"
1
o
5
N+,Mgế'"#d['b"
1
T
5
N(\#
1
)
7
+,
7

U#b
5
(/#'hoặc điều kiện (P) hợp với (Q) 1 góc cho trước, ta được 1 phương trình: r)+rr,(\.)(
r
s
rr
.&cọ,',#)' . Từ đó phương trình tổng quát (P):
Bài toán 11: Viết phương trình hình chiếu 1-
z
5 vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P). Giải:
Từ phương trình của (d) suy ra (d) đi qua A và có VTCP: 9%
"
, từ phương trình (P) suy ra (P) có VTPT: ,%
"
. Gọi
(Q) là mặt phẳng chứa (d) và
1
o
5
[
1
y
5
* Lúc đó (Q) đi qua A và có cặp VTCP là 9'%
%
%
"
#,'%
%
%

1
X
6
5
#
1
X
7
5
. Giải: Từ 2 phương trình của
1
X
6
5
#
1
X
7
5
, suy ra
1
X
6
5
đi qua 0
6
và có VTCP: 9
6
%
%

1
X
7
5
nên (D) có VTCP: 9
Z
%
%
%
%
"
(69
6
%
%
%
%
"
#9
7
%
%
%
%
"
] . phương trình tham
số (D):
Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng
1
X

5'
1
X
5
=1y5
.5
9
Z
%
%
%
%
"
[9
6
%
%
%
%
"
9
Z
%
%
%
%
"
[,'%
%
%

p
%
%
%
%
"
. Ta có :
1X5=1y5'
1
X
5
=1o5
.:
9
Z
%
%
%
%
"
[9
`
%
%
%
%
"
9
Z
%

%
%
%
"
] . phương trình tham số (D):
Bài toán 15: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A,cắt 2 đường thẳng
1
X
6
5
#
1
X
7
5
*' Giải:
Cách1: Viết phương trình 2 đường thẳng
1
X
6
5
#
1
X
7
5
'về PTTS, Từ đó gọi 0
1
t+r"3t+r"3r+t"
5

"
#i@0
%
%
%
%
%
%
"
#@v
%
%
%
%
%
%
"
j''* Ta có A, M, N'thẳng hàng 9 i@0
%
%
%
%
%
%
"
#@v
%
%
%
%

()b
1
@3-
6
5
#
1
x
5
()b
1
@3-
7
5
* Giao tuyến 1b5 của 2 mặt phẳng
1
w
5
'gh'
1
x
5
'chính là đường thẳng nghi
ngờ (99%
1
b
5
'là đường thẳng cần tìm). Ta thu được phương trình tổng quát của
1
b

6
5

1
w
5
1
b
5
#
1
X
7
5

1
x
5
'
'nên chỉ cần kiểm
tra':
9
b
%
%
%
%
"
<9
Z

6
5
và 1X5[
1
X
7
5
*'
Giải: Từ phương trình của 2 đường thẳng ta suy ra
1
X
6
5
đi qua 0
6
và có VTCP: 9
6
%
%
%
%
"
,
1
X
7
5
' có VTCP 9
7
%

X
7
5
9 @0
%
%
%
%
%
%
"
[9
7
%
%
%
%
"
9@0
%
%
%
%
%
%
"
*9
7
%
%

5
và 1X5nn
1
X
8
5
*' Giải:
Cách1: Gọi (P) là mặt phẳng chứa
1
X
6
5
'gh'1y5nn1X
8
5'* Gọi (Q) là mặt phẳng chứa
1
X
7
5
'gh'1o5nn1X
8
5'. Viết
phương trình 2 mặt phẳng đó. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) chính là đường thẳng (D) cần tìm.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321 Cách 2: Từ phương trình của 3 đường thẳng ta suy ra

5
'# v
1
t+r".3t+r".3r+t".
5
4
1
X
7
5
*
Tính 0v
%
%
%
%
%
%
%
"
,i0v
%
%
%
%
%
%
%
"
#9

. Giải hệ 2 ẩn 2 phương trình ta được t và t’, suy
ra 0v
%
%
%
%
%
%
%
"
. Đường thẳng (D) cần tìm chính là đường thẳng MN qua M (hoặc N) có VTCP là 0v
%
%
%
%
%
%
%
"
. phương
trình tham số (D):
Bài toán 18: Tìm tọa độ hình chiếu H( điểm đối xứng A’ của A qua (D) ) của điểm A lên đường thẳng (D).
Giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và
1
y
5
[
1
X
5

{
F;
G
(|#4
G
z
(V4
{
F4
G
(|#2
G
z
(
V2
{
F2
G
(|#'
Bài toán 19: Tìm tọa độ hình chiếu H( điểm đối xứng A’của A qua (P) ) của điểm A lên mặt phẳng (P).
Giải: Gọi (D) là mặt phẳng đi qua A và
1
X
5
[
1
y
5
. Lúc đó (D) qua A và có VTCP là 9
Z

G
(|#4
G
z
(V4
{
F4
G
(|#2
G
z
(
V2
{
F2
G
(|#'
Bài toán 20: Cho phương trình đường thẳng 1X5, tọa độ điểm A. Tìm điểm M thuộc 1X5 sao cho MA nhỏ
nhất. Giải: Cách1: Từ pttsố của 1X5 suy ra 0
1
t+r"3t+r"3t+r"
5
(1 ẩn t). Tính 0@
7
(
15
7
+
15
7

7
nhỏ nhất. Giải: Cách1: Từ pttsố của 1X5 suy ra 0
1
t+r"3t+r"3t+r"
5
(1 ẩn t). Tính 0@
7
+
0A
7
(|(!"
7
+$"+&(}
1
"
5
'1gư9'~'!W\5* Ta có: 0@
7
+0A
7
'm#ỏ'm#ấ$ ;}
1
"
5
!s
;"(
F
P
7O
'1&c'"cể'/cả$'"d"'}

Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321 Bài toán 22: Cho phương trình mặt phẳng 1y5, tọa độ 2 điểm A, B. Tìm điểm M thuộc
1
y
5
sao cho
0@
7
+0A
7
nhỏ nhất. Giải: Gọi H là trung điểm của AB suy ra tọa độ điểm H. Theo công thức đường trung
tuyến trong tam giác MAB ta có: 0@
7
+0A
7
(V0Y
7
+
6
7
@A
7
*'Do đó: 0@
7
+0A
7

5
sao cho
0@+0A nhỏ nhất. Giải: Kiểm tra 2 điểm A, B có nằm cùng phía hay trái phía đối với
1
y
5
*'đặt }
1
;#4#2
5
(
oế'f#d['b"1y5. Nếu }
1
@
5
*}
1
A
5
X\;@#A'"#d['bc'!'"$'gớ['
1
y
5
#,aượ&'gạ['"cì'&ù,a'bcí!. Trường hợp 1:
Nếu A, B trái phía so với (P) thì 0@+0A* @A#0@+0A nhỏ nhất khi M nằm giữa A và B hay khi M là
giao điểm của @A'gớ[')b
1
y
5
* Để tìm tọa độ điểm M ta viết phương trình đường thẳng AB, tọa độ của M

y
5
*'đặt
}
1
;#4#2
5
(oế'f#d['b"1y5. Nếu }
1
@
5
*}
1
A
5
X\;@#A'"#d['bc'!'"$'gớ['
1
y
5
#,aượ&'gạ['"cì'&ù,a'bcí!.
Trường hợp 1: Nếu A, B cùng phía so với (P) thì ta có
k
0@F0A
k
+ @A#
k
0@F0A
k
O0
(@A ;

1
y
5
* Để tìm tọa độ điểm M ta viết phương trình đường thẳng
@.A', tọa độ của M thỏa hệ 5
b"'@.A
b"1y5
'
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321 Bài toán 25: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A , cắt đường thẳng
1
X
6
5
và
1
X
5
[
1
X
6
5
*' Giải:

y
5
Z1X
6
5, tọa độ A thỏa hệ: :
5
b"')b
1
y
5
b"'
1
X
6
5
'
, gọi A(
1
y
5
Z1X
6
5, tọa độ B thỏa hệ: : 5
b"')b
1
y
5
b"'
1
X

5
[
1
X
5
. ' Giải: Từ phương trình của (P) , (D) ta suy ra
9
Z
%
%
%
%
"
#,
`
%
%
%
%
"
. Do @(
1
y
5
Z
1
X
6
5
, tọa độ A thỏa hệ: : 5

"
[9
Z
%
%
%
%
"
9
Z
R
%
%
%
%
%
%
"
[,
`
%
%
%
%
"
*
'
''*'Ta
chọn''9
Z

%
%
%
%
%
%
"
'"94'#!'yffn*
Bài toán 28: Cho mặt phẳng (P), điểm A và đường thẳng
1
X
5
*'Viết phương trình đường thẳng
1
X
6
5
đi qua
A song song với (P) đồng thời cắt đường thẳng (D). ' Giải: Gọi (Q) là mặt phẳng qua A song song với (P),
gọi A(
1
o
5
Z
1
X
5
. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB.
Bài toán 29: Cho 2 đường thẳng chéo nhau
1

%
%
"
. Viết phương trình đường
thẳng
1
X
6
5
#
1
X
7
5
về dạng tham số. Gọi 0
1
t+r"3t+r"3r+t"
5
4
1
X
u
5
'# v
1
t+r".3t+r".3r+t".
5
4
1
X

%
%
%
%
"
[9
6
%
%
%
%
"
0v
%
%
%
%
%
%
%
"
[9
7
%
%
%
%
"
'
]

%
%
%
"
(\
'
Giải hệ này ( bấm máy) ta dược t và t’, suy ra tọa độ 2 điểm M, N,'"ọ!'_ộ'0v
%
%
%
%
%
%
%
"
. Đường thẳng
vuông góc chung là đường thẳng MN, phương trình tham số:
Bài toán 30: Cho 2 điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ
B đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Giải: Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P). Ta luôn có đường
vuông góc bé hơn hoặc bằng đường xiên: @Y+ @A#@Y
O0
(@A;Y&A;)b1y5 đi qua A và vuông
góc với AB suy ra phương trình mặt phẳng (P).
Bài toán 31: Cho điểm A và phương trình đường thẳng (D). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
1
b
5

(hay đi qua
1

"
làm vectơ pháp tuyến. Như vậy ta cần tìm tọa độ hình chiếu vuông góc @
z
của A
lên đường thẳng (D) ( Bài toán 17 ), sau đó tính @@
z
%
%
%
%
%
%
%
"
'suy ra phương trình (P) cần tìm.
Bài toán 32: Cho phương trình mặt cầu (S), phương trình đường thẳng
1
b
5
* Viết phương trình mặt phẳng
(P) chứa
1
b
5
(hay đi qua
1
b
5
) sao cho mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) là một đường tròn có bán kính bằng #
cho trước. Giải: Từ phương trình (S) suy ra (S) có tâm U1;

1
!
p
;+$
p
4+&
p
2+-
p
5
(\'
1
)
7
+,
7
x\
5
;@
1
)#,
5
;+A
1
)#,
5
4+W
1
)#,
5

(t;r)+rr,(\.chọn
)#,. từ đó xác định được phương trình (P) cần tìm. Đặc biệt: Nếu bán kính #(T thì mặt phẳng (P) đi qua
tâm U1;
z
34
z
32
z
5 của mặt cầu, yêu cầu bài toán trở thành viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
1
b
5
'và'đi qua U1;
z
34
z
32
z
5.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com