UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2005 - 2006
Môn : Toán (Vòng 1)
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (8 điểm)
Cho phơng trình
2 2
2 2 2 0 (1).x mx m + =
.
1. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt.
2. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức
3 3
1 2
5
2
x x+ =
.
3. Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của
m
để
nghiệm dơng của phơng trình đạt giá trị lớn nhất.

2
' 4 0
2
0
2
0
m
m
P
S m

= >



= >


= >


0.5
2
2 2 2
0
m
m m
m

<

2 2
m
m m m m


= + =0,5
( )
( )
2
1 2,3
1 21
1 5 0 1;
2
m m m m m

+ = = =
m
0,5
Ta có:
2
1 21 3 21 1 21
2 0 2
2 2 2
x
+
= > = <
3

0 2 2 (**)
2
0
m
m
P m
S m

=



=


= >


0,50
Khi đó 2 nghiệm của phơng trình là:
( )
2 2
1 2 1 2
4 4
; 0 2;2
2 2
m m m m
x x x x m
+


Theo bất đẳng thức Cô-si:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 2 4 2 4 4m m m m m m+
0,50
Suy ra:
2
2 2
2 2x x
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
2 2
4 2 2;2m m m

= =

.
0,5
Vậy nghiệm dơng của phơng trình đạt giá trị lớn nhất là
2 2khi m =
0,5
2.
(4,0 điểm)
( )
2
2 2
2
2 2
4 0
4 3 4





=

+ =


=


(3)
0,5
1,0
Gii phng trỡnh theo t, ta cú:
1
1 13
0
2
t

= <
(loại);
2
1 13
0
2
t
+


=

= + =



= +


Vậy: phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
1,2
9 13
2
2
x

=
1,0
0,5
3.
8,0
3.1
+ Đặt
(0 )AM x x c=
.
Ta có:

MN AM ax
MN

ab ab a b
+ +

> >
ữ

áp dụng, ta có:
2
2
( )
2 4
x c x c
x c x
+

=
ữ

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
2
c
x c x x= =
.
Suy ra:
2
3 3
2 4 8
a c ac
S

vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC). Dựng tia BF' cắt AC tại F. Dựng hình
chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh tơng tự trên, ta có EF =
FG, suy ra EFGH là hình vuông. 1,0
+ Ta có:
0
' 1
cot 60
' '
3
BH
g
E H
= =
;
ã
' ' ' ' ' 1
cot ' 1 1
' ' ' ' ' '
3
BG BH H G BH
g F BC
F G F G E H
+
= = = + = +
.
Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, cắt AC tại một điểm F duy
nhất.
Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở trên cạnh
BC, lý luận tơng tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E.
Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất.

Suy ra diện tích hình vuông EFGH là:
( )
2 2
2
2
3
2 3
a c
S EF
a c
= =
+
1,0
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005
Môn : Toán (Vòng 2)
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (7 điểm)
1. Giải hệ phơng trình:
4
4
3 4
3 4
x y
y x

+ =

+ =


ờng tròn (O
1
). Tính bán kính của các đờng tròn (O
1
), (O
2
), (O
3
), (O
4
) theo R.
Hết
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005
Môn : toán (Vòng 2)
Đáp án và thang điểm:
Bµi ý Néi dung §iÓm
1. 7,0
1.1
(4,0 ®iÓm)
4
4
3 4
3 4
x y
y x

+ =

+ =

1,0
( ) ( )
( )
2 2
( ) 4 0b x y x y x y
 
⇔ − + + + =
 
0x y x y⇔ − = ⇔ =

(v×
3
, 0
4
x y ≥ >
nªn
( )
( )
2 2
4 0x y x y+ + + >
).
1,0
Thay vµo (a):
( )
4 4 4
3 4 4 3 0 1 4 1 0x y x x x x+ = ⇔ − + = ⇔ − − − =
( )
( )
( )
( )

0,50
Ta cã
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c b c a a b b c c a
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
 
− − −
+ + − + + = + +
 ÷
+ + + + + + + + +
 
( ) ( ) ( )
0a b b c c a= − + − + − =
0,50
Suy ra:
2 2 2 2 2 2
a b c b c a
a b b c c a a b b c c a
+ + = + +
+ + + + + +
Do ®ã:
2 2 2 2 2 2
a b c c a b
a b b c c a a b b c c a
+ + = + +
+ + + + + +
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
0
0 0
0
a b
a b b c c a b c
c a

=

+ + = =


=

2 2 2
| | | | | |a b c a b c = = = =
1,0
2.
6,0
2.1
(4,0 điểm)
Theo giả thiết diện tích của hình vuông có dạng
( )
2
0,S abbb k k k= = > Z

chỉ có thể là 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 không thoả
điều kiện bài toán.
Với y = 2:
2 2
100 40 4k x x= + +
. Khi đó x chỉ có thể là 6 thì chữ số hàng chục
của k
2
mới là 4, suy ra
2
3600 244 3844k abbb= + =
.
Với y = 4; 6:
2
16;36y =
, khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ
số hàng chục của k
2
phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6, nghĩa là
2
k abbb
.
Với y = 8: y
2
= 64;
2 2
100 160 64k x x= + +
, khi đó x chỉ có thể là 3 hoặc 8 thì
chữ số hàng chục của k
2

còn lại là A và C (cùng là phái nữ). 0,5
3. 7,0
+ Gọi
r
là độ dài bán kính đ-
ờng tròn (O
1
). Ta có:
ACD
S pr

=
( )
2
1
2
2
R AC CD r = +
( )
2
2 1R R r = +
1 2
R
r =
+
1,0
+ Đờng tròn (O
2
) tiếp xúc với OB và OD nên tâm O
2

+ Vậy: Bán kính của (O
2
) cũng bằng
1 2
R
r =
+
.
2,0
+ Hai hình quạt OBC và OBD đối xứng với nhau qua AB nên (O
3
) cũng bằng
(O
2
), nên bán kính của (O
3
) cũng bằng
1 2
R
r =
+
.
1,0
+ §êng trßn (O
4
) cã hai trêng hîp:
a) Tr êng hîp 1: (O
4
) ë bªn tr¸i (O
1

CK CO O K
+ −
+
= − = − =
+ + +
(
)
( )
0
1
2
4 2 2 1
1
22 30 '
1 2
1 2
R
O OKF
tg KF
KC CO
+ −
= = = ⇒ =
+
+
(
)
( )
2
3
4 2 2 1

):
Khi ®ã: K' lµ tiÕp ®iÓm cña 2 ®êng trßn, tiÕp tuyÕn chung c¾t CA vµ CD t¹i E'
vµ F', CD tiÕp xóc víi (O'
4
) t¹i H.
(
)
1 1
4 2 2 1
4 2 2
' '
1 2 1 2 1 2
R
R R
CK CO O K
+ +
+
= + = + =
+ + +
(
)
( )
0
2
4 2 2 1
' ' ' ' 22 30'
1 2
R
F H K F CK tg
+ +

1 2 1 2
R R
CH CF F H
+ + + + +
= + = +
+ +
(
)
( )
2
2
4 2 2 1
1 2
R
CH
+ +
=
+
Suy ra: B¸n kÝnh cña ®êng trßn (O'
4
) lµ:

(
)
( )
2
' ' 0
4 4
3
4 2 2 1