SAU ĐÂY LÀ PHÂN MÔN HÌNH HỌC PHẦN ĐỐI XỨNG
1. Phép đối xứng trục.
a, Định nghĩa: Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến mỗi
điểm M thành điểm M' sao cho đoạn thẳng MM' nhận d làm đường trung trực thì phép biến hình
đó gọi là phép đối xứng trục d. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng. Nếu điểm M thuộc d thì ta
lấy M' trùng M.
-Nếu một hình biến thành chính nó qua phép đối xứng trục d thì d được gọi là trục đối xứng
của hình đó.
b, Áp dụng trong giải toán:
1. Ứng dụng trong cực trị:
VD1: Cho hai điểm A,B phân biệt và nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x
cho trước. Hãy tìm trên x một điểm M sao cho tổng hai đoạn AM+BM là ngắn nhất.
GIẢI:
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x cho trước và gọi M là giao điểm của đường
thẳng A'B với x.
Ta có .
Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng A'B với x.
BL: Ta cũng hoàn toàn có thể tìm điểm M bằng cách tìm điểm B' đối xứng với B qua đường
thẳng x sau đó ta có M là giao điểm của AB' với x.
Bài toán này đã được đặt ra từ hàng năm trước đây, từ nhà toán học Hê-rông và cũng đã được
đăng trên báo 3T và nhiều cuốn sách. Sau bài này, tiến sĩ Nguyễn Minh Hà đã có một nhận xét
quan trọng:
"Khi cần quan sát độ dài của một đường gấp khúc quá "cong queo" ta hãy dùng các phép đối
xứng trục để thay nó bằng một đường gấp khúc mới, đỡ "cong queo" hơn, có độ dài bằng độ
dài đường gấp khúc đã cho nhưng dễ quan sát hơn."
Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này. Hãy tìm trên cạnh
Ox một điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.
GIẢI: Gọi là điểm đối xứng với A qua cạnh là điểm đối xứng với A qua cạnh
.Đường thẳng cắt lần lượt tại B và C.
Ta có
Với các điểm B' khác B và C' khác C trên Ox, Oy ta có đường gấp khúc luôn

Bài 1: Cho hai điểm A,B nằm về hai phía đường thẳng d và không cách đều d. Xác định điểm M
trên đường thẳng d sao cho có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: CMR trong các tam giác ABC có đáy BC không đổi và chiều cao tương ứng không đổi,
tam giác cân tại A có chu vi nhỏ nhất.
Bài 3: Cho hai đường thẳng và cắt nhau tại O và hai điểm A,B không thuộc và . Tìm các
điểm sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất.
Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC. Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếp tam giác ABC,
tức là có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh của tam giác ấy. (các bạn có thể tham khảo 2 cách giải độc
đáo trên báo 3T số 4, nhưng tốt hơn là nên tự giải)
2. Dựng hình:
Bài 5: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm A ở ngoài 2 đường thẳng a và b. Dựng
tam giác ABC sao cho các phân giác và nằm trên a và b.
Bài 6: Dựng tam giác cân đỉnh M với M cho trước nằm trong , thỏa mãn
.
Bài 7: Dựng tứ giác ABCD biết độ dài các cạnh và đường chéo AC là phân giác góc A.
3. Các bài toán khác:
Bài 8: Trên các cạnh bên AC và BC của tam giác cân ABC cho các điểm M,N sao cho
CM+CN=AC. CMR 3 trung điểm AC,BC,MN thẳng hàng.
Bài 9: Tam giác cân đỉnh A với . Trên BC lấy D sao cho Tính góc DAC.
Bài 10: Tam giác cân đỉnh A với . Điểm O được chọn trong tam giác sao cho
. Tính góc AOB.
Bài 11: Trên tia phân giác ngoài của góc C của tam giác ABC lấy điểm M tùy ý. CM:
Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Đường thẳng AH cắt BC ở . CMR:
TIẾP ĐẾN LÀ PHÂN MÔN ĐẠI SỐ PHẦN ĐL ĐIRICHLÊ
I.Định nghĩa:
Nguyên lý Đirichlê còn gọi là "nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng " hoặc "nguyên tắc xếp đồ vật vào
ngăn kéo" hoặc nguyên tắc lổ chuồng câu". Nội dung của nguyên lý này hết sức đơn giản và dễ
hiểu, nhưng lại có tác dụng rất lớn trong giải toán. Nhiều khi có những bài toán, người ta đã
dùng rất nhiều phương pháp toán học để giải mà vẫn chưa đi đến kết quả, nhưng nhờ nguyên
lý Đirichlê mà bài toán trở nên dễ dàng giải quyết.

mất tính tổng quát, giả sử A đã đấu với .
Nếu từng cặp chưa đấu với nhau thì bài toán được chứng minh.
Nếu có 2 đội đã đấu với nhau, ví dụ B và C thì 3 đội từng cặp đã đấu với nhau.
Như vậy bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với
nhau trận nào.
Ví dụ 3: CMR trong n người bất kì, tồn tại hai người có số người quen như nhau (kể cả trường
hợp quen 0 người)
GIẢI: Tương tự ví dụ 1, ta xét n nhóm...
Ví dụ 4: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được
điểm 10. CMR ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là
một số tự nhiên từ 0 đến 10)
GIẢI: Có 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm (từ 2 đến 9). Giả sử mỗi loại trong 8 loại điểm
đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có không quá học sinh, ít hơn 43 học
sinh. Vậy tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.
2.Sự chia hết:[/color
Trong các phép tính trên số nguyên thì phép chia là rất đặc biệt.Phép chia có hàng loạt các tính
chất mà các phép còn lại không có. Ví dụ các phép toán cộng , trừ , nhân đều thực hiện với số
0 còn phép chia thì không thể.Vì những lí do đặc biệt đó mà trong toán học xây dựng hẳn 1 lý
thuyết về phép vchia . Những ví dụ sau có liên quan mật thiết giữa phép chia và nguyên lý
Dirchlet
color=Blue]Ví dụ 1[color=blue]:[/color
CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007.
GIẢI: Xét số có dạng . Theo nguyên tắc Đirichlê thì tồn tại hai số có cùng số dư
khi chia cho . Giả sử hai số đó là:
và với
Khi đó chia hết cho
Do nên chia hết cho .
Ví dụ 2: CMR trong số bất kì thuộc tập hợp luôn chọn được hai số mà số này là
bội của số kia.
GIẢI: Viết số đã cho dưới dạng:

trước đó lại lấy 1 số có chữ số hàng đơn vị khác 2 số chọn trước... Cuối cùng sẽ được 6 số phải
tìm với các chữ số khác nhau.
Ví dụ 2: Chọn bất kì số trong số tự nhiên từ 1 đến . CMR trong các số được
chọn có ít nhất 1 số bằng tổng của 2 số được chọn (kể cả các trường hợp 2 số hạng của tổng
bằng nhau ).[/font]
[font=tahoma]GIẢI:Giả sử là số được chọn.
Xét n số:
........................ (mỗi hiệu đều nhỏ hơn )
Trong tập số đó là tồn tại 2 số bằng nhau, hai số ấy không thể cùng
thuộc dãy cũng không thể cùng thuộc dãy . Ta có:
(đpcm)
TIẾP ĐẾN LÀ PHÂN MÔN HÌNH HỌC PHẦN CỰC TRỊ
I.Mở đầu :
Để học giải các bài toán, chúng ta cần nhiều thủ thuật và phương pháp suy luận hoặc chí ít
cũng phải được trang bị những thủ thuật và phương pháp cơ bản. Có thể nói rằng mỗi một sự
trang bị thêm một thủ thuật hay phương pháp mới thì phạm vi và khả năng giải các bài toán
của người làm toán được mở rộng hơn rất nhiều. Thậm chí có những thủ thuật và phương pháp
mang tính quyết định để người làm toán có thể giải được một bài toán cụ thể được đặt ra hay
không. Điều này được thể hiện đặc biệt rõ ràng trong lớp những bài toán không mẫu mực. Một
trong những thủ thuật và phương pháp đó là nguyên tắc biên (hay còn được gọi là nguyên lý
cực hạn hay nguyên lý khởi đầu cực trị), một nguyên tắc chung hết sức hiệu quả trong quá
trình giải toán. Bởi lẽ đó là một phương pháp cần thiết phải trang bị cho chúng ta.
II.Cơ sở của phương pháp và cách áp dụng:
1.Một tập hợp M được xét trên cơ sở một quy ước chuẩn nào đó có các phần tử cực biên (cực
hạn). Không giảm tính tổng quát ta có thể gọi phần tử a ở bên "trái" và phần tử b ở bên "phải"
(quy ước a ở bên "trái" tất cả các phần tử thuộc tập hợp M, b ở bên "phải" tất cả các phần tử
thuộc tập hợp M. Dựa trên quy ước chuẩn). Nói nôm na thì đơn giản là trong một tập hữu hạn
các phần tử, tồn tại phần tử nhất (lớn nhất, nhỏ nhất)
Kí hiệu như sau:
III.Ứng dụng:

Vậy được đpcm.
Bài toán 3:
Cho và 6 điểm nằm trong đường tròn. CMR tồn tại hai điểm A,B trong 6 điểm trên sao
cho
Lời giải:
Giả sử 6 điểm nằm trong theo chiều kim đồng hồ lần lượt là
Nối
Ta có
Do đó góc nhỏ nhất trong chúng không lớn hơn
Không mất tính tổng quát giả sử nhỏ nhất. Khi đó
Vì vậy trong tam giác không phải là góc lớn nhất.
Mặt khác nên ta có đpcm.
Bài toán 4:
Cho và .
CMR có hai số bằng nhau.
Lời giải:
Giả sử 6 số đôi một khác nhau.
Do đó không mất tính tổng quát giả sử
.
(mâu thuẫn)
Vậy phải có hai số bằng nhau.
Bài toán 5 :
Chứng minh rằng nếu tất cả các cạnh của một tam giác đều nhỏ hơn 1 thì diện tích của tam
giác nhỏ hơn
Lời giải:
Gọi A là góc nhỏ nhất của tam giác ABC, suy ra:
Ta có (BH là đường cao)
Do đó
Bài toán 6:
Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu các bán