1 | P a g e
LỜI GIỚI THIỆU
Một bài toán có nhiều cách giải, nhưng ta phải chọn một cách tiếp cận, một
cách giải hợp lí nhất.
Để tiến tới cách giải hay nhất đôi khi phải trải qua quá trình thử sai nhiều cách
giải, hoặc kết hợp nhiều phương pháp giải khác nhau. Quá trình này không hề đơn
giản, đòi hỏi người giải toán phải nắm vững kiến thức cơ bản và có hướng đi đúng
cho từng bài toán cụ thể.
Mỗi phương pháp đều có cái hay và thế mạnh riêng đối với một lớp bài toán
nhất định. Trong đề tài này chúng tôi trình bày “Nghiên cứu hướng giải quyết bài
toán chứng minh bằng phương pháp phản chứng ở bậc THPT” hướngĐây là phương
pháp hay dùng trong lập luận toán học, thể hiện sự chặt chẽ, lý luận hợp lôgic của
người giải toán. Điều quan trọng của phương pháp này là tìm ra mệnh đề phủ định
của điều cần chứng minh, từ đó dẫn đến sự vô lý với giả thiết bài toán hay mâu thuẫn
với kiến thức toán học đã biết.
Trong quá trình nghiên cứu các bài toán giải bằng phương pháp phản chứng,
chúng tôi phân thành các dạng sau:
1. Suy luận và loại trừ.
2. Sự vô lý suy ra từ những kiến thức đã biết.
3. Sự vô lý suy ra từ giả thiết bài toán.
Trong giới hạn cho phép chúng tôi chỉ có thể đưa ra một số bài toán đặc trưng
cho mỗi dạng và một số đề tham khảo tương ứng. Đề tài này chưa nêu hết những cái

1
2 | P a g e
hay và đầy đủ những dạng toán của phương pháp phản chứng. Bài tập đưa ra chỉ thể
hiện được phần nào cho các dạng nêu trên. Những kinh nghiệm đưa ra được rút từ
bản thân nên có thể còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy
cô và các bạn.
MỞ ĐẦU
I.Tên đề tài:

2. Phạm vi nghiên cứu:
- Bộ SGK 6, 7, 8, 9.
- Một số sách tham khảo khác.
V. Nhiệm vụ của đề tài:
1. Tìm hiểu cơ sở lôgic của phương pháp chứng minh phản chứng.
2. Phân loại các bài toán chứng minh bằng phương pháp chứng minh phản
chứng thành các dạng.
3. Nghiên cứu những bài tập trong bộ SGK 6, 7, 8, 9 chứng minh bằng phương
pháp phản chứng và một số bài tập trong các sách tham khảo khác.
4. Khai thác một số bài toán, dự đoán sai lầm học sinh có thể mắc phải và rút ra
một số kinh nghiệm cho các bạn sinh viên sư phạm.
VI. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận:
*Phương pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu.
a. Mục đích:
Chúng tôi sử dụng phương pháp này nhằm tìm hiểu cơ sở lôgic của phương pháp
chứng minh phản chứng.
b. Cách tiến hành:
Chúng tôi đã tiến hành đọc những cuốn sách, tài liệu tham khảo có liên quan đến
đề tài này, chúng được liệt kê ở phần “ Tài liệu tham khảo”.

4
5 | P a g e
2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
a. Mục đích:
Chúng tôi sử dụng phương pháp này nhằm tìm hiểu mức độ vận dụng của phương
pháp chứng minh phản chứng trong việc giải các bài toán phổ thông.
b. Cách tiến hành:
Nghiên cứu những bài toán cụ thể trong bộ SGK 6, 7, 8, 9 và trong một số sách
tham khảo khác ở chương trình THCS.

đúng (điều phải chứng minh).
II. Các bước suy luận phản chứng:
1. Phương pháp chứng minh phản chứng sử dụng khi nào?
Gặp những bài toán khẳng định một hệ thức đúng, khẳng định nghiệm của
phương trình, hệ phương trình hoặc một bất đẳng thức… trong đại số, hình học, số
học người ta hay dùng phương pháp phản chứng.
2. Các bước suy luận phản chứng:
Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai ( phủ định lại mệnh đề cần chứng
minh ).
Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những
tính chất này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất ta đã biết.
Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu là sai. Vậy bài toán được chứng minh.
•Chú ý: Trong hai bước suy luận phản chứng nêu trên, bước 1 rất quan trọng vì
cần tạo ra mệnh đề phủ định điều cần chứng minh phải chính xác.
III. Tìm mệnh đề phủ định điều cần chứng minh:
1. Tìm mệnh đề phủ định:
* C ác dạng mệnh đề:
1.1 Mệnh đề tồn tại:

7
8 | P a g e
Một mệnh đề ký hiệu P(x) xác định trên miền X. Mệnh đề tồn tại thường có
dạng:
 Tồn tại x ∈ X sao cho T(x). Hay thường viết: ∃ x∈ X: T(x).
Mệnh đề tồn tại cũng có mệnh đề đúng và mệnh đề sai.
Ví dụ:
• Mệnh đề tồn tại đúng:
“ Tồn tại một số thực x sao cho x chia hết cho 3.”
≡∃ x ∈ R: (1)
• Mệnh đề tồn tại sai:

+x+1= 0.” ≡ ∀x ∈ R, x
2
+x+1≠ 0. (4)
* Phủ định mệnh đề tồn tại và mệnh đề tổng quát:
• ( ∃ x∈ X: T(x)) ≡ ∀x∈ X,  T(x).
• ( ∀x∈ X, T(x)) ≡ ∃ x∈ X:  T(x).
Như vậy hai mệnh đề (∀x∈ X, T(x))và (∃ x∈ X: T(x)) là phủ định của
nhau.
Ví dụ:
• Mệnh đề phủ định của (1) là:
“Với mọi số thực x thì x không chia hết cho 3.” ≡ ∀x ∈ R, x không chia hết
cho 3.
• Mệnh đề phủ định của (2) là (4).
2. Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh:
Ở phần này ta chỉ xét một số ví dụ cụ thể và chỉ quan tâm đến việc lập mệnh
đề phủ định.
Ví dụ 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n, ta có n
5
- n chia hết cho 5.
 Mệnh đề cần chứng minh: ∀n ∈N, n
5
- n chia hết cho 5.
 Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh: ∃n ∈N: n
5
- n không chia hết
cho 5.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên m, n sao cho :
m
2
– n

Với năm điểm cho trước A, B,C, D, E thì qua mỗi điểm có bốn đường thẳng nối điểm
đó với các điểm còn lại. Ta cần chỉ ra trong bốn đường đó thì có đúng hai đường màu
xanh và hai đường màu đỏ. Với đặc điểm bài toán này ta không thể chứng minh trực
tiếp, mà ta có thể xét các trường hợp có thể xảy ra của bài toán. Bằng suy luận ta chỉ
ra duy nhất trường hợp mỗi đỉnh có hai đường màu xanh và hai đường màu đỏ là
đúng.
1.2 Lời giải:
Không mất tính tổng quát ta xét đỉnh A.
Qua A ta kẻ được bốn đường thẳng AB, AC, AD, AE có màu xanh hoặc màu đỏ. Các
trường hợp có thể xảy ra:

11
12 | P a g e
Trường hợp 1: Cả bốn đường thẳng cùng màu xanh (hoặc đỏ).
Vì ba cạnh tạo nên một tam giác bất kỳ không cùng màu nên những cạnh tạo ra từ
bốn đỉnh còn lại ( trừ đỉnh A) đều là màu đỏ (hoặc xanh).
Nhận thấy bất kỳ ba trong bốn cạnh đó đều tạo nên một tam giác cùng màu đỏ (hoặc
xanh). Điều này trái với giả thiết bài toán.
Vậy trường hợp này không thể xảy ra.
Trường hợp 2: Trong bốn đường thẳng đó có ba đường màu xanh và một đường
màu đỏ ( hoặc ba đường màu đỏ và một đường màu xanh ).
Xét ba đỉnh tạo với A ba đường thẳng màu xanh .
Vì ba cạnh của một tam giác bất kỳ không cùng màu nên ba cạnh được tạo từ ba đỉnh
nói trên phải cùng màu đỏ. Do đó đã hình thành một tam giác cùng màu đỏ từ ba đỉnh
đó. Không đúng với giả thiết bài toán.
Vậy trường hợp này không thể xảy ra.
Trường hợp 3: Tại mỗi đỉnh có hai đường màu xanh và hai đường màu đỏ.
Kết luận:Trường hợp 1 và trường hợp 2 không thể xảy ra, do đó chỉ có thể xảy ra
trường hợp 3.
Vậy tại mỗi đỉnh có đúng hai đường màu xanh và hai đường màu đỏ.

14 | P a g e
- Tôi là thần khôn ngoan.
Cuối cùng ông ta quay sang hỏi vị thần ngồi bên trái:
- Ai ngồi cạnh ngài?
- Đó là thần thật thà.
Nghe xong học giả khẳng định mỗi vị là thần gì. Bạn cho biết học giả đó suy luận
như thế nào?
2.1 Phân tích tìm lời giải:
Nhận thấy ba câu hỏi của học giả đều nhằm xác định một thông tin : Thần ngồi ở
giữa là thần gì?. Dựa vào các câu hỏi của học giả ta suy luận vị nào là thần thật thà.
Sau đó từ lời của thần thật thà, ta biết được đâu là thần dối trá, đâu là thần khôn
ngoan.
2.2 Lời giải:
Từ câu trả lời của thần ngồi giữa “ Tôi là thần khôn ngoan”, nên thần ngồi giữa
không phải là thần thật thà.
Nếu thần ngồi bên trái là thần thật thà thì không thể trả lời cho câu hỏi“Ai ngồi
cạnh ngài?” là “Đó là thần thật thà.”
Vậy ngồi bên phải là thần thật thà.
Câu trả lời của thần thật thà cho câu hỏi “ Ai ngồi bên cạnh ngài?” là “Đó là thần
dối trá.”Nên ngồi giữa là thần dối trá.
Vậy ngồi bên trái là thần khôn ngoan.
2.3 Bài học kinhnghiệm:

14
15 | P a g e
- Khi dạy những bài toán như trên người dạy nên khái quát thành một dạng và xây
dựng hướng đi chung.
- Tập cho học sinh suy luận chặt chẽ và hợp lôgic.
- Một bài toán có nhiều cách suy luận nên cần chọn cách suy luận hay nhất. Điều
quan trọng là kiên nhẫn đọc nhiều lần để phân tích, hiểu rõ yêu cầu bài toán.

một quả trong hộp đó thì tôi có thể nói chính xác trong từng hộp đựng quả gì.”
Bạn hãy cho biết người đó đã mở hộp nào và suy luận như thế nào.
Hướng dẫn:
Ta mở hộp CQ.
Nếu lấy ra quả quýt thì hộp đó đựng hai quả quýt. Hộp dán nhãn CC đựng một quả
cam và một quả quýt. Hộp dán nhãn QQ đựng hai quả cam.
Nếu lấy ra quả cam thì hộp đó đựng hai quả cam. Hộp dán nhãn CC đựng hai quả
quýt. Hộp dán nhãn QQ đựng một quả cam và một quả quýt.
Bài 3: Thầy Nghiêm được nhà trường cử đưa bốn học sinh Lê, Huy, Hoàng, Tiến đi
thi đấu điền kinh. Kết quả có ba em đạt các giải nhất, nhì, ba và một em không đạt
giải. Khi về trường mọi người hỏi kết quả các em trả lời như sau:
Lê: Mình đạt giải nhì hoặc ba.

16
17 | P a g e
Huy: Mình đã đạt giải.
Hoàng: Mình đạt giải nhất.
Tiến: Mình không đạt giải.
Nghe xong thầy Nghiêm mỉm cười và nói: “ Chỉ có ba bạn nói thật, còn một bạn đã
nói đùa.”
Bạn hãy cho biết học sinh nào đã nói đùa, ai đạt giải nhất và ai không đạt giải?
Hướng dẫn:
Nếu Lê nói đùa thì cả ba bạn Huy, Hoàng, Tiến đều nói thật. Như vậy cả Lê và
Hoàng đều đạt giải nhất. Điều này vô lý, vậy Lê đã nói thật.
Suy luận tương tự, ta kết luận cả Huy và Tiến đều nói thật. Vậy Hoàng nói đùa. Có
nghĩa là Hoàng đạt giải nhì hoặc ba, Lê đạt giải nhì hoặc ba, Huy đạt giải nhất, còn
Tiến không đạt giải.

17
18 | P a g e

Lời giải:
a. Bạn đọc tự làm.
b. Giả sử c không cắt b.

19
a
b
A
a
b
c
P
1
B
A
20 | P a g e
Suy ra c // b.
Khi đó qua A ta vừa có a // b, vừa có c // b. Điều này trái với tiên đề Ơclit.
Suy ra c cắt b.
Vậy : Nếu a // b và c cắt a thì c cắt b.
3. Bài tập 3: Hai đường thẳng a và b song song với nhau, đường thẳng c cắt a tại
A, cắt b tại B.
a. Lấy một cặp góc so le trong ( chẳng hạn cặp Â
4
và ) rồi đo xem hai góc đó có
bằng nhau không ?
b. Chứng minh Â
4
=
( Bài 30 trang 79 SBT 7 tập I )

c. Lý luận tại sao nếu a // b và a //c thì b // c.
( Bài 34 trang 80 SBT 7 tập I)
Lời giải:
a,b. Bạn đọc tự giải.
c. Giả sử b không song song với c.
Khi đó b cắt c tại một điểm O.
Như vậy qua O ta vừa có b // a, vừa có c // a. Điều này trái với tiên đề Ơclit. Suy ra
b // c.
Vậy b // a và c // a thì b // c.

21
.
1
∧
B
.
1
∧
B
∧
PAB
22 | P a g e
5. Bài tập 5: Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn,
không thể đều là góc tù.
(Bài 6 trang 61 SGK 8 tập I)
Lời giải:
Giả sử bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn thì tổng số đo của bốn góc đó nhỏ hơn
360
0
. Điều này trái với tính chất về tổng các góc trong một tứ giác bằng 360

Mà A, B, C thẳng hàng, suy ra d // l. Do đó không tồn tại giao điểm của d và l, mâu
thuẫn với giả thiết.
Vậy không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.
7. Bài tập 7: Chứng minh rằng trong một tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ nhất
là góc nhọn.
Lời giải:
Trong một tam giác, giả sử góc đối diện với cạnh nhỏ nhất có số đo lớn hơn hoặc
bằng 90
0
.
Theo tính chất về mối quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác thì hai góc
còn lại đều có số đo lớn hơn 90
0
. Do đó tổng số đo ba góc của tam giác trên lớn hơn
180
0
. Điều này trái với tính chất về tổng ba góc trong một tam giác bằng 180
0
.
Vậy góc đối diện với cạnh nhỏ nhất trong một tam giác phải là góc nhọn.

23
24 | P a g e
8. Bài tập 8: Cho hai đường tròn tâm O và O’ giao nhau tại A và B. Một cát tuyến
bất kỳ qua A giao với hai đường tròn tại C và D. Vẽ hai đường kính CC’ và DD’
của hai đường tròn. Chứng minh:A, C’, D’ thẳng hàng.
8.1. Lời giải:
(O) và (O’) giao nhau tại A, B;
GT cát tuyến CAD ( C∈(O),D∈(O’))
CC’, DD’ là hai đường kính.

CC’ là đường kính của (O) nên góc CAC’ = 90
0
.
Như vậy qua A ta vừa có AD’ và AC’ cùng vuông góc với CD. Điều này trái với
tiên đề Ơclit. Do đó AC’ và AD’ phải trùng nhau hay A, C’, D’ thẳng hàng.
8.2 Khai thác:
1. Bài toán trên vẫn còn đúng nếu hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại
một đỉnh A.

25