1
H×nh häc mỈt ph¼ng täA ®é

C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cđa tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh
chó
ý
: - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph¬ng
- 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tun ®êng nµy lµ chØ ph¬ng cđa ®g kia,
chØ ph¬ng ®êng nµy lµ ph¸p tun cđa ®g kia

Lo¹i 1:
cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã:
c¸ch gi¶i: - viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK
- viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH
Lo¹i 2
: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng trung tun kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i:
- LÊy ®iĨm M thc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iĨm t×m
to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®êng CN t×m tham sè t 
®iĨm C
- LÊy ®iĨm N thc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iĨm t×m to¹ ®é B
thay voµ PT ®êng BM t×m tham sè t  ®iĨm B

lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i:
- gäi A’ vµ A’’ lµ diĨm ®èi xøng cđa A qua ®êng ph©n gi¸c
BB’ vµ CC’  A’ vµ A’’ thc c¹nh BC
- viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cđa nã víi ®êng CC’, BB’ta cã ®iĨm



IB
IA
| ngắn nhất.
e/ Tìm J trên trục tung sao cho JA –JB dài nhất.
A

B
C(x;y)
A(x;y)

B
C
A’ B’
B’
C’
A(x;y)

C
A’
I
J
B
A’’
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
2
4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) . Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y =3 và điểm C
trên trục hoành sao cho ABC là tam giác đều.

1/ Lập phương trình tổng quát đường thẳng ( d’) đi qua điểm A (1 ; -2 ) và song song với (d).
2/ Lập phương trình đường thẳng (d’’) đi qua điểm M( 3 ; 1 ) và (d’’) vuông góc với (d).
Bài 6
: Cho hai đường thẳng d: 2x + 7y – 8 = 0 và d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi
qua giao điểm của d và d’và thoả mản môït trong các điều kiện sau đây :
1/ Đi qua điểm ( 2 ;- 3) 2/ Song song với đường thẳng x – 5y + 2 = 0
3/ Vuông góc với đường thẳng x- y + 4 = 0 .
Bài 7
:Tam giác ABC có A( -1 ; - 3 ) , các đường cao có phương trình : BH: 5x + 3y –25 = 0;
CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao còn lại.
Bài 8
:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Viết phương trình đường
thẳng d trong mổi trường hợp sau :
1/ d qua M và cách N một khoảng bằng 4. 2/ D qua M vàcách đều hai điểm N, P.
Bài 9:
Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết A( 1; 3) và hai trung
tuyến có phương trình là x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.
Bài 10: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC nếu cho điểm B(-4;-5) và hai
đường cao có phương trình là :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.
Bài 11
: Cho điểm P( 3; 0) và hai đường thẳng d
1
: 2x – y – 2 = 0 , d
2
:x + y + 3 = 0. Gọi d là đường thẳng qua
P cắt d
1
, d
2
lần lượt tại A và B .Viết phương trình của d biết PA = PB.

Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-6 ; 4 ) và đường thẳng d: 4x – 5y + 3 = 0.
1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.
2/ Tìm điểm N đối xứng với điểm M qua d .
Bài 2
: Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) và đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 .
1/ Chứng minh rằng A , B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d.
2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d .
3/ Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB bé nhất.
Dạng 3 :
Các bài toán về vò trí tương đối của hai đường thẳng
Bài 1:
Xác đònh a để các đường thẳng sau đây đồng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 .
Bài 2
: Cho hai đường thẳng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Với giá trò nào của m thì :
1/ d và d’ cắt nhau. 2/ d // d’. 3/ d trùng với d’.
Bài 3
: Với giá trò nào của m thì hai đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm trên trục hoành
d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0.
Dạng 4 :
Các bài toán Sử dụng công thức tính góc và khoảng cách.
Bài 1 : Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau :
1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0
2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 .
Bài 2 :
Tính khoảng cách từ điểm M ( 3 ; 2) đến các đường thẳng sau đây:
1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 .
Bài 3
: Cho đường thẳng d: 3x – 2y +1 = 0 và điểm A(1;2) . Lập phương trình đường thẳng  đi qua A và
hợp với d một góc 45
0

4
3/ Chgo tam giác ABC ,cạnh BC có trng điểm M(0; 4) còn hai cạnh kia có phương trình :
2x + y – 11 =0 và x + 4y – 2 =0
a. Xác đònh tọa độ điểm A.
b. Gọi C là điểm trên đường thẳng x – 4y – 2 = 0 , N là trtrung điểm AC . Tìm N rồi suy ra tọa độ của
B , C.
4/ Cho tam giác ABC có M(-2 ;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x –2y–2=0
cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 =0. Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giácABC.
5/ Cho A(-1; 2)và B(3;4).Tìm điểm Ctrên đường thẳng x –2y +1=0 sao cho tam giác ABC vuông tại C .
6/ Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5),đường cao vẽ từ A có phương trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyến vẽ từ
C có phương trình x + y – 5 =0
a. Tìm tọa độ điểm A. b, Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
7/ Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;1)và có các cạnh AB:4x+y 15 = 0 và AC :2x+5y +3 = 0.
a,Tìm tọa độ A và trung điểm M của cạnh BC b,Tìm tọa độ điểm B và viết phưng trình đường thẳng BC.
8/ Cho A(1;1), B(-1;3)và đường thẳng d:x+y+4 =0.
a, Tìm điểm C trên d cách đều hai điểm A,B. Với C vừa tìm được .Tìm D s/cho ABCD là hbh .tính S
hbh
.
9/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)
a. Biết đường cao BH:5x+3y –35=0, đường cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tìm B,C.
b. Biết trung trực của cạnh AB có phương trình x+2y –4=0 và trọng tâm G(4;-2).Tìm B,C.
10/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến vẽ từ một đỉnh
có phương trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0.
11/Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai trung tuyến có phương trình x-2y+1
=0, y -1=0 .
12/ Cho tam giác ABC có A(2;-1) và phương trình hai phân giác trong của góc B và C lần lượt là d:x –
2y+1=0 , d
’
:x+y+3 = 0. Tìm phương trình cạnh BC.
13/ Cho tam giác ABC có A(2;-3) ,B(3;-2)trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng

, các đỉnh A và B thuộc trục
hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
5
ĐƯỜNG TRÒNA . LÝ THUYẾT CẦN NHỚI .phương trình đường tròn

:
*
Đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b) ,bán kính R có phương trình là :
(x – a )
2
+ ( y – b)
2
= R
2

* Phương trình : x
2
+ y
2
–2ax – 2by + c = 0 , a
2

) = x
0
2
+y
0
2
–2ax – 2by + c .III. Trục đẳng phương của hai đường tròn :Cho hai đường tròn không đồng tâm ( C
1
) : x
2
+ y
2
– 2a
1
x – 2b
1
y + c
1
= 0 ,
( C
2
) : x
2
+ y


1/Dạng 1
:
Cho đường tròn ( C ) : ( x – a )
2
+ ( y –b)
2
= R
2
. Tâm I ( a ;b) , bán kính R.
Tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M
0
( x
0
; y
0
)

( C ) có phương trình :
(x
0
– a) (x – a ) + ( y
0
– b)( y – b) = R
2

Chú ý: Tiếp tuyến với ( C ) tại M
0
nhận vectơ M
0

*

tiếp xúc với ( C )  d( I ,

) = R.Từ điều kiện này ta tìm được A và B.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài 1 :Xác đònh tâm và bán kính của các đường tròn sau :
1/ x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0 . 2/ 2x
2
+ 2y
2
+ 4x - 8y - 2 = 0 .
3/ x
2
+ y
2
– 6x – 16 = 0 . 4/ x
2
+ y
2
- 8y - 9 = 0 .
Bài 2
:Lập phương trình đường tròn ( T ) trong các trường hợp sau:
1/ ( T ) có tâm I ( 2 ; - 1) và có bán kính R = 3 .
2/ ( T ) có đường kính AB với A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 ) .

6
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ N (– 2 ; 6 ).
Bài 5 :
Cho hai đương tròn ( C
1
) và ( C
2
) lần lượt có phương trình là :
x
2
+ y
2
+ 4x + 4y –13 = 0 , x
2
+ y
2
- 2x + 8 y + 5 = 0 .Viết phương trình trục đẳng phương của hai đường
tròn đó .
Bài 6
: Cho ( C
m
) có phương trình : x
2
+ y
2
– 2mx – 4my + 2m
2
– 1 = 0.
1/ Tìm các giá trò của m sao cho (C
m

5

x
y
, (d
2
) : y = x+2 , (d
3
): y = 8 – x
3/ Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1).
4/ Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A( -1;1) , B(1;-3) và có tâm nằm trên đường thẳng (d)
:2x – y + 1 = 0
5/ Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng
(d) : 7x-y-5= 0 tại điểm M(1;2)
6/ Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d
1
) : 2x +y = 0 và tiếp xúc với đường
thẳng (d
2
): x -7y+10 = 0 tại điểm M(4;2).
7/ Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d
1
) : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai
đường thẳng (d
2
) : x +y+4 = 0 ,(d
3
) :7x – y+4 = 0
8/ Viết phương trình đường tròn qua A( 2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ .
9/ Cho hai đường tròn (C

1
) : x
2
+y
2
– 4x – 5 = 0 , (C
2
): x
2
+y
2
– 6x +8y +16 = 0 . Viết phương trình tiếp
tuyến chung của hai đường tròn .
12/ Cho hai đường tròn : (C
1
) : x
2
+y
2
– 4x +2y –4 = 0 , (C
2
): x
2
+y
2
– 10x – 6y +30 = 0 có tâm I, J.
a. Chứng minh rằng (C
1
) và (C
2

7
(d
2
)  (d
3
) =B , (d
3
)  (d
1
) = C.
a. Viết phơng trình phần giác trong của góc BAC .
b. Tính diện tích tam giác ABC .
c. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
16/ Cho đường tròn (C) :x
2
+ y
2
-8x -6y = 0 và điểm A(14;8) . Qua A kẻ các tiếp tuyên AM,AN với
(C) . Lập phương trình đường thẳng MN .
17/ Cho (Cm) : x
2
+y
2
+2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0.
a.Xác đònh m để (Cm) là đường tròn .
b. Tìm quỹ tích tâm I của (C
m
) .
18/ Cho (C) : x
2

+ y
2
+4x -2y -20 = 0
b. (C
1
): x
2
+ y
2
- 4x - 5 = 0 , (C
2
): x
2
+ y
2
- 6x +8y +16 = 0

C«ng thøc vỊ E-LÝp
Ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t:
2 2
2 2
x y
+ = 1
a b
(a,b>0)
NÕu a>b th×:

b
2
= a

NÕu
b
>
a

th×:

a
2
=
b
2
-

c
2 trơc lín lµ 2b
trơc nhá lµ 2a
tiªu cù lµ 2c
t©m sai e=c/b
tiªu ®iĨm ( thc Oy) F
1
=(0;-c) F
2
=( 0;c)
Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1

2
= 25.
Bài 2
: Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) trong các trường hợp sau :
1/ ( E ) có tiêu cự bằng 6 ; trục lớn là 2 10 .
2/ ( E ) có trục lớn bằng 20 tâm sai bằng 3/5,
3/ ( E ) có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M (
15 ; - 1 ).
4/ ( E ) có một tiêu điểm F
2
( 4 ; 0 ) và đi qua điểm N ( 3 ;
5
12
)
5/ ( E ) đi qua hai điểm A ( 5 ; 0 ) và B ( 4 ; 3
2
)
6/ ( E ) có trục nhỏ bằng 6 , phương trình hai đường chuẩn x
7

16 = 0.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
8
7/ ( E ) có tâm sai bằng
2
1
, khoảng cách giữa hai đườg chuẩn bằng 32.
Bài 3 :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :4x

2
+ BF
1
.
Bài 6 :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) 16x
2
+ 25y
2
= 100.
1/ Tìm tọa độ các tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tính tâm sai của ( E ) .
2/ Đường thẳng d đi qua một tiêu điểm của ( E ) cắt ( E ) tại hai điểm A , B .Tính
độ dài AB 3/ Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = x + m cắt (E )tại hai điểm phân biệt.
Bài 7
: Cho elip ( E ) : x
2
+ 4y
2
=25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0.
1/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và ( E ) .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm đó.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( E ) biết tiếp tuyến đi qua M( 5; 5 ).
Bài 8 :
Viết phương trình tiếp tuyến với (E) : 9x
2
+ 16y
2

M.
3/ Viết phương trình đường thẳng (d) // Ox và cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho OA  OB.
Bài 11
:1/ Lập pt chính tắc của elíp (E) có tiêu điểm F
1
( - 15 ;0), tiếp xúc với (d) : x + 4y – 10 = 0.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) vuông góc với (d’) : x + y + 6 = 0.
Bài 12 : Cho (E) : 4x
2
+ 9y
2
=36 và đường thẳng (d) có phương trình mx – y – 1 = 0 .
1/ Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt với mọi m .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;3)
Bài 13
: 1/Lập phương trình chính tắc của elíp (E) có một tiêu điểm F
2
( 10 ;0) độ dài trục lớn 2 18
2/ Đường thẳng (d) tiêp xúc với(E) tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B .Tìm M để diện tích tam giác
OAB nhỏ nhất .
Bài 14 : Cho (E) :
1
4
9
22

yx
.Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) trong đó a,b là hai số thay đổi
1/ Xác đònh tọa độ giao điểm I của AN và BM .
2/ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) là ab = 4 .

 


























21
21
13

,, .3
.2
),,( .1
bb
aa
bb
aa
bb
aa
b
babababab
b
a
b
a
b
a
babkab
bababab
ba
ba
ba
b
aaa
kakaka
babababa
zzyyxxABAB
zzyyxxAB
ABABAB
ABABAB

k
kyy
k
kxx
M
BABABA
1
,
1
,
1

14. M là trung điểm AB








2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M



18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM



),0,(;),,0(;)0,,(

19.
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
aaaACABS
ABC



20.
ADACABV
ABCD
).(
6
1

0
 S
ABC
=
2
1

AC],[AB

 Đường cao AH =
BC
S
ABC
.2

 S
hbh
=

AC],[AB

Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

 Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
 ABCD là hbh





BCD
S
V
AH
3


 Thể tích hình hộp :


/
.
.;
////
AAADABV
DCBAABCD


Dạng4:
Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp : ta có

na
d


www.MATHVN.com
www.mathvn.com

11
3.BI TP P DNG
1:
Viết tọa độ của các vectơ say đây:
2
a i j


;
7 8
b i k


;
9
c k;
3 4 5
d i j k


b
,

c
không đồng phẳng .
c) Hãy biểu diển vectơ

w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ

a
,

b
,

c
.
3:
Cho 3 vectơ

a
= (1; m; 2),

b
= (m+1; 2;1 ) ,

c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng .


và

1; 2;1
a


b)
4
a x a


và

0; 2;1
a
c)
2
a x b


và

5;4; 1
a


,

13 .
Cho ba vectơ

1; 1;1 , 4;0; 1 ,
a b

3;2; 1 .
c


Tìm:

2 2 2 2
) . ; ) . ; ) ;
a a b c b a b c c a b b c c a






2 2 2
) 3 2 . ; ) 4 . 5
d a a b b c b e a c b c




trong mỗi trờng hợp sau đây:


) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4; 2;3
a a b c




) 4;3; 4 , 2; 1;2 , 1;2;1
b a b c


) 4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1
c a b c




) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1 .
d a b c



17.
Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích ABC.

c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.
Vectơ pháp tuyến của mp

:
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của 


n

 
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp

:

a


b


o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C)

A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n

= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng
đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

1
c
z
b
y

= 0
(
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m
2
+ n
2
≠ 0 :
m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C

1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A



°
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D



)d(M,


10.Góc gi
ữa hai mặt phẳng
:
21
21
.
.
nn
nn



),cos(
2.CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1:
Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:

AB
,


n



d
a vtpt nên (d) Vì
Mqua




Dạng 4: Mp

qua M và //

: Ax + By + Cz + D = 0
°



n n vtpt nên // Vì
M qua



,
d
d
aan 

Dạng 6
Mp

qua M,N và



:
■
Mp qua M,N nên

aMN 

■
Mp  mp nên

bn 

°
],[


n nvtpt
N) (hayM qua



d
a

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1.
Ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt
n

biÕt
a,




M 3;1;1 , n 1;1;2
 

b,




M 2;7;0 , n 3;0;1
 


A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3
   

   
   

Bµi 3:
LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng



®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng



biÕt:
a,






M 2;1;5 , Oxy
 
b,




a b
 
.
Bµi 8:
T×m mét VTPT cđa mỈt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cỈp VTCP lµ
)4,2,3( );2,7,2( ba

Bµi 9:
LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn
);4,3,2(n
lµm VTPT.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
15
b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10:
LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 11:
(§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(-1;2;3) vµ hai mỈt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12:
LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a) §i qua hai ®iĨm A(0;-1;4) vµ cã cỈp VTCP lµ


3;2;1
a

vµ

1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua

M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a

= (a
1
;a
2
;a
3
)

Rt;
tazz
tayy
t
a
x
x
(d)
3o
2o
1o


3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp 
1
và 
2




0 DzBxA
0D
z
B
x
A
(d)
2222
1111
Cy
Cy
:

Véctơ chỉ phương


16
(d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

 d chéo d’

[
d
a

,
/
d
a
].

MN
≠ 0
(không đồng phẳng)
 d,d’ đồng phẳng

[
d
a

a
].

MN
=0

d,d’ song song nhau

{
d
a

//
/
d
a
và
)(
/
dM 
}

 d,d’ trùng nhau

{
d
a

//
/

];[
),( 

Kc giữa 2 đ
ường thẳng
:
];[
].;[
);(
/
/
/
d
d
d
d
aa
MNaa
ddd 

6.Góc : (d) có vtcp
d
a

; ’ có vtcp
/
d
a
; (
) có vtpt


.
.
)sin(d,


2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1:
: Đường thẳng (d) đi qua A,B




 ABaVtcp
hayBquaA
d
d
)(
)(

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (

)

 a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua

A

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
17
 Viết pt mp chứa (d) và vuông góc mp

 
   











];[
)()(
)(






nan
bn
aad

)(


A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2
:
+ Tìm
d
a
= [
a

d1
,
a

d2
]
+ Mp chứa d
1
, (d)
; mp
chứa d
2
, (d)



2

với mp
1
chứa d
1
//  ; mp
2
chứa d
2
// 
Dạng 9: PT d qua A và

d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mp qua A,  d
1
; B = d
2
 
Dạng 10: PT d

(P) cắt d
1
, d
2

 
R t,
21
22: 








tz
ty
tx
d

Bµi 4:
Cho ®êng th¼ng (D) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh lµ :
 
R t,
21
22: 








LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2;3) vµ song song víi ®êng
th¼ng (

) cho bëi :
 
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
 


   


  

.

Bµi8:
XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cđa ®êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) ,biÕt:
a)
 
R t,
2
3
1
: 

d
(P): y+4z+17=0
Bµi 9:
(§HNN_TH-98): Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ
 
3
2
1
2
1
:




zyx
d
.
a) T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P) .
b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d
1
) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mỈt ph¼ng (P) .
Bµi 10:
Cho hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :

 








a) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa nã.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d
1
),(d
2
).

Bµi 11:
(§HNN-96): cho hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :

 

34
24
37
:
1



tt,
12
29
1
:

a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) chÐo nhau.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d
1
),(d
2
) .

III.MẶT CẦU
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R





2
Rczbyax:R)S(I,

 Tâm I(a ; b ; c) và
dcbaR 
222

2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho






2
Rczbyax:(S)
222


và  : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp :
 d > R
: (S)   = 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
19
 d = R
:  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp

)

),(
22

IdRr 

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có

na
d


 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu







tazz
tayy
t
a
x


2
Rczbyax:R)S(I,
222

(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB

 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp222

)(
CBA
D
I
zC
I
yB

hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)0
d
2cz
2by
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2
2
2

(2)
A,B,C  mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α)
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
20
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
Tiếp diện

của mc(S) tại A :

07524:
222
 zyxzyxS
Bµi 2: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:


04624:
2222
 mmzmymxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3:
Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:


05824:
22222
 mymmxzyxS
m


LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iĨm A(2;1;-3) vµ
t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iĨm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thc 0x. d) Hai ®Çu ®êng kÝnh lµ A(-1;2;3),
B(3;2;-7)
Bµi 6: Cho 3 ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
), (d
3
) cã ph¬ng tr×nh :
 
1
1
4
2
3
2
:
1





zyx
d
,
 




zyx
d

a) LËp pt®t (d) c¾t c¶ (d
1
),(d
2
) vµ song song víi (d
3
).
b) Gi¶ sư






Add 
1
,






Bdd 

1
9
2
3
1
7
:
2






zyx
d

a) CMR (d
1
) vµ (d
2
) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng vu«ng gãc chung cđa (d
1
) vµ (d
2
).
c) LËp mËt cÇu (S) cã ®êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cđa (d
1
) vµ (d
2

Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tham số của đờng thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ
độ của điểm H.
b) (HVNHTPHCM-99):Viết pttq của (BCD) .Tìm kc từ A đến (BCD). c) Viết ptmc ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 13: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) Lập pt các mặt của hình chóp. b) Lập pt mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp . c) Tính V
SABCD

Bài 14:
(HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ
diện.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.


Ta có :
, ,
Ox Oy Oz
vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc
thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :

Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật
''''. DCBAABCD
Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A B a C a a a'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
A a B a a C a a a a a

Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A B a C a b b



Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao
SO h


Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó :














Với hình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
A

B

C

D

D’

C

A
’

B’

O
O’
x

y
B’
A

zS

z
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
23
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng
h
. Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; ;0;0
2 2
a a
A B
   

   
   

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :




;0;0 ; ; ;0
B a C a b

0; ;0 ; (0;0; )
D b S h Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA

(ABCD)
Tam giác ABC vuông tại A có
;
AB a AC b
 
đường cao bằng
h
.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :




;0;0 ; C 0; ;0
B a b

S 0;0;
h B

y

z
B

C

A

S

x

y

z

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
24



S ;0;
a h

Với hình chóp S.ABC có (SAB)

(ABC),

SAB cân tại S
và

ABC vuông tại C 
ABC vuông tại C
;
CA a CB b
 

chiều cao bằng
h
và

ABC vuông tại A 
ABC vuông tại A
;
AB a AC b
 

chiều cao bằng
hH là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :




;0;0 ; C 0; ;0
B a b (0; ; )

A
S

x

yB

C

A

H
S

x

y

zB
C

A

H


Khi đó :
;0;0 ; A 0; ;0
2 2
a a
C
   
   
    
B 0; ;0 ; S 0;0;
2
a
h
 

 
 


;
)0;;0( bB

);0;0( cC
;
)0 ; ; ( baAB 

) ; 0 ; ( caAC 
Tìm vectơ pháp tuyến của :
 Mặt phẳng (ABC) 
 Mặt phẳng (OBC) 
 Mặt phẳng (OCA)
 Mặt phẳng (OAB) 

) ; ; (, abacbcACABn 

)0 ,0 ,1 (i
vì :
)(OBCOx



222222
.
cos
baaccb
cb





222222
.
cos
baaccb
ac




222222
.
cos
baaccb
ba




H


C

C’

O

www.MATHVN.com
www.mathvn.com