PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
HUYỆN ĐAM RÔNG Năm học 2009 – 2010
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1 đ) Chứng minh rằng nếu x + y + z + t = 0 thì: x
3
+ y
3
+ z
3
+ t
3
= 3(xy – zt)(z + t)
Câu 2: (1đ) Cho
ABC∆
vuông tại A. Chứng minh tg
·
2
ABC
=
AC
AB BC+
Câu 3: (1,5 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
Câu 4: (1,5 đ) Cho hai đường thẳng (d
1
): y = 4x +1 và (d
2
): y = -2x +3.
Viết phương trình đường thẳng (d
3

10. 5 9 45 4
25 3
x
x x
−
+ − − − =
Câu 7: (1 đ) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của
ABC∆
. Chứng minh bất đẳng thức:
abc
≥
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0
Câu 8: (2đ) Cho đường tròn (O) có bán kính OA, dây BC
⊥
OA tại trung điểm M của OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì ? Vì sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE, biết
OB = R.
Câu 9: (3 đ) Cho biểu thức
3 2
3( 1)
1
x
A
x x x
+
=
+ + +
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.

a) Chứng minh: Q là trung điểm của trung tuyến CN.
b) Chứng minh: PQ // AC
c) Suy ra PQ =
1
2
MN và PQ =
3
4
DE
*** Hết ***
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD – ĐT ĐAM RÔNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm học 2009 - 2010
GỢI Ý CHẤM ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 9

Câu 1 (1đ) : Từ x + y + z + t = 0 ==> x + y = - (z + t) (0,25đ)
Nâng lên luỹ thừa bậc ba 2 vế và biến đổi được (0,25đ)
Thay x+y = -(z+t) vào biểu thức trên (0,25đ)
x
3
+y
3
+

z
3
+ t
3
= 3(z+t)(xy-zt) (0,25đ)
Câu 2 (1đ) :

DC BC AB BC AB BC AB BC
+
= ⇒ = = =
+ +

DA AB DA DC DA DC AC
DC BC AB BC AB BC AB BC
+
= ⇒ = = =
+ +
(2)
(0,25đ)
Từ (1) và (2) tg
·
2
ABC
=
AC
AB BC+
(0,25đ)
Câu 3: (1,5 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
g(x) = (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) - 24 (0,25đ)
= (x
2
+5x+4)(x
2
+5x+6) – 24 (0,25đ)
Đặt y = x
2

3
) cắt (d
1
) tại điểm có tung độ bằng 1
TL:
(d1) có a
1
= 4 ; b
1
= 1
(d2) có a
2
= -2; b
2
= 3
Ptđt (d
3
) có dạng y = a
3
.x + b
3
Ta có (d
3
)
⊥
(d
2
)

3 2

Vậy N (0; 1)
Mặt khác : N thuộc (d
3
) nên toạ độ của N cũng nghiệm đúng PT(d
3
)
1 = a
3
.0 + b
3

⇔
b
3
= 1 (2) (0,25đ)
Từ (1) và (2) ta được PTĐT (d
3
) là y =
1
1
2
x +
(0,25đ)
Câu 5: (2 đ) Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh các bất
đẳng thức sau:
a) MA + MB + MC + MD >
1
2
(AB + BC + CD + DA)
b) MA + MB + MC + MD

M AC∈
và
M BD∈
(0,5đ)
Tức là M trùng với giao điểm O của 2 đường chéo AC và BD.
Câu 6: (2 đ) Giải phương trình:
a)
1 2 3 4
5
2000 2001 2002 2003 2004
x x x x x+ + + +
+ + + + =
b)
5 1
10. 5 9 45 4
25 3
x
x x
−
+ − − − =
TL:
a) PT đã cho tương đương:
1 2 3 4
1 1 1 1 1 0
2000 2001 2002 2003 2004
x x x x x+ + + +
         
− + − + − + − + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         

x
x
x x
− ≥



−
+ − − − =




(0,25đ)
5
9
9
x
x
x
≥

⇔ ⇔ =

=

(0,5đ)
Vậy S ={9} (0,25đ)
Câu 7: (1 đ) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của
ABC∆

( ).( ).( ) 0abc a b c b c a a c b⇒ ≥ + − + − + − >
Câu 8: Vẽ hình đúng (0,25 đ)
a) Theo giả thiết MO = MA (1)
BC
⊥
OA nên theo định lý đk và dây ta có : MB = MC (2) (0,25 đ)
Từ (1) và (2) suy ra OBAC là hình bình hành
Vì OA
⊥
OB
=> OBAC là hình thoi (0,5 đ)
b) Do BE là tiếp tuyến của (O) nên BE
⊥
OB
=>
OBE
∆
vuông tại B (0,25 đ)
Vì M là trung điểm của OA => OM =
1
2
R (0,25 đ)
Mặt khác OB
2
= OM.OE (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
=>
2 2
2
1
2

≥
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.
c) Tìm giá trị lớn nhất của A.
TL:
a) Ta có :
2
3( 1)
( 1) ( 1)
x
A
x x x
+
=
+ + +
(0, 5đ)

2
3( 1)
( 1).( 1)
x
x x
+
=
+ +
(0,25đ)

2
3
1x

2
3
1x
=
+
vì
2
1 1,x x R+ ≥ ∀ ∈
(0,25đ)
Nên A
3, x R≤ ∀ ∈
(0,25đ)
Vậy A đạy giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = 0 (0,5đ)
Câu 10: (2 đ) Cho các hàm số sau:
(d
1
): y = 2x + 4
(d
2
): y = x – 3
(d
3
): y = (m + 1).x – 5
a) Xác định giá trị của m để ba đường thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
) đồng quy tại một điểm.

= x
A
- 3 y
A
= x
A
– 3 y
A
= -10
 Tọa độ của A là A(-7;-10).
Vì A(-7;-10)
∈
(d
3
) nên (d
3
): y = (m + 1)x – 5
 -10 = (m + 1)(-7) – 5 -10 = -7m – 7 – 5
7m = -2 (0,5đ)
 m =
7
2
−
 Vậy, m =
7
2
−
thì (d
1
), (d

GC
GQ
(0,25đ)
hay
ACPQ
GC
GQ
GA
GP
//=>=
(0,25đ)
c. PQ//AC
Mà MN//AC => PQ//MN (0,25đ)
Cho ta :
MNPQ
MN
PQ
AMAM
GM
GP
MN
PQ
2
1
2
1
3
1
:
6

4
3
4
3
==>=
(0,25đ)
Hết