Sở Giáo dục và đàotạo
thanh hoá
Đề dự bị
Kỳ thi chọn đội tuyển HSG lớp 12 THPT
Năm học 2007-2008
Môn thi: Toán
Ngày thi: 02/11/2007
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề )
Đề này có 04 câu, gồm 1 trang.
Câu 1: (5 điểm)
Tổng của m số nguyên dơng chẵn khác nhau và của n số nguyên dơng lẻ khác
nhau bằng 2006. Tìm giá trị lớn nhất của 3m +4n.
Câu 2: (5 điểm)
Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn xy + yz +zx = 1. Chứng minh
rằng:
1 1 1
2 2
x y y z z x
+ + +
+ + +
Câu 3: (5 điểm)
Có tồn tại hay không một đa thức
[ ]
( )f x Z x
mà
(2007) 2006f =
và
(2005) 2003f =
Câu 4: (5 điểm)
Cho tam giác ABC có các góc nhọn, đờng tròn bàng tiếp góc C là
1

Câu 5: (5 điểm)
Cho
*
n N
là các số nguyên
0 1
, , ,
n
a a a
thoả mãn điều kiện
0 1
1 2 3
n
a a a n < < < <
.
Chứng minh rằng tồn tại 4 số
, , ,
i j k l
a a a a
đôi một khác nhau sao cho:
i j k l
a a a a+ = +
.
Câu 6: (5 điểm)
Với n là số nguyên dơng cho trớc, ngời ta xác định hàm số:
* *
:f N N
cho
bởi công thức:
2

[ ]
, , 1003; 2006x y z
.
Câu 8: (5 điểm)
Cho tam giác ABC có các góc nhọn, có các đờng cao BB, CC cắt nhau tại H.
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và AC, gọi S là giao điểm của MN
và BC. Chứng minh rằng : OH vuông góc với AS ,biết rằng O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Hết
Đáp án dự bị vòng 1
Câu 1( 5 điểm)
Ta có 1996

(2 +4 + + 2m ) + ( 1+ 3 + 5 + + 2n 1 )
=
2
( 1)m m n
+ +
2 2
1 1
( )
2 4
m n
= + +
Do vậy
2 2
1
( ) 1996, 25
2
m n

=
2 2
2 2
1 2 2 1 1 2 2 1
1 1
x y z x x a x
x x
y z a
+ + + + + + +
+ = +
+ +
+
Mặt khác
2 2
'
2 3 2
1
( ) 0
( 1) (2 2 1)
yz x x x
f x
x x a x
+
=
+ + + +
Suy ra f(x) là hàm nghịch biến. Từ đó ta có
2
2
2
2 2

Giả sử
1
1 1 0
( ) ; ; 0,1, ,
n n
n n i
f x a x a x a x a a Z i n


= + + + + =
Ta có
1
( 2007) ( 2005) (2007 2005 ) (2007 2005)
n n
n
f f a a
= + +
chia hết cho 2
Mặt khác
( 2007) (2005) 3f f
=
không chia hết cho 2. Suy ra không tồn tại đa thức
f(x)
Câu 4(5 điểm)
Kẻ PM

BC ta có
ã
ã
ã

Kẻ AM

BC
1 1
2 2
.tan tan
'
2 2
(2)
'
.tan tan
2 2
C C
p
AO O GM E
B B
M F AO O H
p
= = = =
Từ (1) và (2) suy ra
'
'
'
ME M E
M M PA BC
MF M F
=
(đpcm)
3
A

0 1
; ; ;
n
a a a
và
0 1 1
; ; ;
n n n n
a a a a a a


đều khác nhau và nhỏ hơn
2n 3 nên tồn tại
;
i n j k n l i j k l
a a a a a a a a a a= = + = +
đpcm
Câu6 (5 điểm)
Vì
[ ]
*
A A k N
ta có
2
2
4 2
2
200
200 0
( 100) 10000 (1)

201 0m m n + <
hay
2
2 2
201
( 100,5)
4
m n + <
.
Tức là
2
2 2
201
( 100,5) (2)
4
n m<
Ta cần xét tất cả các giá trị của n có thể lấy đợc do đó cần chọn sao cho vế phải của
(2) càng lớn càng tốt và
2 2
( 100,5)m
càng nhỏ càng tốt với
*
m N
, hơn nữa nếu
chọn m = 10 thì (2) trở thành
2
201 1
10100
4 4
n < =

h h k h
+ + + +

+
Bất đẳng thức trên là đúng
Lại có
3 3 2
1 2 ( 1)( 9)
5 0
2 2
5
k k k k
k k
A
+ + +
=

Vậy A = 5 khi x = y = 1003 , z = 2006
Câu 8(5 điểm)
Do
ã
ã
ã
ã
ã
0 0 0
1 1 1 1
90 90 90MC B HC B HBC ONM MNA= = = =
suy ra tứ giác
1 1