Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
A phần mở đầu
I- Lý do chọn đề tài
1-Cơ sở khoa học :
Nh chúng ta đã biết thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững đợc nội
dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào các môn học
khác nhất là các môn khoa học tự nhiên . Hơn nữa toán học còn là cơ sở của mọi
ngành khoa học khác chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong nhà trờng phổ
thông ,nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo,để tạo ra những
phơng pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết các bài toán .
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toàn học từ tiểu
học đến trung học .Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức không những
giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học
khác nh hoá học , vật lý , tin học Đặc biệt việc phát triển t duy sáng tạo cho học
sinh từ tiểu học đến trung học . Nhng vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên toán hiện nay là
giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung va Bất đẳng thức nói riêng
Trong quá trình dạy toán ở THCS ,qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi tài
liệu bản thân tôi đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức mà tôi thiết
nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có nh vậy học sinh mới giải đợc
toán Bất đẳng thức góp phần phát triển t duy toán học ,tạo điều kiện cho việc học
toán ở THCS và học các môn học khác .
2- Cơ sở thực tiễn :
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó . Nhiều học
sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp giải toán
Bất đẳng thức nh thế nào .
Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chơng trình THCS ,nhng
không đợc hệ thống thành những phơng pháp nhất định gây cho học sinh nhiều khó
khăn khi gặp , khi giải toán Bất đẳng thức .
Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi kể cả
các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 THPT .
Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dỡng

a < c (tính chất bắc cầu )
3- a < b

a + c < b + c ( tính chất đơn điệu )
4- a < b , c < d

a + c < b +d ( Cộng hai vế của một Bất đẳng
thức cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều với
chúng )
5- a < b , c > d

a - c < b d ( trừ hai Bất đẳng thức ngựoc
chiều ta đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng
thức bị trừ )
6- Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m
a<b



<>
><

0,..
0,..
mmbma
mmbma
7- Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc
một Bất đẳng thức cùng chiều :0 <a<b , 0<c<d

a.c<b.d


b

ba
11

Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc .
III- Một số Bất đẳng thức cân nhớ :
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
1- A
2k

0 với mọi A Dấu"=" xảy ra khi A=0
2-
AA

,0
Dấu "=" xảy ra khi A=0.
3-
AAA

4-
BABA
++
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0
5-
BABA



===
;.2)(
2.,1,
2
1
2
1
Các ký năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng thức
đúng hay điều kiện đúng của đề bài :
3-Bài tập áp dụng
Bài 1- chứng minh Bất đẳng thức a
2
+b
2

ab
Giải : Xét hiệu : a
2
+b
2
- ab = (a
2
+
4
1
b
2
-
2


0 Dấu "=" xảy ra khi (a-
2
1
b)
2
=
4
3
b
2
=0 suy ra
a=b=0
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh .
Chứng minh tơng tự cho Bài a
2
+b
2

ab
Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát : (a
n
)
2
+(b
n
)
2

nn

b
a
c
c
b
b
a
++=++
)]()()[(
1
222222
acbcbaabcbca
abc
++=
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
=
abc
1
[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c
2
(a-b)]=
abc
1
(a-b)[c(a+b)-ab-c
2
]
=
abc
1
(a-b)(b-c)(c-a)

+

++
=
4
1
(ax+ay+by+bx-2ax-2by)
=
4
1
[(ay-ax)+(bx-by)]=
4
1
(x-y)(b-a)

0 ( do x

y và a

b )
Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b
Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh
Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức ;
33
.
3
czbyaxzyxcba ++

++++
Bạn đọc có thể tổng quát bài toán .

+d
2
+e
2
- ab-ac-ad ae
=
4
1
( 4a
2
+4b
2
+4c
2
+4d
2
+4e
2
- 4ab-4ac-4ad 4ae)
=
4
1
[(a
2
+4b
2
+4ab)+(a
2
+c
2


0 và (a+2d)
2

0 và (a+2e )
2

0
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e =
2
a
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh .
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh :
Bài 5 Tổng quát bài 4
Cho a
i
i=1,2,..,n là các sổ thực .chứng minh rằng :
Chứng minh tơng tự bài 4

==


n
i
i
n
i
i
aa
n

7
)

4(x
11
+y
11
)
4/ x
1996
+y
1996
+z
1996
):( x
1995
+y
1995
+z
1995
)

(x+y+z):3
5/ (a
3
+b
3
+c
3
)

ba
6
333333
+++++
II-ph ơng pháp 2 :
Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi tơng đơng :
11- Nội dung ph ơng pháp :
Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần
chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức
đã đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài .
12- Kiến thức cơ bản :
Các tính chất của Bất đẳng thức .
Các Bất đẳng thức thờng dùng .
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức .
Các HĐ thức
3- Bài tập mẫu
Bài 1 Chứng minh rằng :
x
2
+2y
2
+2z
2


2xy +2yz+2z-1 (*)
Giải
(*)

x

0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh .
Bài 2 : chứng minh Bất đẳng thức :
(a
10
+b
10
) (a
2
+b
2
)

(a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)
Giải :
(a
10
+b
10
) (a
2

)

0


a
12
+ a
10
b
2
+ a
2
b
10
+ b
12
-a
12
a
8
b
4
- a
4
b
8
-b
12


-b
2
) a
2
b
8
(a
2
-b
2
)

0
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs

a
2
b
2
(a
2
-b
2
)( a
2
-b
2
)(a
4
+a

Dấu "=" xảy ra khi a
2
=b2

a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh .
*-Nhận xét từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự :
Cho 0

a

b Chứng minh Bất đẳng thức :
(a
5
+b
5
) (a+b)

(a
2
+b
2
) (a
4
+b
4
)
Bài 3 : Chứng minh các Bất đẳng thức
a) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)


-7x+12)+9

0 (x
2
-7x +6)(x
2
-7x+6+6)+9

0
(x
2
-7x +6)
2
+6(x
2
-7x+6) +9

0 (x
2
-7x +9)
2

0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9
Dấu "=" xảy ra khi x
2
-7x +9 =0 x=




ab
c
2
+2c
)( ca

)( cb

+(a-c)(b-c)

0
( c-
)( ca

)( cb

)
2


0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b ,c thoả mãn điều kiện của
đề bài vậy
)( cac

+
)( cbc

1
+
ca
+
1
)
2
. biết a,b,c >0
Giải :
Ta có
ab
1
+
cb
1
+
ac
1
=
abc
cba )(
++
. Do a,b,c >0 và (a+b)(b+c)(c+a)

8abc

ab
1
+
cb

+++++

2(
ab
1
+
cb
1
+
ac
1
)

))((
8
cbca
++
+
))((
8
caba
++
+
))((
8
cbba
++
(1)
Trong (1) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs



2
)(
4
ca
+

suy ra
ab
1
+
cb
1
+
ac
1



2
)(
4
ba
+
+
2
)(
4
bc

+
1
)
2
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Nhận xét để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất đẳng thức
đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh . Sau đây là một ví dụ
nữa kiểu nh vậy .
Bài 5 : Cho 0 < a ,b , c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau :
1
1
33
++
ba
+
1
1
33
++
bc
+
1
1
33
++ ca


1
Giải :
Do 0

3
+b
3


a
2
b+ab
2
a
3
+b
3
+1

a
2
b+ab
2
+abc a
3
+b
3
+1

(a+b+c)ab

1
1
33

++
Tơng tự ta có
1
1
33
++
bc



)( cba
a
++
Dấu "=" xảy ra khi b=c
và
1
1
33
++ ca


)( cba
b
++
Dấu "=" xảy ra khi a=c
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc :
1
1
33
++

2
+z
2


1+x
2
y +y
2
z +z
2
x
C)
1
+
yz
x
+
1
+
xz
y
+
1
+
yx
z


2

1- a
2
+b
2
+c
2


1+ a
2
b +b
2
c +c
2
a
2- 2(a
3
+b
3
+c
3
) (a
2
b+b
2
c+c
2
a)

3

a



cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Nếu
b
a


1 Thì
b
a



cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
-Nếu b ,d >0 và
b
a



+
ab
c
+
<2
Do a ,b ,c là ba cạnh của tam giác nên ta có : a,b ,c >0 và a+b > c ; b+c > a
Và c+a >b .
Từ a+b > c


ba
c
+
< 1


ba
c
+
<
cba
cc
++
+
=
cba
c
++
2


cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
<
cba
a
++
2
+
cba
b
++
2
+
cba
c
++
2
= 2
- Ta có
cb
a

+
ab
c
+
< 2 (đfcm)
Nhận xét : ở đây ta đã sử dụng tính chất :
- Với ba số dơng a,b,c
Nếu
b
a


1 Thì
b
a



cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
Bài 2 Chứng minh rằng
n
n
bbb
aaa
+++

,
2
2
b
a
, ,
n
n
b
a
) thứ tự là m và M
Khi đó ta có m


i
i
b
a


M với mọi i=1,2,,n


mb
i

a
i

b

aaa
+++
+++
....
.....
21
21
< M Do ( b
1
+b
2
++b
n
) >0 (đfcm)
Bài 3 :
Cho a>0 ,b>0 chứng minh rằng :
2
1
(
1
+
a
a
+
1
+
b
b
) <
1

+
ba
ba
Do a > 0 ta có
1
+
a
a
< 1


1
+
a
a
<
1
++
+
ba
ba
Tơng tự ta có :
1
+
b
b
<
1
++
+

1
+
b
b
) <
1
++
+
ba
ba
(1)
*) Ta chứng minh
1
++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1
+
b
b
Do a , b dơng ta có
1
+

1
+
b
b
(2)
Từ (1) Và ( 2) Ta đợc :
2
1
(
1
+
a
a
+
1
+
b
b
) <
1
++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+

++
+
1
<
1
1
+
a
+
1
1
+
b
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
Bài 3 Cho
y
x

b
a

n
m
chứng minh rằng
y
x

nba
max
20052004

a(1-a) = a - a
2
= 0,25 (a
2
2 .a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 ( a-0,5 )
2


0,25


a(1-a)

0.25 Tơng tự ta có b(1-b)

0,25 và c(1-c)

0,25
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25
3
(2) ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) vậy điều giả sử
là sai suy ra : trong các Bất đẳng thức sau : a(1-b) > 0,25 ; b (1-c) >0,25 ; c(1-a)
> 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai .
Bài 2 :Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời ba
Bất đẳng thức sau :
x
<
zy


[(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]
2
<0 vô lý .
Vậy không có ba số x,y,z nào thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức :
x
<
zy

,
zxy
<
,
xyz
<
Bài 3 : Cho các số thực a,b,c thoả mãn điều kiện





>
>++
>++
0
0
0
abc
cabcab
cba


)

ac +ba +bc < -(a-0.5c)
2
- 0.75c
2

0

Trái giả thiết ab +bc +ca >0
Tơng tự đồi với trờng hợp A

0 b<0 ,c>0 ta cũng

điều vô lí .
Vậy (*) đợc chứng minh .
Bài 4 :Chứng minh rằng : Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo của nó
không nhỏ hơn 2 .
Giải : Giả sử phản chứng
b
a
>0 ta có
b
a
+
a
b
< 2



4-Bài Tập áp dụng :
Bài1 Cho ba số dơng nhỏ hơn 2 a,b,c : chứng minh rằng ít nhất một trong
các Bất đẳng thức sau là sai : a(2-b)>1 ; b(2-c) >1 ; c(2-a)>1
Bài 2 Cho a,b,c là ba số dơng thoả mãn abc =1 chứng minh rằng :
S=(a-1 +b
-1
)( b-1+c
-1
)(c-1+a
-1
)

1
Bài 3 Cho a+b+2cd chứng minh rằng ít nhất một Bất đẳng thức sau đúng :
c
2
> a : d
2
> b
Bài 4 : Cho a,b,c,x,y,z là các số thực thoả mãn :



<
>
04)1(
0
2
acb
a

Bớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k
Bớc 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với

k+1
Bớc 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi
2- Kiến thức cần vân dụng :
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
Các tình chất của Bất đẳng thức :
Kỹ năng biến đổi đẳng thức và Bất đẳng thức .
3 Bài tập mẫu :
Bài 1 : Chứng minh rằng :
a) [(a+b):2]
n


(a
n
+b
n
):2 với a+b

0 và N

n
b)

daun
aaa

k+1
+b
k+1
):2 Thật vậy:
xét [(a+b):2]
K+1
=[(a+b):2]
K
[(a+b):2]

[(a
k
+b
k
):2][ (a+b):2]
Ta chứng minh
(a
k
+b
k
) (a+b)

2(a
k+1
+b
k+1
)

a
k+1

0 *
Nếu a,b

0 thì * đúng .
Nếu a

0

b

a-b

0
mà a+b

0 (gt)

a

-b

a


b


a
k



0 và N

n
đợc chứng minh .
b) + Với

1 Bất đẳng thức trở thành
a
<
2
141
++
a


2
a
<
141
++
a

Ta có :
141
++
a
>1 +2
a
>2

++
+++
<
2
141
++
a
a

0
Đặt x
n
=

daun
aaa
,
.....
+++


x
k
=

dauk
aaa
,
.....
+++

xa
+
)
2
< (
2
141
++
a
)
2

a+x
k
<
4
14242
+++
aa


4x
k
<2=
142
+
a


x

+a
2n


c
2n
Giải : + Với

1 theo định lí Pithago ta có b
2
+a
2
= c
2
Bất đẳng thức đúng .
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k tức là b
2k
+a
2k


c
2k
+Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với n = k+1 hay: b
2(k+1)
+a
2(k+1)


2
+b
2k+2


a
2k+2
+ b
2k+2


b
2(k+1)
+a
2(k+1)


c
2(k+1)
(đfcm)
Vậy cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông , c là độ dài cậnh huyền của
tam giác đó ta có ;b
2n
+a
2n


c
2n
Bài 3 cho m,n là các số nguyên dơng . Chứng minh rằng trong các số

27 * đúng
+ Với n = 4: ta có 81

64 * đúng
Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k

4 tức là 3
k


k
3
Ta chứng minh Bất đẳng thức * đúng với n =k+1 tức là 3
k+1


(k+1)
3
Thật vậy : Ta có 3
k+1
= 3. 3
k


3 k
3
=k
3
+3k
2

Vậy 3
n


n
3


n , Z
+


n


n
n
3
3



n
n
3
3



3

m



3
3
- Nếu m

n


m
m



m
n



m
n



3
3
Vậy với m,n là các số nguyên dơng trong các số
n

1
2
1
++++
n
n
Bài 2 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau :
a) 2
n+2
>2n+5

n

1 , N

n
b) [(n+1)!]
n


2!.4!.(2n)!

n , N
*


n
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
c) (2n)! < 2
2n

c
Giải : Ta có a+b+c

2b+c do a

b Ta đi chứng minh (2b+c)
2


9bc (1)
(1)

4b
2
+ 4 bc + c
2

9bc

4b
2
- 5 bc + c
2

0

4b
2
4bc bc+ c
2

2
+c
2
< 2 (ab+bc+ca)
Giải : Do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên ta có :
0<a<b+c

a
2
< ab + ac tơng tự ta có b
2
< ba+bc và c
2
< ca +cb
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc :
a
2
+ b
2
+c
2
< 2 (ab+bc+ca) (Đfcm)
Bài 3 : Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng :
a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
> a

- b
3
- c
3
> 0


a[(b-c)
2
- a
2
] + b[(c-a)
2
b
2
] + c[(a-b)
2
c
2
] > 0


a(b-c-a)(b-c+a) + b9(c-a-c)(c-a+b) +c(a-b-c)(a-b+c) > 0

( a+b-c)( ab-ac-a
2
-bc-b
2
+ab+ac+bc+c
2

2
(b+c)+ b
2
(+-a) +c
2
(a+b ) >2abc + a
3
+ b
3
+

c
3