Làm quen với Hình học tọa độ & Hình học giải tích
Xin gi i thi u v i các b n 25 câu h i áp v hình h c trong sách “ớ ệ ớ ạ ỏ đ ề ọ Toán h c – ọ
Nh ng i u kì thú và nh ng m c son l ch sữ đ ề ữ ố ị ử” (A.L. Audichya) dành cho nh ng ữ
ng i không chuyên nghiên c u toán h c nh ng mu n tìm ki m nh ng thông tin ườ ứ ọ ư ố ế ữ
h i nhanh áp g n và không mu n sa vào các chi ti t các khái ni m chuyên sâu c aỏ đ ọ ố ế ệ ủ
toán h c.ọ
1. Hình học tọa độ là gì?
Hình học tọa độ
*
là lĩnh vực nghiên cứu hình học bằng phương pháp đại số.
Hình học tọa độ khai thác có hệ thống thực tế là có một sự tương ứng tự nhiên giữa
các số thực và các điểm trong không gian.
Lấy một điểm O bất kì nằm trên một đường thẳng. Gọi nó là gốc tọa độ, tức là điểm
xuất phát cho mọi phép đo dọc theo đường thẳng đó. Khi ấy, mỗi số thực tương ứng
với một điểm trên đường thẳng đó, và ngược lại. Số thực đó được gọi là tọa độ của
điểm tương ứng.
Xét hai đường thẳng vuông góc nhau, gọi là hai trục tọa độ, Ox và Oy, cùng đi qua gốc
tọa độ O. Khi ấy, vị trí của một điểm P bất kì trong mặt phẳng được xác định bởi khoảng
cách x
1
đến đường thẳng đứng Oy và khoảng cách y
1
đến đường nằm ngang Ox. Cặp
số thực theo trật tự (x
1
, y
1
) xác định điểm P trong mặt phẳng, và được gọi là tọa độ của
nó.
1
Hình học tọa độ còn được gọi là hình học giải tích hay hình học tọa độ Descartes để

conic.
3
Nếu một mặt phẳng cắt qua một hình nón vuông góc với trục của nó thì giao tuyến là
một đường tròn.
Nếu mặt phẳng cắt xiên với trục hình nón thì giao tuyến thu được là đường elip.
Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh của hình nón thì giao tuyến là đường
parabol.
Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần thì ta thu được đường hyperbol.
Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần và đồng thời đi qua đỉnh nón, thì ta thu được
một cặp đường thẳng xuyên đỉnh.
4
6. Tính phản xạ của parabol có ý nghĩa gì?
Parabol có một tính chất nổi bật là nếu đặt một nguồn sáng tại tiêu điểm S của nó, thì
toàn bộ các tia sáng đi ra từ S, sau khi phản xạ tại parabol, truyền đi song song với trục
của nó.
Tính chất này được gọi là tính phản xạ của parabol.
Chính vì tính chất này mà các gương lắp phía sau đèn trước xe hơi được chế tạo có
hình paraboloid, tức là hình dạng được tạo ra bằng cách quay parabol xung quanh trục
của nó.
Gương parabol giúp người lái xe nhìn thấy xa hơn về phía trước.
64. Tính chất âm học của parabol là gì?
Các tia sáng đi ra từ tiêu điểm bị phản xạ song song với trục của parabol.
Ngược lại, các tia sáng tới song song với trục của parabol sau khi bị phản xạ thì cùng đi
qua tiêu điểm.
Vì sóng âm hành xử theo kiểu giống như vậy, nên tính chất âm thanh bị hội tụ tại tiêu
điểm được gọi là tính chất âm học của parabol.
5
Đây là nguyên do ở trong một số phòng trưng bày nghệ thuật, những tiếng thì thầm của
ai đó lại được nghe rõ khi bạn đứng ở một chỗ nhất định, còn ở những chỗ khác thì
không nghe được.

số chúng là:
Kepler khám phá rằng các hành tinh chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo elip và
Galileo
*
khám phá rằng một hòn đá bị ném đi trong không khí vạch ra một quỹ đạo
parabol. Tương tự, các viên đạn bay ra từ nòng súng cũng vạch ra các parabol.
Vì thế, có nhu cầu tính toán những elip này cũng như các parabol mô tả quỹ đạo của
viên đạn.
10.Còn những nhu cầu nào khác nữa?
Nền thiên văn học lấy Trái đất tĩnh làm trung tâm không còn đúng nữa, và nền cơ học
Hi Lạp cổ đại cũng vậy. Những lí thuyết này cần được đánh giá lại và xét lại.
Sự phát triển nhanh của ngành hàng hải làm phát sinh nhu cầu liên hệ các bản đồ hải
trình trên địa cầu với bản đồ phẳng.
Những lĩnh vực khoa học tự nhiên khác cũng có những bài toán tương tự chờ được
giải và tính toán chính xác.
11. Tại sao tính chất của những đường conic đã không được khai thác khi mà
những người Hi Lạp xưa đã biết rõ về chúng?
Tính chất của các đường conic đã được người Hi Lạp xưa biết rõ từ trước Descartes
đến 2000 năm, nhưng chúng chỉ cấu thành nên một bộ phận của hình học. Người ta
chưa biết có phương pháp nào sử dụng chúng trong những lĩnh vực khác. Công cụ hệ
tọa độ đã thay thế các đường cong bằng phương trình, chúng tương đối dễ xử lí hơn.
Và kĩ thuật tọa độ đã mở rộng cửa cho một ngôi nhà đầy châu báu trước đó chưa ai
dám mơ tới!
12.Kĩ thuật đại số có là đủ để làm việc với các đường cong hay không?
Không, người ta sớm nhận ra rằng những kĩ thuật này không thể xử lí độ dốc và độ
cong, chúng là những tính chất cơ bản của đường cong.
13. Độ dốc và độ cong được định nghĩa như thế nào?
Độ dốc là tốc độ mà một đường cong tăng hoặc giảm tính trên đơn vị hoành độ.
7
Độ cong là tốc độ mà chiều của đường cong biến thiên trên đơn vị chiều dài của đường

1
, y
1
, z
1
) được gọi là các tọa độ của điểm P.
Hình học tọa độ ba chiều nghiên cứu các điểm trong không gian hay, tương đương,
những bộ ba số trật tự.
17.Hình học n chiều là gì?
Cayley và nhà toán học người Đức Grassmann, độc lập nhau, đã khái quát hóa hình
học tọa độ hai chiều.
Trong hình học tọa độ hai chiều, một điểm được xác định bởi hai tọa độ và khoảng
cách giữa hai điểm có tọa độ (x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
) được cho bởi
9
Theo định lí Pythagoras: PQ
2
= PM
2
+ MQ
2
Hay PQ
2

Ta có thể tiếp tục khái quát hóa cho hình học tọa độ n chiều, khoảng giữa hai điểm có
tọa độ (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, , x
n
) và (y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, , y
n
) được cho bởi
Mỗi khái niệm trong hình học hai chiều có thể khái quát hóa thành một khái niệm tương
đương n chiều. Vì không gian mà chúng ta đang sống trong đó là ba chiều, nên trực
quan hình học không thể cảm nhận vượt quá ba chiều, nhưng sự tương tự là rất có ích.
18.Hình học tọa độ bốn chiều có ứng dụng gì?
Hình học tọa độ bốn chiều có công dụng lớn đối với các nhà vật lí.
Giống hệt như một điểm trong một mặt phẳng hoàn toàn được xác định bởi hai con số
gọi là tọa độ và một điểm trong không gian được xác định bởi ba tọa độ, một sự kiện
được xác định bởi ba tọa độ cho biết vị trí trong không gian và tọa độ thứ tư cho biết

tổng quát n. Và chúng ta có một “không gian” n chiều, trong đó n có thể nhận giá trị lớn
hơn 3.
Khi đó, một “điểm” tốt hơn nên được gọi là một “nguyên tố” và “không gian” là “đa diện”.
22. Đa diện có là một khái niệm tổng quát hơn không?
Tên gọi “đa diện” mang tính khái quát hơn và chính xác hơn thuật ngữ “không gian”.
Một đa diện đại khái giống như một lớp.
Một mặt phẳng là một lớp gồm tất cả những điểm được xác định duy nhất bởi hai tọa
độ, và do đó nó là một đa diện hai chiều.
Tương tự, không gian của hình học tọa độ ba chiều có thể được xem là đa diện ba
chiều vì ba tọa độ là cần thiết để cố định những điểm nằm trong đó.
Nếu cần n con số hay tọa độ để cố định mỗi nguyên tố của một đa diện, dù nó là không
gian hay một lớp bất kì nào khác, thì nó được gọi là một đa diện n chiều.
Đa diện được cho là không có thuộc tính, ngoại trừ việc nó là một lớp.
23.Chúng ta có những đa diện khác nữa không?
Chúng ta có nhiều loại đa diện chẳng có liên quan gì đến không gian hay hình học. Một
đa diện ba chiều sẽ là một lớp nguyên tố, mỗi nguyên tố trong đó sẽ cần đúng ba con
số để xác định nó.
Một nhóm người có thể được xem là một đa diện – và một đa diện ba chiều, với ba con
số x
1
, x
2
, x
3
biểu diễn tuổi tác, chiều cao và cân nặng, là cần và đủ để phân biệt họ.
Cũng nhóm người đó có thể được xem là một đa diện bốn chiều, nếu bốn con số x
1
, x
2
,