ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
Tiểu luận môn TOÁN
Tìm hiểu bộ lọc KALMAN
GVHD: TS. Dương Tôn Đảm
HVTH: Lê Đỗ Minh Nga
MSHV: CH1301101
TP HCM, tháng 11 năm 2014
1
Mục lục
1. MỞ ĐẦU
Bộ lọc Kalman, được Rudolf (Rudy) E. Kálmán công bố năm 1960, là thuật toán
sử dụng chuỗi các giá trị đo lường, bị ảnh hưởng bởi nhiễu hoặc sai số, để ước
đoán biến số nhằm tăng độ chính xác so với việc sử dụng duy nhất một giá trị đo
2
lường. Bộ lọc Kalman thực hiện phương pháp truy hồi đối với chuỗi các giá trị đầu
vào bị nhiễu, nhằm tối ưu hóa giá trị ước đoán trạng thái của hệ thống.
Bộ lọc Kalman được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật, phổ biến trong các ứng
dụng định hướng, định vị và điều khiển các phương tiện di chuyển. Ngoài ra, bộ
lọc Kalman còn được ứng dụng để phân tích dữ liệu trong các lĩnh vực xử lý tín
hiệu, xử lý ảnh và kinh tế.
Bài thu hoạch này dựa trên những kết quả nghiên cứu của những người đi
trước để tổng hợp những vấn đề liên quan tới thuật toán Kalman
Nội dung bài thu hoạch gồm hai phần:
-Tìm hiểu lọc Kalman
-Ứng dụng Kalman trong xử lý ảnh
2. NỘI DUNG
2.1 Tìm hiểu về Lọc
Trước tiên, bộ lọc là một quá trình xử lý nhằm loạị bỏ những gì không có giá trị
hoặc không quan tâm đến và giữ lại những gì có giá trị sử dụng.
Ví dụ trong xử lý ảnh: Bộ lọc làm mượt được sử dụng để làm mờ và giảm nhiễu

Giá trị ước lượng tối ưu: x^3.
• Lọc Kalman: “hộp đen” tính các hệ số α và β.
Một ước lượng thật sự sử dụng lọc Kalman cũng bao gồm các phần trên.
Như vậy đến đây chúng ta có được các khái niệm cần thiết để bước vào xây dựng
lọc Kalman và lọc Kalman - Bucy (thực chất là tìm và giải các phương trình để
tính toán các tham số cho ước lượng tối ưu).
2.3.2 Lọc tối ưu cho trường hợp rời rạc
Cho mô hình trạng thái và quan sát như sau:
(Trạng thái) xk = Φk−1xk−1 + Bk−1uk−1 + wk−1, (2.1)
(Quan sát) zk = Hkxk + rk. (2.2)
Trong các phương trình trên Φ, B và H là các ma trận được biết; k là chỉ số thời
gian, x được gọi là trạng thái của hệ thống; u là một đầu vào được biết đến của hệ
thống; z là đo đầu ra và w, r là các ồn trắng. Biến w được gọi là nhiễu hệ thống và r
được gọi là nhiễu đo lường.
Vector x chứa tất cả các thông tin về tình trạng hiện tại của hệ thống, nhưng chúng
ta không thể đo x trực tiếp. Thay vào đó chúng ta đo lường z, đó là một hàm của x
và nó là bị nhiễu do ồn trắng r. Ở đây ta giả sử w, r là không tương quan với x ; wk
và rk là các biến ngẫu nhiên độc lập và được giả sử là tuân theo phân phối Gauss
với trung bình bằng 0 và ma trận hiệp phương sai lần lượt là Qk và Rk.
wk ∼ N(0, Qk),
rk ∼ N(0, Rk)
Bây giờ, chúng ta sẽ đi thiết lập ước lượng tốt nhất cho x dựa trên mô hình trạng
thái và quan sát trên. Giả sử chúng ta có ước lượng tiên nghiệm và hậu nghiệm của
giá trị x ở thời điểm k là: x^k(−) và x^k(+). Giá trị tiên nghiệm là giá trị thu được
từ hệ thống còn giá trị hậu nghiệm là giá trị thu được sau khi đã kết hợp với giá trị
đo đạc (Khi đó sai số của các ước đoán tiên nghiệm và hậu nghiệm là:
5
εk(−) = xk – x^(−),
εk(+) = xk – x^k(+).
Ma trận hiệp phương sai của hai sai số trên lần lượt được tính theo công thức:

Ta lại có
ta có thể tiếp tục biến đổi như sau:
Bây giờ chúng ta đi xem xét từng số hạng trong tổng trên:
1. Số hạng thứ nhất:
2. Số hạng thứ hai, ta lưu ý thêm giữa tín hiệu và nhiễu là không tương quan
3. Ở số hạng thứ ba, ta có thể biến đổi như sau:
8
4. Số hạng thứ tư giống như cách chuyển đổi ở số hạng thứ ba:
Khi đó, biểu thức (2.9) có thể viết dưới dạng:
Kết hợp (2.8), chúng ta nhận được biểu thức cuối cùng:
Như vậy bằng cách sử dụng hiệp phương sai của sai số ước lượng tiên nghiệm kết
hợp với quan sát (giá trị đo được) ta có hiệp phương sai của sai số ước lượng hậu
nghiệm.
Dựa vào phương trình trạng thái, ta dự đoán ước lượng tiên nghiệm của vecto trạng
thái tại thời điểm tiếp theo là:
và một ước lượng tiên nghiệm của hiệp phương sai của sai số:
Sau đó quy trình cập nhật được lặp đi lặp lại.
2.3.3 Thuật toán cho lọc Kalman
Như vậy, lọc Kalman gồm hai giai đoạn chuẩn bị và năm giai đoạn chính.
Hai giai đoạn chuẩn bị:
9
1. Đối với thời gian đầu ước lượng tiên nghiệm của trạng thái là xb0(−) và hiệp
phương sai P0(−) xem như được xác định.
2. Sự đổi mới của vecto trạng thái được thực hiện theo công thức:
và ma trận hiệp phương sai của sai số ước lượng được cập nhật thu được là:
trong đó:
Năm giai đoạn chính của lọc Kalman:
1. Ước lượng tiên nghiệm tại thời điểm k+1 được ngoại suy (dự đoán) bởi công
thức:
2. Tiếp theo ma trận hiệp phương sai của sai số của ước lượng tiên nghiệm tại thời

Kết quả đầu ra có thể là một ảnh tốt hơn hoặc kết luận
2.3.2 Những vấn đề trong ứng dụng bộ lọc Kalman trong xử lý ảnh
Bộ lọc Kalman có rất nhiều công dụng, bao gồm cả các ứng dụng trong kiểm
soát, chuyển hướng, thị giác máy tính, xử lý ảnh, và tài chính….
2.3.2.1 Ứng dụng trong thị giác máy tính phát hiện đối tượng trong ảnh
Đối tượng được phân đoạn bằng cách sử dụng các kỹ thuật xử lý hình ảnh.
11
Ảnh tốt hơn
Xử lý ảnh
Ảnh
Kết luận
Bộ lọc Kalman được sử dụng để thực hiện hiệu quả hơn của các đối tượng.
Các bước phát hiện đối tượng:
Bước 1: - Khởi tạo (k = 0) Tìm hiểu các vị trí đối tượng và khỏi tạo biến khả
năng chịu lỗi (P0 = 1).
Bước 2: - Dự đoán (k> 0) dự đoán vị trí tương đối của các đối tượng ^ xk_ được
xem là sử dụng làm trung tâm tìm kiếm đối tượng.
Bước 3: - Sự hiểu chỉnh (k> 0) Phương pháp đo lường mang lại sự hiểu chỉnh
trạng thái để tìm ra ^xk
Lợi thế là chịu đựng các bao vây nhỏ
Bất cứ khi nào đối tượng bị tắc sẽ bị bỏ qua các hiệu chỉnh đo lường và vẫn tiếp
tục dự đoán cho đến khi nhận được đối tượng một lần nữa ở khu vực cục bộ.
2.3.2.2 Ứng dụng trong thị giác máy tính dự đoán vị trí tưởng lai của đối tượng
Tìm cách đối tượng đang di chuyển trong một chuỗi hình ảnh:
12
Sự di chuyển trong không gian
Sự di chuyển trong mặt phẳng ảnh
Lựa chọn trong chụp ảnh:
Camera tĩnh, vật thể di động
Di chuyển máy ảnh, vật thể di động

Sự không chắc chắn của các tham số mô hình
Sự giới hạn độ chính xác của độ đo
Các giá trị có thể thay đổi giữa các phép đo
Xác định một khu vực mà đối tượng có thể là làm trung tâm vị trí tiên đoán s ± Ds
-Cập nhật mô hình:
Là các đối tượng ở vị trí tiên đoán?
Đúng ->Không có thay đổi mô hình
Sai -> Mô hình cần được cập nhật. Bộ lọc Kalman là một giải pháp
-Bộ lọc kalman: Phương pháp toán học chính xá của việc sử dụng các phép đo
không chắc chắn để cập nhật một mô hình
Độ đo y [k] Ví dụ các vị trí
Trạng thái hệ thống x [k] :Vị trí, vận tốc của đối tượng
Ma trận quan sát H [k] :liên quan tới trang thái độ đo
Sự phát triển ma trận A[k]
Độ đo nhiễu: n[k]
Xử lý nhiễu v[k]
15
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
k
ky
ky
kx
kx


+=


0
0
1
0
0
0
0
1
Kỳ vọng trạng thái hệ thống: liên quan tới thởi điểm k và k+1
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
k
kky
kky
kkx
kkx
T
T



=












+
+
+
+
+=+
|
|
|
|
1000
100
0010
001
|1
ˆ

kkkkkkk
|1
ˆ
1|1
|11|1
ˆ
1|1
ˆ
+−+=+∆
+∆+++=++
yyy
yGxx
G là Kalman Gain
Xuất phát từ A, H, v, n
[ ]
[ ]
( )
[ ] [ ] [ ]
covariancesystem
|||1
|
1
|
=
−=+
+
−
=
C
GHCCC