UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2006 - 2007
Môn : Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 02 trang
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức:
3
3
6 4 3 1 3 3
3
3 2 3 4 1 3
3 3 8
x x x
A x
x x x
x+ +
=
ữ
ữ
ữ
ữ
+ + +
1. Rút gọn biểu thức
A

để
d
cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ dơng.
3. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình
4 2
4 2 0x x m + =
có 4 nghiệm phân
biệt. Tính các nghiệm đó theo
m
.
Bài 3: (3,5 điểm)
1. Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của
hai chữ số của nó có phân số tối giản là
16
9
và hiệu của số cần tìm với số có
cùng các chữ số với nó nhng viết theo thứ tự ngợc lại bằng 27.
2. Hãy tìm các chữ số
, , ,a b c d
biết rằng các số
, , ,a ad cd abcd
là các số chính
phơng.
Bài 4: (4,5 điểm)
Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d không đi qua O cắt đờng tròn (O) tại
hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đờng thẳng d và ở ngoài đờng tròn (O)
vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đờng tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm).
1. Chứng minh rằng

M
3
6
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2006 - 2007
Môn : toán
Đáp án và thang điểm:
Bài 1 ý Nội dung Điểm
(2 điểm)
1. 1.1
(2 đ)
3
3
6 4 3 1 3 3
3
3 2 3 4 1 3
3 3 8
x x x
A x
x x x
x+ +
=
ữ
ữ
ữ
ữ
+ + +


+
+
ữ ữ
=
ữ ữ
+ + +
ữ ữ


( )
( ) ( )
( )
6 4 3 2 3
3 3 1 3
3 2 3 2 3 4
x x x
A x x x
x x x

+
ữ
= +
ữ
+ +

( ) ( )
( )
3 4 2 3
3 2 3 1

0,25
0,50
1.2
(1,0
đ)
( ) ( ) ( )
2 2
3 1 3 2 2 3 2 1
1
3
3 2 3 2 3 2
x x x
A x
x x x
+ +
= = = +

Với
x
là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì
3 3 3 9
3 2 1 3
3 1
3 1
x x
x x
x
x

= =

thì phơng trình (1) có nghiệm kép, tơng đơng với:
' 4 2 0 2m m = = =
Khi đó đờng thẳng d là tiếp tuyến của (P) có phơng trình
2 2y x= +
Vẽ đúng tiếp tuyến
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
2.2
(1,25 đ)
+ Vẽ đúng (P)
+ Đờng thẳng
: 2d y x m= +
song song
với đờng thẳng
2 2y x= +
và cắt trục
Oy tại điểm B(0; m).
+ Dựa vào đồ thị ta có: Để d cắt (P) tại
hai điểm có hoành độ dơng thì
0 2m
< <
0,25
0,50
0,50
2.3
(1,25đ)
4 2

Theo giả thiết:
( )
10 16
3
9
90 9 16
10 10 27
x y
x y
xy
x y xy
x y y x
+

=
=




+ =


+ + =

Giải hệ ta có
1 2
3
9;
16

0,25
cd
là số chính phơng nên
cd
chỉ có thể là 16, hoặc 36, hoặc 49. Nên Nên
c
chỉ có thể là 1, hoặc 3, hoặc 4.
Nếu
1a
=
thì
6d
=
và
1c
=
hoặc
3c
=
, khi đó
1 16 1 36abcd b hay b=
và
( ) ( )
2 2
1 6 4 6bc x hay x=
.
Ta có:
2 2 2 2 2
26 676; 34 1156; 36 1296; 44 1936; 46 2126= = = = =
. Chỉ chọn

4.1
(1,25 đ)
Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Chứng minh đợc 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng.
Suy ra:
2 2
.
MA MN
MN MP MA MB
MN MB
= = =
0,25
0,50
0,50
4.2
(1,25 đ)
Để MNOP là hình vuông thì đờng chéo
2 2OM ON R= =
Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đờng tròn tâm O đi qua điểm
D, cắt (d) tại M.
Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có
2 2
MN MO ON R= =
, nên Tam giác ONM vuông cân tại N. Tơng tự, tam giác OPM cũng vuông
cân tại P. Do đó MNOP là hình vuông.
Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì
2OM R R= >
0,25
0,25
0,50

ằ
ằ
NF FP=
(ứng với góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng
nhau).
+ Suy ra F ở trên OM, do đó F là tâm đờng tròng nội tiếp tam giác MNP.
+ Vậy khi M đi động trên (d) thì tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MNP chạy
trên đờng tròn (O).
0,5
0,25
0,25
5
(2,0 đ)

+ Đờng thẳng BC có phơng trình dạng:
2y ax= +
(đi qua B(0; 2) và qua
C(-3; 0) nên
2
3
a =
. Do đó phơng trình của đờng thẳng BC là:
2
2
3
y x= +
.
+ Tam giác ADC cân tại D (gt), nên
ã
ã

d y x= +
.
+ Phơng trình đờng thẳng BE:
2y ax= +
. BE đi qua E(m; 0) nên
2
a
m
=
khi
0m
; còn nếu
0m =
thì
BE Oy
. Do đó phơng trình của BE là:
2
2y x
m
= +
(
0m
) và
0x =
(m = 0).
+ Phơng trình cho hoành độ giao điểm G của BE và AD là:
2 2 2 2
2 ;
3 3 3
m

3 3
9
m
a b
a
m
ma m
m
b
b
m m
m


+ =
=





+ =

=
+



'
9
3 '
6( 1)
' 1
'
2
9
m
a b
a
m
m a
m
b m
b
m


+ =

=






+ =



ữ

, hệ số góc của CG là
2
9
a =
; đờng
thẳng d:
2
3
y x=
, tọa độ điểm
3
; 1
2
F


ữ

, hệ số góc của CF là
2
'
9
a =
, bài
toán vẫn còn đúng.
0,25
6

0,25
0,25
0,25
0,25
5
+ Cã 6 häc sinh kh«ng ®¹t yªu cÇu nªn:
( ) ( ) ( )
111 6 70 49 32 65 49 34 62 34 32x x x− = − − − + − − − + − − − +

( ) ( )
49 32 34x x+ + − + −
82 105 23x x⇔ + = ⇔ =
VËy cã 23 häc sinh giái c¶ 3 m«n
0,50
0,25
6