POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@
1
Hệ thống bài tập giải tích 12
(Phần 1)

A. Đạo hàm
I) ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM:
Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm x
0
đã chỉ ra:
a) y = x
2
+ x x
0
= 2
b) y =
x
1
x
0
= 2
c) y =
1
1


x
x
x
0
= 0

Bài5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2)…(x + 2004).
Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000)
II) CÁC PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM:
Bài1: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
1) y =
 
43
2
 xx
 
352
23
 xxx
2) y =
    
45342312  xxxx

3) y =
 
 
3
2
23
12133  xxxx

4) y =
   
 
3
2



xx
x

9) y =
44
1
1
1
12

















x
x

3
1
1
x
x



13) y =
6
4
53
62
31


xx
xx
14) y =
xcosxsin
xcosxsin



15) y =
 
 
xsinsinsin
16) y =
 








3
2
2
3
2
11311
2
3
xlnx

Bài2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
1) y =
xln
x
2) y =
xcos
xsin

3) y =
x
x
2
2

1
. Tính f'(0)
Bài2: Cho f(x) =
2xx
. Tính f'(0)
Bài3: Cho f(x) =








0x nÕu 0
0x nÕu
x
xcos1

1) Xét tính liên tục của f(x) tại x = 0.
2) Xét tính khả vi của f(x) tại x = 0.
Bài4: Cho hàm số: f(x) =
13
32
2


x
xx
.

12
23
2
2


xx
xx
. Tính: f
(n)
(x)
POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@
3
Bài2: Cho f(x) =
6116
843
23
2


xxx
xx
. Tính: f
(n)
(x)
Bài3: Cho f(x) =
107
942
24
23

Bài8: Cho f(x) =
xlnx
3
. Tính: f
(n)
(x)
Bài9: Cho f(x) =
 
baxln 
. Tính: f
(n)
(x)
V) ĐẲNG THỨC, PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VỚI CÁC PHÉP TOÁN ĐẠO HÀM:
Bài1: Cho y =
x
ln
1
1
. CMR: xy' + 1 = e
y

Bài2: Cho y =
xsine
x
. CMR: y'' + 2y' + 2y = 0
Bài3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). CMR: y + xy' + x
2
y" = 0
Bài4: Cho f(x) = sin
3

3
2
0
11 

2)
2
0
2
3
x
xcos
lim
x
x



3)
2
3
0
2121
x
xx
lim
x


4)

; -1]  [2; +

)
Bài3: Tìm m để hàm số: y =
   
mxmxm
mx
 112
3
2
3

đồng biến trên (-

; 0)  [2; +

)
Bài4: Tìm m để hàm số: y =
 
xmmxx
m
23
3
1
23


đồng biến trên R
Bài5: Tìm m để hàm số: y = x
3


2
1

Bài4: Tìm m để phƣơng trình:
  
xxxx  6363
= m có nghiệm
Bài5: Tìm m để phƣơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm
x 







2
3
2
;

Bài6: Tìm m để phƣơng trình:
0121
2
3
2
3
 mxlogxlog
có ít nhất một nghiệm

x
x
+ ax có nghiệm duy nhất
Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x
2
+ 4x + 6)  m nghiệm đúng với x
Bài10: Xác định a để bất phƣơng trình: -4
  
xx  24
 x
2
- 2x + a - 18 nghiệm đúng với
x  [-2; 4]
Bài11: Tìm m để:
 
mm
xx
xsin
xcos
22
2
1
1
33
2
2
1
2



1)
4259  xx

2)
 
75155
2
3
2
2







 xxlogxxlog
 2
Bài2: Giải hệ bất phƣơng trình:







013
0123
3







2
2
2
23
23
23
xxxz
zzzx
yyyx

4) CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
242
1
2
1
422
xx
xcos
x

x > 0
2)


1
2
 1 - x +
 
x
x
12
4
x  [0; 1]
5)
 
2
1
2
x
xxln 
x > 0
6)
x
x
xln
1

x > 1
II) CỰC TRỊ VÀ CÁC ỨNG DỤNG:
Bài1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau đây:
1) y = x
3
+ 4x 2) y =

2
2
2
2


x
mxx
luôn có một cực đại và một cực tiểu với
mọi m.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số:
1) y = sinx(1 + cosx) 2) y = sin
4
x + cos
4
x + sinxcosx + 1
3) y = 5cosx - cos5x với x 








44
;
4) y =
xcosxsin

b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a










2
2
2
2
4
4
4
4


2
2


xx
xx
2) y =
1
1
2
3


x
xx
3) y =
x
x
2

4) y =
2
9
2
x
x


5) y =
 

x

Bài3: Cho (C): y =
 
2
312
2


x
axaax
, a  -1; a  0. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của
(C) luôn đi qua một điểm cố định
Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
1
232
2


x
xx

1) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M  (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi.
2) Tìm M  (C) để tổng khoảng cách từ M  (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.
V) KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ:
Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = 2x
3
+ 3x
2

- 1
3) y = x
4
+
10
3
x
2
+ 1 4) y =
2
4
x

- x
2
+ 1
Bài3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y =
1
42


x
x
2) y =
3
12


x


x
xx

Bài5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y =
3
5
3
1
4
1
234
 xxx
2) y =
54
1182
2



xx
xx

3) y =
1
542
2
2


Vẽ đồ thị của các hàm số:
1) y =
1
1
2


x
xx
2) y =
2
92
2


x
xx

3) y =
2
33
2


x
xx
4) y =
1
55
2

3
- 1 - k(x - 1) (1)
1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;
2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k
để tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5
Bài2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y =
xcosxx  42
2
tại giao điểm của
đƣờng cong với trục tung.
Bài3: Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1
a) Tìm m để (C
m
) cắt đƣờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
b) Tìm m để các tiếp tuyến của (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau.
Bài4: Cho 2 đồ thị
     
 





22
2
 aaxxax

2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ.
POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@
9
Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y =
 
mx
mmxm


2
13
với trục Ox tiếp tuyến của
(C) song song với (): y = x - 10. Viết phƣơng trình tiếp tuyến đó.
Bài7: Cho (C) : y =
1
12


x
x
và M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. tiếp
tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
1) CMR: M là trung điểm của A và B.
2) CMR: S
IAB
không đổi

M
= m. Viết phƣơng trình tiếp tuyến (t
m
) tại M.
2) Tìm m để (t
m
) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán và
hai tiếp tuyến tƣơng ứng vuông góc với nhau.
3) Gọi I là giao điểm của hai đƣờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đƣờng
tiệm cận tại A và B. CMR: M là trung điểm của AB và diện tích IAB không phụ thuộc vào vị
trí điểm M trên (C).

2) PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC CHO TRƢỚC
Bài1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x
3
- 3x
2
biết tiếp tuyến vuông góc với
đƣờng thẳng: y =
3
1
x.
Bài2: Cho hàm số (C): y = f(x) =
2
4
x
- x
3
- 3x
2

2


x
xx

Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh
rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận.
Bài6: Cho (C
m
): y = x
4
+ mx
2
- m - 1
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đƣờng thẳng y = 2x với A là điểm cố
định của (C
m
) có hoành độ dƣơng.
Bài7: Cho đồ thị (C
a
): y =
1
3
2


x
axx


+ 3x
2
+ 5
Bài2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến đi qua A(0; -1) đến (C): y = 2x
3
+ 3(m - 1)x
2
+ 6(m - 2)x - 1
Bài3: Cho hàm số (C): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ 2
1) Viết phƣơng trình tiếp tuyến đi qua A






 2
9
23
;
đến (C).
2) Tìm trên đƣờng thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài4: Cho (C): y = -x
3
+ 3x + 2
Tìm trên trục hoành các điểm kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@
11
Bài4: Biện luận theo b số nghiệm của phƣơng trình: x
4
-2x
2
- 2b + 2 = 0
Bài5: Biện luận theo a số nghiệm của phƣơng trình: x
2
+ (3 - a)x + 3 - 2a = 0 và so sánh các
nghiệm đó với -3 và -1
Bài6: Tìm m để
8102
2
 xx
= x
2
- 5x + m có 4 nghiệm phân biệt.
2) SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
Bài toán về số giao điểm
Bài1: Tìm k để đƣờng thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị: y =
2
34
2


x
xx
tại hai điểm phân biệt.
Bài2: Tìm m để đồ thị: y = x

m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dƣơng
Bài5: Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
- 3(m + 1)x
2
+ 3(m
2
+ 1)x - (m
3
+ 1)
Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại đúng một điểm.
Bài6: Tìm m để (C
m
): y = x
3
+ m(x
2
- 1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Bài7: Tìm m để (C
m
): y =
3
1
3
x

Bài2: Tìm m để (C
m
): y = f(x) = x
3
- (2m + 1)x
2
- 9x cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt lập
thành cấp số cộng.
Bài3: Tìm m để đƣờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C): y = x
4
- 5x
2
+ 4 tại A, B, C, D phân
biệt mà AB = BC = CD
3) CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT:
Bài1: Tìm điểm cố định của (C
m
): y = x
3
- (m + 1)x
2
- (2m
2
- 3m + 2)x + 2m(2m - 1)
Bài2: CMR: (C
m
): y = (m + 2)x
3
- 3(m + 2)x
2

 22
2

Tìm các điểm  Oxy mà không có đồ thị nào của (C
m
) đi qua
Bài6: Cho (C
m
): y = 2x
3
- 3(m + 3)x
2
+ 18mx + 6. CMR: trên Parabol (P): y = x
2
+ 14 có 2
điểm mà không có đồ thị nào của (C
m
) đi qua.
Bài7: Cho họ đồ thị (C
m
): y =
mx
mmxx


22

Tìm các điểm  Oxy có đúng 2 đƣờng cong của họ (C
m
) đi qua.

x
xx
và đƣờng thẳng (D): y = mx + 1.
Tìm m để (D) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
Bài3: Tìm m để (C
m
): y =
 
2
632
2


x
xmx
có cực đại, cực tiểu và tìm quỹ tích cực đại, cực
tiểu.
Bài4: Cho họ đồ thị (C
m
): y =
 
54
12
22
22


mmx
mmxmx
. Tìm quỹ tích giao điểm của (C

+ 3mx
2
- 2 Nhận I(1; 0) là tâm đối xứng.
Bài2: Cho (C
m
): y = x
3
+ mx
2
+ 9x + 4 Tìm m để trên (C
m
) có một cặp điểm đối xứng nhau
qua gốc toạ độ.
Bài3: Tìm trên (C): y =
1
2
2


x
xx
các cặp điểm đối xứng nhau qua I






2
5

1

Bài2: CMR hàm số: y =
axxln
a
ax
x

22
22
với a  0
là một nguyên hàm của hàm số: f(x) =
ax 
2

Bài3: Xác định a, b, c để hàm số: F(x) =
 
32
2
 xcbxax
là một nguyên hàm của hàm
số: f(x) =
32
73020
2


x
xx





 dx
x
1
x
3
4)
 

 dxxx
3
3
2

5)
 
 

 dx2x-xx 1
3
6)








 

 dxbax
2
3
10)



dx
x
xx
4
3
4
2

11)
  

 dxbxaxx
12)
dxe2
xx


13)
 

 dxe

1
18)

dxcos2x-1

19)


dx
cosx1
x4sin
2

2) PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
Tính các nguyên hàm sau đây:
POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@
15
1)
 

 dxx
4
13
2)



dx
xx
x

7)


dx
x1
x
2
8)



dx
xx
4x
2
12

9)


dx
xx
x
2
3
12
10)




dx1-2xx
16)
 


2
4
3
4x
dxx

17)
 

 dxxx
2
3
3
12
18)

xdxcosxsin
5

19)

xdxtg
3
20)


 dxxx
3
23
1
24)
 

xlnln.xlnx
dx

25)

dx1-xx

3) PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN:
Tính các nguyên hàm sau đây:
1)
 

 xdxcosx 12
2)

dxex
x2

3)

xdxln
4)


9)









dx
x
x
lnx
1
1

4) NGUYÊN HÀM HÀM HỮU TỶ:
Bài1: Tính các nguyên hàm sau đây:
POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@
16
1)


dx
x
x
1
2
2


dx
xx
xx
2
2
23
1

7)




0)(a dx
ax
x
2 2
1
8)

1
3
x
dx

9)




dx
x4x
x
3
3
1
14)

 2xx
xdx
24
3

15)
 


dx
1x
x
4
7
2

Bài2: 1) Cho hàm số y =
23
333
3
2








x
B
x
A
x
x

b) Dựa vào kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của hàm số : f(x) =
 
3
1
13


x
x

5) NGUYÊN HÀM HÀM LƢỢNG GIÁC:
Tính các nguyên hàm sau đây:
1)

xcos.xsin
dx
2)


dxxtg
5

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@
17
9)

xcos
dx
6
10)

xsin
dx
6

11)

dx
xx.sincos
cos2x
22
12)

xcos.xsin
dx
22

13)


dx
xcos
tgx
3

21)



xcosxsin
xcos
3
14
2

6) NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỶ:
Tính các nguyên hàm sau đây:
1)


2
4 x
dx
2)

 11 xx
dx

3)

7)


3
xx
dx
11
8)

 11 xx
dx

9)

 dxx
2
4
10)

 dxxx
2
4

11)

 143
2
xx
dx


xcosxsin
4)


0
3
5xdxcosxcosx

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@
18
5)


2
0
23
xdxsinxcos
6)


4
0
4
xdxsin

Bài2: Cho f(x) =
xcosxsin
xsin



 
xsin
B
xsin
xcosA



2
2
2

2) Tính: I =
 


0
2
dxxh

Bài4: Cho hàm số: f(x) = 4cosx + 3sinx ; g(x) = cosx + 2sinx
1) Tìm A, B để g(x) = A.f(x) + B.f'(x)
2) Tính: I =
 
 


4
0
dx



e
x
x
e
dxe
1
1

5)

4
1
dx
x
e
x
6)
dx
x
xln
e


1
1

Bài6: Tính các tích phân sau:
1)

0
6
xdxtg

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@
19
5)



4
0
2
1 xsin
dx
6)



2
0
2 xsin
dx

7)



4
0

xdxcos

Bài7: Tính các tích phân sau:
1)
 



4
0
2
12 dxxcosx
2)


2
0
2
3xdxsine
x

3)
 


1
0
2
2
1 dxex

e
e
dx
x
xln
1
2
1
8)
 













9
1
0
52
3
14
1



1
1
3
2
1 dxxxln

Bài2: CMR: Nếu f(x) là hàm chẵn liên tục trên [-a; a] thì: I =
   



aa
a
dxxfdxxf
0
2

Bài3: CMR: Nếu f(x) là hàm chẵn liên tục trên R thì: I =
 
 




aa
a
x
dxxf

20
VD: Tính: I =



0
2
49
dx
xcos
xsinx

Bài5: (Tổng quát hoá bài4)
Nếu f(x) liên tục và f(a + b - x) = f(x) thì I =
   



b
a
b
a
dxxf
ba
dxxxf
2

Bài6: Nếu f(x) liên tục và f(a + b - x) = -f(x) thì: I =
 
0

0
1 dxtgxln

Bài7: Nếu f(x) liên tục trên







2
0 ;
thì:
 


2
0
dxxsinf
=
 


2
0
dxxcosf

VD: Tính: I =




2004
0
21 dxxcos

3) TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
Bài1: Cho các hàm số: f(x) = 3x
3
- x
2
- 4x + 1 ; g(x) = 2x
3
+ x
2
- 3x - 1
1) Giải bất phƣơng trình: f(x)  g(x).
2) Tính: I =
   



2
1
dxxgxf

Bài2: Tính các tích phân sau:
1)



2)
 


5
0
22
434 dxxxxx

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@
21
Bài5: Tính các tích phân sau:
1) I =


2
0
2
44 dxmxx
2)
 


2
1
2
22 dxmxmx

4) BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN:
Bài1: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau:

2)
3
32
1
3
3
0
2







xcosxcos
dx

Bài2: CMR:
4
2
0
2
2
2
2
edxe
e
xx


0
2

1) CMR: I
n
> I
n + 1

2) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n - 1

3) Tính I
n
theo n. Bài2: Cho I
n
=


2
0
xdxsin
n

1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa I
n

n - 1

2) Tính I
n
.
Bài4: Cho I
n
=


1
0
1 dxx x
n

1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n - 1

2) Tính I
n
.
POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@
22
Bài5: Tính các tích phân sau:
1) I
n
=
dxxtg

2
x 0;x
0y ;xcosxsiny
32

3)







2
2
yx
xy
4)









x
y
x


Bài2: Vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x
3
- 3x + 2 (C)
1) Viết phƣơng trình tiếp tuyến (d
1
) với (C) tại A có x
A
= 2. Viết phƣơng trình tiếp tuyến
(d
2
) với (C) tại điểm uốn của (C).
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:



 1
1
x
)d(),C(

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:



)d(vµ)d(
)C(
21

Bài3: Cho hàm số: y =


b
y
a
x

Elíp (E
1
):
1
2
2
2
2

b
y
a
x
và Elíp (E
2
):
1
2
2
2
2

c
y

b
x

2) TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ:
Bài1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh Ox một hình phẳng giới hạn
bởi các đƣờng:





10
0
x;x
y;e.xy
x

Bài2: Gọi (D) là miền giới hạn của các đƣờng:





2
2
0
xxy
y
. Tính thể tích vật thể tròn xoay
đƣợc tạo thành do ta quay D

b
y
a
x
quanh Ox.