ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
PHÒNG ĐT SĐH-KHCN&QHĐN
TIỂU LUẬN MÔN TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH

TÌM HIỂU LÝ THUYẾT LỌC KALMAN-BUCY
VÀ ỨNG DỤNG MINH HỌA

 TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
 ĐẶNG BẢO ÂN - CH1301077
TP. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2014
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
LỜI CẢM ƠN
 !"#$%&
'%()*)! +,*)- ./0!12*345*0&63
*)!()7%89:51;<*'=>'?9@3*)!@
<2*A/B9@!C DEC%89:FA()
,G2*5,EH<**?#
I7G.GCA*. +
.G -*0 <GH<**?#
JCK= LFA5AM'4.4N/% +
%*),AG O'G*? =30!G-5P -
2*A,GA2*A#
QD(/A !P/% +2*A !
H<**?FA#*)',G2*5,E0&<,50R/
CAC',PGC =30!;FA()54.#
Nhóm học viên thực hiện
Trang 2
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA GIÁO VIÊN
###############################################################################################################################

V#U#h_*5,Eijj,##################################################################################################################Ug
Trang 4
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
V#VB=:*##################################################################################################################Uk
V#V#UB=:*&######################################################################################################Uk
V#V#V]=:*&##########################################################################################################Ub
V#cI%,E=:*################################################################################################VX
V#c#Ua5-=%,E=:*####################################################################VX
V#c#V"S.9*)PFA#########################################################################################VU
V#c#cI%,E=:**)!>########################################################################VV
PHẦN 3 LỌC NGẪU NHIÊN KALMAN-BUCY 28
c#UlD###########################################################################################################################################V`
c#Vm*###########################################################################################################################################V`
c#clDaAA##############################################################################################################################Vb
c#Y!0!4D#############################################################################################################################cV
c#gQ&EaAAnl*)##################################################################################################################ck
PHẦN 4 MINH HỌA THUẬT TOÁN KALMAN-BUCY BẰNG CHƯƠNG
TRÌNH MATLAB 41
Y#U]B9@Uo8%pM,BG*##################################################################################################YU
Y#V]B9@VqVn=*UnG*=*Yn,.5#####################################################################YY
DANH MỤC HÌNH ẢNH
Trang 5
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
Hình 2-1 Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn 14
Hình 4-2 Kết quả ước lượng vị trí 42
Hình 4-3 Kết quả ước lượng vận tốc 43
Hình 4-4 Trạng thái 1 và trạng thái 2 45
Hình 4-5 Trạng thái 3 và trạng thái 4 45
LỜI NÓI ĐẦU
Một số quá trình thu và xử lí tín hiệu để xác định quỹ đạo chuyển động như máy

đã biết các khái niệm biến ngẫu nhiên, vector ngẫu nhiên, đó là các biến nhận các giá
trị nào đó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên. Khi họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
vào thời gian ta có quá trình ngẫu nhiên.
Các tín hiệu truyền dẫn và nhiễu của một hệ thống viễn thông, quá trình sắp hàng
ở một tổng đài là các quá trình ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng
trong viễn thông là quá trình có tính Markov (memoryless) và quá trình dừng.
2.1.1 Khái niệm quá trình ngẫu nhiên
Các tín hiệu của các hệ thống thông tin là các tín hiệu ngẫu nhiên vì ngoài thành
phần mang tin còn có sự tác động của giao thoa ngẫu nhiên và nhiễu của thiết bị.
Giả sử một tín hiệu nào đó mà tại mỗi thời điểm t chỉ xảy ra ứng với các biến cố
{ , }
i
E i N∈
của không gian mẫu. Tín hiệu này nhận giá trị
( , )
i
v t E
tại thời điểm
t
và khi
biến cố
i
E
xảy ra. Như vậy
( , )
i
v t E
là một mẫu của quá trình ngẫu nhiên
( )v t
. Quá trình

{ ( ); }X t t I∈
thay cho
{ ( , ); }X t t I
ω
∈
.
Trang 8
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
2.1.2 Phân loại quá trình ngẫu nhiên
Các yếu tố chính để phân biệt các quá trình ngẫu nhiên là không gian trạng thái,
tập chỉ số
I
và quan hệ độc lập giữa các biến ngẫu nhiên
( )X t
. Vì vậy ta có thể phân
loại quá trình ngẫu nhiên theo:
2.1.2.1 Tập trạng thái E
Ta ký hiệu
E
là tập các giá trị của
( )X t
và gọi là không gian trạng thái của quá
trình.
♦ Nếu
E
là tập đếm được thì
{ ( ); }X t t I∈
gọi là quá trình có trạng thái rời rạc.
♦ Nếu
E

I R=
thì
{ ( ); }X t t I∈
được gọi là quá trình có thời gian liên
tục.
2.1.3 Quá trình dừng (stationary)
Quá trình
{ ( ); }X t t I∈
,
, , ,I R R Z N
+
=
được gọi là:
♦ Dừng theo nghĩa chặt (strictly stationary):
Trang 9
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
Nếu
1 2
0, , ,
n
h t t t I∀ > ∀ ∈
thì hàm phân bố đồng thời của
1 2
( ( ), ( ), X t h X t h+ +
, ( ))
n
X t h+
và
1 2
( ( ), ( ), , ( ))

n
t t t< < <
và với mọi cách chọn
1 2
, ,
n
a a a
thì:
1 1
{ ( ) | ( ) , , ( ) } { ( ) | ( ) }
n n n n
P a X t b X t a X t a P a X t b X t a< ≤ = = = < ≤ =
đúng với mọi
n
t t>
,
với mọi
a b<
.
2.1.4.1 Chuỗi Markov
Chuỗi Markov là quá trình Markov
{ ( ); }X t t I∈
có không gian trạng thái
E
đếm
được. Tuỳ theo tập chỉ số
{0,1,2, }I =
hoặc
(0, )I = +∞
ta có tương ứng chuỗi Markov

là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố với biến ngẫu nhiên
ξ
có phân bố xác
suất.
1
{ } ; 0,1,2, ; 0; 1
k k k
k
P k a k a a
ξ
=
= = = > =
∑
Trạng thái của hệ (cửa hàng) tại thời điểm đầu của mỗi chu kỳ là số khách xếp
hàng chờ phục vụ. Nếu hiện tại hệ ở trạng thái
i
và sau 1 chu kỳ hệ rơi vào trạng thái
j
thì
1i
j
ξ
ξ
− +

=


nếu
1

độc lập với chu kỳ thời gian. Nghĩa là dãy
{ }
n
ξ
độc lập có cùng phân bố với
ξ
.
1
{ } ; 0; 1
k k k
k
P k a a a
ξ
=
= = > =
∑
Trang 11
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
Mức hàng dự trữ được kiểm kê tại cuối mỗi chu kỳ. Cách nhập hàng căn cứ vào 2
chỉ số tiêu chuẩn
s
và
S
( )
s S<
như sau: Nếu ở cuối mỗi chu kỳ lượng hàng dự trữ
s≤
thì ngay tức khắc nhập hàng để có số hàng dự trữ bằng
S
; Nếu hàng hiện có

( )
s X n S
X n s
< ≤
≤
Các trạng thái của quá trình
( )X n
là các số lượng hàng dự trữ:
, 1, ,0, 1, 2, S S − − −
trong đó giá trị âm là nhu cầu chưa được phục vụ mà sẽ được đáp ứng ngay sau khi
nhập hàng
1
1
{ }
{ ( 1) | ( ) }
{ }
n
ij
n
P i j
P P X n j X n i
P S j
ξ
ξ
+
+
= −

= + = = =


ξ
−
= + = = − = = =
1,1
{ ( 1) 1| ( ) 1} ( 1) 0.4p P X n X n P
ξ
−
= + = = − = = =

Trang 12
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
2.1.5 Quá trình Gauss
2.1.5.1 Phân phối Gauss
♦ Định nghĩa 1: cho
( ,, , )F PΩ
là một không gian xác suất. một biến ngẫu nhiên
:X RΩ →
là phân phối Gauss nếu phân phối của
X
có hàm mật độ được viết dưới
dạng:
2
2
1 ( )
( ) exp
2
2
x
f x
µ

var[ ] [( )] ( ) ( )
R
X E x x f x dx
µ µ µ
= − = − =
∫
Kí hiệu thường dùng để chỉ phân phối chuẩn là
2
( , )N
µ σ
. Phân phối chuẩn
( )
0,1N
được gọi là phân phối chuẩn tắc.
Trang 13
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
Hình 2-1 Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn
Đồ thị của hàm mật độ của phân phối chuẩn có hình cái chuông. Trung điểm của
cái chuông này chính là điểm
x
µ
=
, và độ cao của chuông chính bằng
1
2
σ π
.
Hình vẽ trên cho thấy hầu hết xác suất của một phân phối chuẩn nằm trong đoạn
[ ]
3 , 3

f x x x x x
µ µ
π
−
 
= − − ∑ −
 ÷
 
∑
trong đó
-
1
( , , )
n
R
µ µ µ
= ∈
là kì vọng của X.
-
[ ]
jk
c∑ =
là ma trận hiệp phương sai của X, trong đó.
-
[( )( )]
jk i j k k
c E x x
µ µ
= − −
.

,
n n
u x u x u x< >= + +
,
( )f x
là hàm mật độ của X và i là đơn vị ảo trong số
phức
2.1.5.2 Quá trình Gauss
♦ Định nghĩa. Quá trình
{ , }
t
X X t T= ∈
được gọi là quá trình Gauss hay quá trình
chuẩn nếu các phân phối hữu hạn chiều của nó là Gauss, tức là phân phối của vectơ
ngẫu nhiên
1
( , , )
n
t t
X X
là Gauss đối với mọi tập con hữu hạn
1
( , , )
n
I t t T= ⊂
.
Như vậy, quá trình
{ , }
t
X X t T= ∈

là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
Trang 15
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
- Đại lượng ngẫu nhiên
,0
t s
s t
ξ ξ
− ≤ ≤
có phân phối chuẩn, với kỳ vọng bằng
0 và phương sai bằng
2
( )t s
σ
−
.
-
t
ξ
là quá trình liên tục, tức là hầu hết các quỹ đạo của
t
ξ
là hàm liên tục.
Chú ý:
- Một quá trình Wiener
t
ξ
với tham số phương sai
1
2

là một quá trình ngẫu nhiên thuần nhất với số gia độc
lập sao cho nó có phân phối Gauss với hàm mật độ:
( )
2
( , )
( ) 2 exp
2
m
t
x x
f x t
t
π
−
 
= −
 
 
Hàm đặc trưng tương ứng với nó sẽ là:
[ ]
{ }
t
( ) exp ( , ) exp ( , )
2
t
t
z E i z z z
ϕ
 
= = −

1
exp ( , ( )) exp ( , ) ( , )
2
t
E i z t it z a Bz z
ξ
 
= −
 
 
trong đó:
*.CCB =
, với
*C
là toán tử liên hợp với C.
-
a
được gọi là vector chuyển dịch.
- B được gọi là toán tử khuyếch tán.
2.1.6.2 Tính chất của quá trình Wiener
Bổ đề Borel – Cantelli
Giả sử
( )
n
X
là dãy biến cố bất kỳ.
- Nếu
1
( )
n

P X =
.
trong đó:
1
limsup
n m
n m n
X X
∞ ∞
= =
=
I U
2.2 Tích phân ngẫu nhiên
2.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô
♦ Định nghĩa :
Giả sử trên không gian xác suất
( , , )F PΩ
đã cho họ hàm không giảm các
σ
−
đại
số
, 0
t
F F t⊆ >
và quá trình Wiener
0
, 0; 0
t
W t W≥ =

ω
< ∞
∫
.
-
( , )f t
ω
là hàm đo được.
-
t
f
là tương thích đối với
t
F
, nghĩa là
t
f
là
t
F −
đo được.
Để xây dựng khái niệm tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT, trước
tiên ta xét các hàm sơ cấp, nghĩa là các hàm có dạng:
1
{0}
0
( , ) 1 ( )1
k
n
k A

1
( , )
k k k
A t t
+
=
.
Với các hàm sơ cấp dạng ta xác định tích phân Itô bởi:
1
1
0
0
( , ) : ( )( )
k k
T
n
t k t t
k
I t dW W W
φ φ ω µ ω
+
−
=
= = −
∑
∫
Với
T
f N∈
sẽ tồn tại dãy hàm sơ cấp

ω ω
→∞
= =
∫ ∫
Vậy tích phân Itô là một ánh xạ
2 2 2
: ( ) ([0, ] , , ) ( , , )I L BF L T BF mes P L F P= × Ω × → Ω
♦ Tính chất quan trọng của tích phân Itô:
Trang 18
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
0
( , ) 0
t
s
E f s dW
ω
=
∫
2
2
0 0
( , )
t t
s
E f s dW E f ds
ω
 
=
 
 

t
F
đo được sao cho:
0
0
: ( , ) 1;
: ( , ) 1
T
t
T
t
P t dt
P t dt
ω α ω
ω α ω
 
 
< ∞ =
 
 
 
 
 
< ∞ =
 
 
 
∫
∫
Quá trình ngẫu nhiên có vi phân là quá trình ngẫu nhiên liên tục trong

2.3.1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Xét hệ thức vi phân ngẫu nhiên
( , ) ( , ) W
t t t
dX b t X dt t Xt d
σ
= +
(1)
Trong đó
( , ), ( , ):[0, ]b t x t x T
σ
× →¡ ¡
là hàm hai biến đo được và
W
t
là quá trình
Wiener tiêu chuẩn.
Nếu xem
t
X
là quá trình ngẫu nhiên phải tìm hệ thức (1) được gọi là phương
trình vi phân ngẫu nhiên.
2.3.1.2 Lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên
Một quá trình ngẫu nhiên
( )
( ), [0, ]
t
X X t T
ω
= ∈

[0, ]T t
B F
×
.
-
2
0
, [0, ]
t
t
E X dt t T
< ∞ ∀ ∈
∫
.
-
t
X
thỏa mãn các hệ thức (1) và (2).
Trang 20
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của lời giải
2.3.2.1 Sự tồn tại và duy nhất của lời giải
♦ Định nghĩa 1: Giả sử
( )
, [0, ]
t
X X t T
= ∈
là một lời giải của phương trình (1) (2).
Ta nói lời giải đó là duy nhất nếu có điều kiện sau:

2 2 2
2
( , ) ( , ) (1 )b t x t x K x
σ
+ ≤ +
(5)
Khi đó tồn tại một lời giải
( )
, [0, ]
t
X X t Y= ∈
của phương trình (1) với điều kiện
ban đầu (2) và đó là lời giải duy nhất theo nghĩa (3)
2.3.2.2 Tính Markov của lời giải
Định lý dưới dây cho thấy lời giải của một phương trình vi phân ngẫu nhiên bao
giờ cũng là một quá trình Markov.
♦ Định lý 2: Giả sử
( )
t
X X
=
là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn phương trình
(3.1):
( , ) ( , ) W
t t t t
dX b t X dt t X d
σ
= +
Trong đó các hệ số
( , )b t x

s
X x=
; nói cách khác
( )
x
s
X t
là lời giải duy nhất của
phương trình
( ) ( )
( ) , ( ) , ( ) W
t
x x t x
s s s u
s
X t x b u X u du s u X u d
σ
= + + −
∫ ∫
.
Chú ý: theo định nghĩa, lời giải của phương trình (1) đều là quá trình thích nghi
với
( )
W
W ,
t s
F s t
σ
= ≤
.

là một Mactingan khi và chỉ khi
( , ) 0b t x ≡
.
2.3.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính
2.3.3.1 Định nghĩa
Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính là phương trình có dạng
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] W
t t t t
dX a t X b t dt c t X d t d= + + +
(6)
Trong đó
( )a t
,
( )b t
,
( )c t
,
( )d t
là các quá trình thích nghi và liên tục theo t.
Chú ý: Ta dễ dàng kiểm chứng rằng đối với phương trình tuyến tính (6) thì các
điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm luôn được thỏa.
Trang 22
TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
2.3.3.2 Quá trình mũ ngẫu nhiên
Cho
X
là một quá trình có vi phân ngẫu nhiên và
U
là quá trình thỏa
0

và
kí hiệu là
( )
t
X
ε
. Vậy
0
1
[ , ]
2
( )
t t
X X X X
t
X e
ε
− −
=
. (9)
2.3.3.3 Phương trình vi phân mũ ngẫu nhiên
Trong phương trình tuyến tính (6), cho
( ) 0b t ≡
và
( ) 0d t ≡
ta được phương trình vi
phân mũ ngẫu nhiên:
( ) ( ) W
t t t t
dX a t X dt c t X d= +

e
− −
=
0 0
2
0
0 0 0
1
exp [Y,Y]
2
1
exp ( ) ( ) W ( ) )
2
t t
t t t
s
X Y Y
X a s ds c s d c s ds
 
= − −
 ÷
 
 
= + −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Trong đó vi phân biến phân bậc hai của quá trình Itô
t
Y

X u
=


=

Giải
Ta thấy phương trình có dạng vi phân mũ với
( ) 0a t =
và
( ) 1c t =
. Phương trình có
lời giải
t
X
1
0 0
1
.exp (1 ) 1. W
2
t
s
u ds d
 
= − +
 ÷
 
∫ ∫
1
.exp W

.
Đặt
0
1U =
và
0 0
V X=
. Theo (12) ta có lời giải cơ bản
2
0 0
1
exp ( ) ( ) ( ) W
2
t t
t s
U a t c s ds c s d
 
 
= − +
 ÷
 
 
 
∫ ∫
(13)
Bằng cách lấy vi phân của tích
t t
U V
ta có thể chọn
( )A t

−
= +
.
Ta có lời giải tổng quát
0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
W
t t
t t s
s s
b s c s d s d s
X U X ds d
U U
 
−
= + +
 ÷
 
∫ ∫
Trong đó
t
U
xác định bởi công thức (13).
Trang 25

Trích đoạn Thiết kế bộ lọc

---