http://trithuctoan.blogspot.com/
khai thác và ứng dụng một bất đẳng thức trong giải toán.

Bất đẳng thức xuất phát: Cho a,b là hai số thực và x,y là hai số d-ơng chứng minh rằng:

2 2 2
()
(*)
a b a b
x y x y




* Chứng minh:
Bất đẳng thức (*) t-ơng đ-ơng với

2 2 2
2 2 2 2
2
( ) ( ) ( )
2
( ) 0
a y x y b x x y a b xy
a y b x abxy
ay bx




Bất đẳng thức sau cùng hiển nhiên đúng.Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi:

nn
nn
nn
a a a a
aa
a a x x
x x x x x x




Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi:
12
12

n
n
a
aa
x x x


1.Các tr-ờng hợp đặc biệt: :
1.1 Đặc biệt 1:
+ Khi x=y=1 thì (*) trở thành bất đẳng thức quen thuộc
2
22
()
2
ab

a a a
n


(5)
* Chứng minh :
áp dụng BĐT (2) ta có:

2 2 2
22
1 2 1 2
12
( ) ( )

1 1 1 1 1 1
n n n
a a a a a a a
aa
n




Một số bài toán ứng dụng các bất đẳng thức trên:
Bài toán 1: Cho a + b = 1 . Chứng minh rằng:
2
1
22
ba
;

2
)(
2
222
44



ba
ba

128
1
2
)
8
1
(
2
)(
2
244
88



ba
ba
.Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2.
* Khai thác bài toán

n
n
b
n
a

* Giải bài toán 1.1: áp dụng ph-ơng pháp quy nạp toán học và làm t-ơng tự bài toán 1.

Nhận xét 2:Tiếp tục khái quát bài toán 1.1 khi thay giả thiết a + b = 1 bởi giả thiết a + b =k , làm t-ơng tự nh- trên
ta có :
12
2
22


n
n
k
n
b
n
a

Vậy có bài toán 1.2 nh- sau:
Bài toán 1.2: Cho a + b = k . Chứng minh:
2
22
21
2
k










Tổng quát ta có bài toán sau:
Bài toán 1.3: Chứng minh :
a)

3
4
44
2
ba
ba



b)

12
2
2
22



a b c d












* Khai thác sâu bài toán
Nếu tiếp tục nâng số mũ lên cao hơn theo cách khai thác của bài toán 1.3 và áp dụng BĐT (5) liên tiếp ta thu đ-ợc
kết quả tổng quát hơn nữa chẳng hạn:
Bài toán 1.4: Chứng minh:
4
4 4 4
12
12
3
2
( )
a)
(2 )
n
n
n
a a a

2 2 2
12
12
2
21
( )
)
(2 )
n
n n n
n
n
n
n
a a a
c a a a



với
*
Nn

* Giải :
áp dụng BĐT (5) cho 2
n
và sử dụng ph-ơng pháp quy nạp.

Bài toán 2: Cho
1 2 3 4

12

n
a a a k
.Chứng minh rằng :
2
2 2 2
12

n
k
a a a
n


* Giải :
áp dụng BĐT (5) và sử dụng giả thiết
12

n
a a a k
ta có điều phải chứng minh.
* Khai thác sâu bài toán
Từ bài toán 1.4 và theo cách khai thác bài toán 2.1 ta có bài toán sau:
Bài toán 2.2: Chứng minh rằng
a)

3
4
321

aaa
n
n


với
*
Nn

2
2 2 2
12
12
21
( )
)
m
m m m
m
n
n
a a a
c a a a
n



với
,*m n N


12
12
2
22
1 2 1 2
2 1 2 1
( )

( ) ( )
1
k k k
k k k
kk
kk
n
n
nn
a a a
a a a
n
a a a a a a
n
nn








n
k
a a a
n



1.2.Đặc biệt 2:
+ Khi
| | | | 1ab
thức (*) tr th nh :
2
1 1 2
x y x y


(6)
+ Khi
| | | | | | 1abc
thì (1) trở thành
2
1 1 1 3
(7)
x y z x y z



+ Khi
12
| | | | | | 1



(Đề thi đại học khối A năm 2005)
*Giải:
áp dụng BĐT (6 ) ta có:

2 1 1 1 1 1 1 4 4 16
2
1 2 1 1 1 1 1 4 4 16
2
1 1 2 1 1 1 1 4 4 16
2
16 16 16 1 1 1
4( ) 16
2 2 2
111
1
2 2 2
x y z x y x z x y x z x y z
x y z x y y z x y y z x y z
x y z x z y z x z y z x y z
x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y z








áp dụng bất đẳng thức (7) cho (a+b+c) số ta có:

2
2
22
( ) 1 1
()
()
1 1 1 1
( ), ( )
( ) ( )
111
a b c a b c a b c
ax by cz x y z ax by cz a b c x y z
c a b b c a
cx ay bz a b c x y z bx cy az a b c x y z
k
ax by cz cx ay bz bx cy az a b c








Nhận xét2: Nếu vẫn là bài toán 4.1 chỉ thay giả thiết
1 1 1
k
x y z


3
2
xyz
y z z x x y



( Bất đẳng thức Nesbitt)
* Giải:
Ta có :
2 2 2 2
()
2( )
x y z x y z x y z
y z z x x y xy xz yz yx xz yz xy yz xz




http://trithuctoan.blogspot.com/
Vì thế ta chỉ cần chứng minh BDT :

2
2 2 2
( ) 3
( ) ( ) ( ) 0
2( ) 2
x y z
x y y z z x

2 2 2
( ) 3
( ) ( ) ( ) 0
( )( )
x y z
x y y z z x
a b xy yz xz a b



(luôn đúng)
Dấu (=) xảy ra khi x = y = z
Khai thác sâu bài toán
Nhận xét 1: Theo cách khai thác bài toán 5 nếu ta tăng số biến lên ta có bài toán sau:

Bài toán 5.2: Cho các số d-ơng
12
, , ,
n
x x x
.Chứng minh rằng:

12
2 3 3 1 1 2 1

1
n
n n n
x
xx

*Giải: áp dụng BDT (2) và chứng minh t-ơng tự bài toán 5.1
Nhận xét 3:Vẫn giả thiết nh- bài toán 5.3 nh-ng thêm điều kiện
12

n
a a a k
ta có kết quả bài toán mới
t-ơng đối đẹp.
http://trithuctoan.blogspot.com/
Bài toán 5.4: Cho các số d-ơng
1 2 1 2 1
, , , , , , ,
nn
x x x a a a

và
12

n
a a a k
.Chứng minh rằng:
12
1 2 2 3 1 1 3 2 1 1 1 1 2 2 1 1n
n n n n n n n
x
xx
n


Bài 3: Cho ba số d-ơng x,y,z thoã mãn 3(xy +yz+zx) = 1.Chứng minh rằng:

2 2 2
1
1 1 1
x y z
x yz y xz z yx x y z



Bài 4: Cho ba số d-ơng x,y,z thoã mãn xyz =1 .Chứng minh rằng:

3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2x y z y z x z x y



Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2010
12
2 3 2010 3 2010 1 1 2 2009
)
2 2009 2008 2009 2 2009
x
xx
aP
x x x x x x x x x