Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 85
Đ4. Tính chất của biến đổi Fourier

Giả sử các hàm mà chúng ta nói đến sau đây khả tích tuyệt đối và do đó luôn có ảnh và
nghịch ảnh Fourier. Kí hiệu f F với f(t) là hàm gốc và F() là hàm ảnh tơng ứng.

1. Tuyến tính Nếu hàm f và hàm g khả tích tuyệt đối thì với mọi số phức hàm f + g
cũng khả tích tuyệt đối.
, f(t) + g(t) F(z) + G(z) (5.4.1)
Chứng minh

( )

+


+ dte)t(g)t(f
ti
=

+


dte)t(f
ti
+

+



cũng khả tích tuyệt đối.
3
*
, f(t)
)(F
|
|
1



và f(-t) F(-) (5.4.3)
Chứng minh


+


dte)t(f
ti
=

+








- e
ỉ3



sin4. Đạo hàm gốc
Giả sử hàm f và các đạo hàm của nó khả tích tuyệt đối.
f(t) iF() và n , f
(n)
(t) (i)
n
F() (5.4.4)
Chứng minh
f(t)

+



dte)t(f
ti
=
+

ti
e)t(f
+ (i)

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X

m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 86 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
5. Tích phân gốc Giả sử hàm f và tích phân của nó khả tích tuyệt đối.




t
d)(f
i
1
F() + F(0)() (5.4.5)
Chứng minh
Kí hiệu g(t) =



t
d)(f G(), g(t) = f(t)
Theo tính chất 4 3, (i)G() = F()
Suy ra G() =
i
1
F() với 0 và G(0) = F(0)()
6. ảnh của tích chập
Nếu hàm f và hàm g khả tích tuyệt đối thì tích chập của chúng








de)(gdte)t(f
i)t(i

= F()G()
7. Hệ thức Parseval
Giả sử hàm f và hàm ảnh F của nó khả tích tuyệt đối.

+

dt|)t(f|
2
=

2
1

+

d)(F
2

dtde)(F
2
1
)t(f
it*

=

+

+












d)(Fdte)t(f
2
1
*it
=

2




t
d)(f = (f)(t) F()(
i
1
+ ()) =
i
1
F() + F(0)()
3. f(t) = [e
-

t
(t)][e
-
à
t
(t)] ( à) F() =
+à+ i
1
i
1
= )
i
1
i
1
(

g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D

.
c
o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 87
Công thức đối ngẫu
So sánh cặp công thức Fourier (5.3.1) và (5.3.2)
f(t) F() F(t) 2

+




de)(f
2
1
)(i
= 2
F
(
(-) 2f(-)
F() f(t) f()

+






3
e
i

t
f(t)

F(

-

) (5.4.2)
3. Đồng dạng






3
*
)
t
(f
|
|
1




(t)






d)(F (5.4.5)
6. ảnh của tích f(t)g(t)



+



d)(G)(F
2
1
=

2
1
(F

G)(

) (5.5.6)


2. F() =
+ ia
1
(Rea > 0) f(t) = e
-at
(t) G() = e
-a

() g(t) =
2
1
ita
1


3. u(t) =1 2() 3, e
i

t
2( - )
f(t) = sint =
i
2
1
e
i

t
-
i

hàm ảnh thì sẽ có công thức tơng tự cho hàm gốc và ngợc lại. Vì vậy trong mục này
chúng ta chỉ đa ra công thức tìm ảnh hoặc công thức tìm gốc.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 88 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
ảnh của hàm tuần hoàn
Do hàm mũ g() = e
-i

t
tuần hoàn với chu kỳ T = 2 nên hàm ảnh F() luôn là hàm tuần
hoàn với chu kỳ T = 2. Ngợc lại, ta có
3, F
1
() = 2( - ) f
1
(t) =

dte)t(f
T
1
, k


9
và

=
T
2

Do tính tuyến tính
f(t)

F(

) =

+


-
k
)k(2a
(5.5.1)
Ví dụ
1. Hàm f(t) =


1
e
-i

t
+
2
1
e
i

t
F() = ( + ) + ( - ) suy ra
f(t)g(t)

+



d)(G)(F
2
1
=
2
1
G( + ) +
2
1
G( - ) với g(t) G()



= F
*
(- )
Từ đó suy ra công thức
f
*
(t) F
*
(-) (5.5.2)

Giả sử
3, F() = R() + iI() = |F()| e

(

)

Nếu f(t) là hàm trị thực
f
*
(t) = f(t)

F
*
(-) = R(-) - iI(-) F() = R() + iI()
Từ đó suy ra
R(-) = R(), I(-) = - I() và |F(-)| = |F()|, (-) = - () (5.5.3)
Nếu f(t) là hàm trị thực và chẵn
f

d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e

2
1
[(f(t) + f(-t)] +
2
1
[f(t) - f(-t)] = Ef(t) + Of(t)
với Ef là hàm chẵn và Of là hàm lẻ. Dùng tính tuyến tính và các kết quả ở trên
f(t)

R(

) + iI(

) = F(

) (5.5.4)

Ví dụ f(t) = e
-

|t|
= 2E{ e
-

t

(t) } (

> 0)


t
1n


e
-at
(t) (5.5.6)
Xét trờng hợp hàm F() là một phân thức hữu tỷ thực sự. Do hàm F() khả tích tuyệt
đối nên nó không có cực điểm thực. Trớc hết chúng ta phân tích F() thành tổng các
phân thức đơn và phân thực bội. Sau đó sử dụng các công thức (5.4.1) - (5.4.7) để đa
về các trờng hợp trên. Trong các trờng hợp phức tạp hơn có thể phải dùng đến các
công thức ảnh của tích hoặc ảnh của tích chập để tìm gốc.

Ví dụ Tìm gốc của phân thức
1. F() =
9i6)i(
2i3)i(
2
2
++
++
= A +
+ i3
B
+
2
)i3(
C
+



=
+ ii21
A
+
+ ii21
B

=


+
+
i
i
2
1
i2
-
+
+
ii21
i2
f(t) = (-2 + i)e
-(1+2i)t
(t) - (2 + i)e
-(1-2i)t
(t)

Phơng trình vi phân hệ số hằng

e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h