Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 1 2. Các kiến thức cơ bản được sử dụng
a, Bất đẳng thức Cô si
Cho n số thực không âm
1 2
; ;
n
a a a
ta có
1 2
1 2n
n
n
a a a
a a a
n
  

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1 2

n
a a a

1 2

n
n
a a a
b b b
  

c. Bất đẳng thức Trê bư sep
Cho hai bộ số sắp thứ tự giống nhau
1 2

n
a a a
  
và
1 2

n
b b b
  
ta có
1 2 1 2 1 1 2 2

.
n n n n
a a a b b b ab a b a b
n n n
        


II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Chúng ta xuất phát từ bài toán gốc như sau
Bài toán 1 ( Bất đẳng thức Nestbit):
Cho a,b,c >0 chứng minh ta luôn có
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
(1)

Có nhiều cách chứng minh ở đây tôi trình bày một số cách chứng minh như sau
Lời giải
Cách 1:
Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 3


  
với x,y,z>0
ta có

1
( )
2
1 3 1 3
( ) ( )
2 2 2 2
a b c y z x x z y x y z
b c c a a b x y z
y z x z x y y x y z x z
x y z x y z y z x
     
    
  
  
          

mặt khác
2; 2; 2
y x y z x z
x y z y z x
     
(theo bđt cô si)
suy ra
6
y x y z x z
x y z y z x

( )( )
1 1 1 1 9
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a b c
b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
   
  
        
  

Vậy
3
2
a b c
b c c a a b
  
  

Bây giờ ta mở rộng vấn đề
Nhân hai vế của (1) với a+b+c ta có Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 4

Từ đó ta có bài toán 2
Bài toán 2.
Cho a,b,c là các số dương ta luôn có
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  
(2)
( Đề thi thử đại học lần 1 THPT Đô Lương 2)
Lời giải:
Nhận xét vừa rồi chính là lời giải 1
Cách 2 Theo bđt cô si ta có

2
2
2
4
4
4
a b c
a
b c
b c a
b
c a
c a b
c


Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Cách 3: Theo bât đẳng thức Bunhia-Copxki ta có
2 2
( ) ( )
a b c
a b c b c c a a b
b c c a a b
       
  

2 2 2
2 2 2
( )( )
2( )( )
a b c
b c c a a b
b c c a a b
a b c
a b c
b c c a a b
       
  
    
  

2 2 2
2
a b c a b c

2
a b c
b c c a a b
  
  

Vậy
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  Bây giờ ta thêm giả thiết là a,b,c>0 và a.b.c=1 khi đó theo bđt cô si ta có

3
3 3
a b c abc
   
dấu bằng khi a=b=c=1
Từ đó ta suy ra bài toán sau
Bài toán 3
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1
ta luôn có
2 2 2
3
2

2 2 2
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
x y z y z x z x y
   
  

Khai thác kĩ hơn suy nghĩ đó vào bài toán 3 ta đặt
1 1 1
; ;a b c
x y z
  
thì x,y, z >0 và x.y.z=1
Thay vào (2) ta có
2 2 2
3
( ) ( ) ( ) 2
yz xz xy
x y z y z x z x y
  
  

biến đổi thêm một chút ta có
3 3 3
3 3 3
3
( ) ( ) ( ) 2
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
xyz xyz xyz

a b c b c a c a b
  
  

( Đây là đề thi vào ĐH Ngoại ngữ -1998)
Bài toán 6 ( Để ra kì này tháng 5-2010 Toán học tuổi trẻ)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1
ta luôn có
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c b c a c a b
  
  

Cách giải cho học sinh khi gặp hai bài toán này là
Đặt
1 1 1
; ;x y z
a b c
  Một phát hiện thú vị là mối quan hệ gần giống nhau giữa bài toán 3 và bài toán 4
với cùng giả thiết đó là giữa hai bđt

2 2 2
3
2
a b c

Bài toán 7( Đề thi học kì 2 toán 10 THPT Đô lương 2 -2010)

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1
ta luôn có
3 3 3
3
2
a b c
b c c a a b
  
  Lời giải
Cách 1
Áp dụng bđt Cô si cho 3 số dương ta có Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 7

3
3
3
1 3
4 2 2
1 3
4 2 2
1 3
4 2 2


 
3 3 3
3
2
a b c
a b c
b c c a a b
      
  

Mà ta có
3
3 3
a b c abc
   
dấu bằng khi a=b=c=1
Vậy
3 3 3
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Cách 2
Không mất tổng quát ta cho

2 2 2

3
3 3
a b c abc
   

Vậy
3 3 3
3
2
a b c
b c c a a b
  
  

Cách 3 Nhân hai vế của bất đẳng thức
2 2 2
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
với a+b+c
Như vậy qua cách giải thứ 2 ta suy nghĩ đến bđt tổng quát hơn như sau
Ta đã có
2 2 2 3 3 3
( )( ) 3( )

Cho a,b,c là các số dương
ta luôn có
3 3 3 2
( )
6
a b c a b c
b c c a a b
 
  
   Đến đây các bạn thấy rằng từ những bài toán trên chỉ cần đặt thêm điều kiện cho
a,b c là xuất hiện thêm rất nhiều bài toán khó tương đối đẹp dành cho các kì thi hay
kiểm tra hoc sinh khá giỏi.

Chẳng hạn ta thêm điều kiện ta có bài toán
Bài toán 9 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn
2 2 2
1
a b c
  

ta luôn có
3 3 3
1
2
a b c
b c c a a b
  

2
a b c
b c c a a b
  
  
và
2 2 2
1
a b c
  

Vậy
3 3 3
1
2
a b c
b c c a a b
  
  Tiếp tục mạch suy nghĩ trên ta hoàn toàn có thể giải một bài toán tương đối hay mà
một đồng nghiệp của tôi đã đề cập.
Bài toán 10
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn
2 2 2
1
a b c
  


b c c a a b
 
  
  
(2)

Không mất tổng quát ta cho

2 2 2
0 0
a b c a b c
      1 1 1
0
b c c a a b
  
  

Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có
2 2 2
2 2 2
1 1 1
( )( ) 3( )
a b c
a b c
b c c a a b b c c a a b
      
     

a b c
b c c a a b b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
 
 
      
 
 
     
 
 
 
         
 
 
 
  
 

Vậy ta đã chứng minh được
2 2 2
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=
1

  
với n

1
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
n n n
a b c b c a c a b
  
  
với n

2

Từ bài toán 9 và 10 tổng quát lên ta có bài toán
Bài toán 11 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 10

Cho n (n

3) số dương
1 2
; ;
n
a a a
thỏa mãn
2 2 2

Với tam giác ABC bất kì ta luôn có sinA, sinB, sinC là các số dương nên hoàn toàn
tương tự ta có các bất đẳng thức về góc khá đẹp.

a.
sin sin sin 3
sin sin sin sin sin sin 2
A B C
B C C A A B
  
  
(5)
Ta lại có
B-C B-C
sin sin 2sin cos 2cos cos
2 2 2 2
B C A
B C

  
và
A
2sin os
2 2
A
SinA c suy ra
sin
sin
2
B-C
sin sin

2
C
C
A B
c


thay vào (5)
ta có
sin sin sin
3
2 2 2
B-C C-A A-B
2
os os os
2 2 2
A B C
c c c
  
(5')
b.
2 2 2
sin sin sin sin sin sin
sin sin sin sin sin sin 2
A B C A B C
B C C A A C
 
  
  
(6)

2 2 2
sin sin sin 8 B C
cos cos cos
sin sin sin sin sin sin 3 2 2 2
A B C A
B C C A A B
  
   Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 11

Các bài toán trên ta đã đặc biệt hóa cho trường hợp là a.b.c=1
bây giờ ta xét trường hợp khi a+b+c=1 ta có các bất đẳng thức
Bài toán 13 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
ta luôn có
2 2 2
1
2
a b c
b c c a a b
  
  

3 3 3
1

Tuy vậy trong các kì thi người ta có thể ẩn bài toán đó dưới giả thiết là tam giác có
chu vi bằng 1.
Ví dụ 1.Cho ABC có các cạnh BC=a; CA=b; AB=c với chu vi bằng 1 hãy chứng
minh rằng

2 2 2
1
2
a b c
b c c a a b
  
  

và
3 3 3
1
6
a b c
b c c a a b
  
  

Tiếp tục vận dụng định lí sin
a= 2R. sinA; b= 2R. sinB ; c=2R.sin C ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp)
thay vào bài toán này ta có các bất đẳng thức tương đối lạ
2 2 2
sin sin sin 1
sin sin sin sin sin sin 4
A B C
B C C A A C R

a b c
p a p b p c
  
  

2 2 2
2 2 2
a b c
p
p a p b p c
  
  

3 3 3 2
2
2 2 2 3
a b c p
p a p b p c
  
  Cách chứng minh sử dụng bđt Trê bư sep là được

Một số bài toán tương tự
1. Cho các số thực x,y,z
Chứng mịnh
a.
1 1 1
4 4 4

2 2 2 2 2 2 2
x y z
y z z x x y
  
  b.
8 8 8 3
2 2 2 2 2 2 2
x y z
y z z x x y
  
  
c.
4 4 4 3
2 2 2 2 2 2 2
x y z
y z z x x y
  
  
  d
8 8 8 3
2 2 2 2 2 2 2

  
nếu sửa thành biểu thức
2 2 2
a b c
b c c a a b
 
  
thì giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ?
Ta thấy nếu a=b=c thì
1
2 2 2
a b c
b c c a a b
  
  
vậy phải chăng ta có
1
2 2 2
a b c
b c c a a b
  
  

Bài toán 16: Cho a,b,c >0 chứng minh ta luôn có

1
2 2 2
a b c
b c c a a b
  

2 1 4
( ) ( )
3 9 9
C A B B A C
A B C A C B
       
Mặt khác do A,B,C >0 theo bất đẳng thức cô si ta có

3
3
3 3
3 3
C A B C A B
A B C A B C
B A C B A C
A C B A C B
     
     

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A=B=C

Vậy
1
2 2 2
a b c
b c c a a b
  
  
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Tiếp tục mạch suy nghĩ đó từ bất đẳng thức

2
2 2
2 9 3
2 2
2 9 3
2 2
2 9 3
a b c a
b c
b c a b
c a
c a b c
a b

 


 


 


Cộng tương ứng các bất đẳng thức đó ta có



2 2 2
2
2 2 2 3 3

9 9 3
b c a a a
 
 
đó là một kinh nghiệm tuyệt vời khi sử dụng cho các bài toán
liên quan đến bđt cô si mà ta cần triệt tiêu mẫu Một câu hỏi đặt ra là nếu thay bởi các số tự nhiên m và n bất kì ( không đồng thời
bằng 0 ) vào vế trái thì biểu thức
a b c
mb nc mc na ma nb
 
  
có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
Dự đoán khi a=b=c thì biểu thức nhận giá trị
3
m n

nên phải chăng ta có
3
a b c
mb nc mc na ma nb m n
  
   
.
Bài toán 18:
Cho a,b,c >0 chứng minh với hai số tự nhiên m, n tùy ý (không đồng thời bằng 0 )
ta luôn có
3

  

Thay vào vế trái ta có Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 15

2 2
3 3
1
[ 3 ( ) ( )]
a b c B C A C A B
mn n m
mb nc mc na ma nb m n A B C A B C
         
   

Mặt khác do A,B,C >0 theo bất đẳng thức cô si ta có

3
3
3 3
3 3
C A B C A B
A B C A B C
B A C B A C

2 2 2
1
2 2 2
a b c
b c c a a b
  
  

b,
2 2 2
1
2009 2009 2009 670
a b c
b c c a a b
  
  

2. Cho a,b, c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 2
2008 2009 2008 2009 2008 2009
a b c
P
b c c a a b
  
  

Hướng dẫn:
Đây là trường hợp riêng của bài toán 18 khi m=2008 , n= 2009


Lời giải
Áp dụng bđt Bunhia –coxki ta có
2 2
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]
a b c d
a b c d a b c b c d c d a d a b
b c c d d a a b
          
   
( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]
a b c d
a b c b c d c d a d a b
b c c d d a a b
          
   

2
( )a b c d a b c d
b c c d d a a b ab bc cd da ac bd ca db
  
    
          

Mặt khác ta lại có
2
2 2 2 2 2 2
( )
2
2 2 0 ( ) ( ) 0
a b c d

   
       

Lời giải
Ta áp dụng bđt Bunhiacoxki
2
2
[ ]
[ ( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 2 3) ( 2 3)]
2 3 2 3 2 3 2 3
a b c d
a b c d
ab c d bc d a cd a b d a b c
b c d c d a d a b a b c
   
          
       
.[a(b+2c+3d)+b(c+2d+3a)+c(d+2a+3b)+d(a+2
b+3c)]
P


Suy ra
2
[ ]
a(b+2c+3d)+b(c+2d+3a)+c(d+2a+3b)+d(a+2b+
3c)
a b c d
P
  

n
m m m

ta luôn có
1 2
1 2 2 3 1 1 3 2 4 2 1 1 1 1 2 2 1 1
1 2 1

.

n
n n n n n n n
n
aa a
m a m a m a m a m a m a m a m a m a m a
n
m m m
    

   
         
  

Lời giải bài toán này ta có thể áp dụng cách phân tích theo bất đẳng thức Bunhia-
Copski như trên việc trình bày tương đối dài xin được dành cho bạn đọc tiếp tục
chứng minh và phát triển thêm. Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 18

kì bồi dưỡng học sinh khá giỏi , mỗi bài toán liên quan ngay cả những bài toán mở
rộng trong tam giác và có thể cho đa giác, cũng có thể tổng quát hóa để có thêm
nhiều bất đẳng thức đẹp tôi nghĩ sẽ còn khai thác rộng hơn ứng dụng cho các bài
toán khác.Trong quá trình dạy học thói quen tổng quát hóa , đặc biệt hóa để đào
sâu nghiên cứu các góc cạnh trong toán học kiểu như trên là một điều rât cần thiết
cho phát triển tư duy và kích thích tính tích cực khám phá của các em học
sinh.Việc sử dụng hệ thống bài toán trên đã cho ta cách giải các bài tập liên quan
một cách khá đơn giản nếu tiếp tục sáng tạo và khai thác sâu hơn chắc chắn ta sẽ
tìm được nhiều vấn đề thú vị mà bản thân tôi chưa làm được trong phạm vi đề tài
này.
Với hi vọng viết ra cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo, đánh giá và nội dung nào
đó có thể ứng dụng giới thiệu thêm cho học sinh trong quá trình bồi dưỡng. Vì thời
gian ngắn cũng như bản thân còn nhiều hạn chế chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết
,kính mong được quí thầy cô nghiên cứu , đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn
thiện hơn.
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

Cao Tiến Trung
Tổ Toán
Trường THPT Đô Lương 2 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN