ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
(Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6,0 điểm) Cho hàm số y =
mx
mmxmmx
+
+4+)1+(+
322
1. Với m = -1. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,0đ).
b, Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm sao cho khoảng
cách giữa chúng nhỏ nhất (2đ).
2. Tìm m để đồ thị hàm số có tương ứng một điểm cực trị thuộc góc phần tư (II)
và một điểm cực trị thuộc góc phần tư (IV) của mặt phẳng toạ độ (2,0đ).
Câu 2: (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: Sin
3
x + Cos
3
x = 2 - Sin
4
x (1,0đ)
2. Cho k, l, m là độ dài các đường trung tuyến của  ABC,
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp  đó:
CMR: k + l + m ≤
2
9R
(2,0đ).
Câu 3: (3,0 điểm): Cho (E):
2
2
a
x

nn
vu
v
n+1
=
nn
vu .
(n = 1, 2, 3, ) C/m Lim
n

+
∞
U
n
= Lim
n

+
∞
V
n
(2,0đ)
2. Cho m > 0 a, b, c thoả mãn:
2+m
a
+
1+m
b
+
m

M
1
(x
1
,y
1
); M
2
(x
2
,y
2
) x
1
= 1 - α; x
2
= 1 + β α, β > 0
⇒ y
1
= -α -
α
4
; y
2
= -β -
β
4
d
2
= M

2
); M
2
(1 +
4
8
; -
4
8
- 2
4
2
)
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
2. Viết được hàm số có 2 điểm cự trị nên phương trình y’
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
< x
2
góc (II) và góc (IV) nằm về hai phía của oy ⇒ x
1
< 0 < x
2
⇒ mξ(0) < 0 với ξ(x) = mx

0.25đ
0.25đ
Câu 2 3,00đ a. Nhận xét: Sin
3
x + Cos
3
x ≤ Sin
2
+ Cos
2
x = 1
2 - Sin
4
x ≥ 1
⇔ pt đã cho ⇔
1 =Sin4x
1 =Cos3x +Sin3x
0.25đ
0.25đ
0.25đ
⇒ x =
2
π
+ 2kπ
0.25đ
b. Giả sử: k, l, m là các trung tuyến kẻ từ A, B, C thì
k
2
+ l
2

2
(Sin
2
A + Sin
2
B + Sin
2
C)
mà: 4(Sin
2
A + Sin
2
B + Sin
2
C) = 2(1 - Cos2A + 1- Cos2B)
+ 4(1 - Cos
2
C). = 8 + 4CosCCos(A-B) - 4Cos
2
C = 8 -
Cos
2
(A-B) - [2CosC - Cos(A-B)] ≤ 9
⇒
3
m + l + k
222
≤
4
9R

1
=
2
2
B+A
C2
2 cạnh còn lại của Q có pt: Bx - Ay ± D = 0 (A
2
a
2
+ B
2
b
2
= D
2
)
Khoảng cánh giữa chúng là: d
2
=
2
2
B+A
D2
⇒ S
Q
=
2
2
B+A

) ≤
2
)AB+Ba+bB+aA
2222222
=
4
)b+)(aB+(A
2222
⇒ T
min
=
4
)b+(a
222
⇔ S
min
⇔ Q là vuông
Lại có: theo Bunlia Copxki cho 2 dãy (Aa,Bb); (bA,aB)
⇒ (A
2
a
2
+ B
2
b
2
)(b
2
A
2

⇔
A = 0
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,50đ
0,25đ
0,50đ
T
min
= a
2
b
2
⇔ ⇔ Q có các cạnh | | ox, oy
B = 0
Câu 4 4,00đ
a. Coi 0<b<a bằng qui nạp C/m ∀n:
V
n
< V
n+1
< U
n+1
< U
n

nn
nn
nn
⇒ U
n+1
-V
n+1
=
2
)V+U)(V-U(
<
2
)V-U(
nnnn
2
nn
Hay 0 < U
n+1
-V
n+1
<
2
V-U
nn
(*)
Lại có U
n
giảm bị chặn dưới
V
n

∈(0,1)
a≠0 f(0) = c
2)+m(m
c
-=)
2+m
1+m
(f
2)+m(m
c
-=)
2+m
1+m
(f)0(f
2
≤ 0
c≠0 ⇒ ∃ x ∈(0,
2+m
1+m
) < (0,1)
c=0 thì f(x) = ax
2
+ bx có nghiệm x =
2+m
1+m
=
a
b
-
∈(0,1)

2
= MN.MD ⇒ MN =
MD
AM
2

⇒ MN =
x
x-a
22
vì M ∈ξ
⇒ 0 < AM ≤ AO ⇒ 0 < a
2
- x
2
≤
2
a
2
⇒
2
2a
<x<a
Tìm k>0: a
2
- x
2
= kx (1)

2

3
1
BN S
DAN
AN = a
1 -
x
a
2
2
BN = a
2
2
x
a
-2

V =
1) -
x
a
)(
x
a
-2(a
6
1
2
2
2

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ