LƯỢNG GIÁCCHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC

( )
()
()
()
++= ≠
++= ≠
+== ≠
++=
2
2
2
2
asin u bsinu c 0 a 0
acos u bcosu c 0 a 0
atg u btgu c 0 a 0
a cot g u b cot gu c 0 a 0≠Cách giải:
Đặt : hay với
tsinu
=
tcosu=
t1≤


+
⎛⎞
+=+
⎜⎟
+
⎝⎠

Điều kiện:
1
sin 2x
2
≠−

Ta có:
( ) ( )
33
sin 3x cos 3x 3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x+= − + −

()
()
()
()
()()
33
22
3cosx sinx 4cos x sin x
cos x sin x 3 4 cos x cos x sin x sin x
cos x sin x 1 2sin 2x
=− − + −
⎡⎤

⎡
=
⎢
⇔
⎢
=
⎢
⎣

x
3
π
⇔=±+ πk2
(nhận do
31
sin 2x
22
= ±≠−
)
Do
( )
x0,2∈π
nên
5
xx
33
π π
=∨=
1
cos 2x vô nghiệm
4
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣

()
sin 2x 0
k
2x k x k Z
2
⇔=
π
⇔=π⇔= ∈

Cách 2: (**)
()
1
cos8x cos 4x 1 0
2
⇔+−=

()
2

⎢
==−
⎣
Cách 4:
+−=⇔+
cos 8x cos 4x 2 0 cos 8x cos 4x 2
=

⇔ ==
cos 8x cos 4x 1
⇔ =
cos 4x 1Bài 58:
(Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005)
Giải phương trình:
44
3
cos x sin x cos x sin 3x 0
44
ππ
⎛⎞⎛ ⎞
++− −−
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
2
=
22 22
⇔− − − + − =

2
sin 2x sin 2x 2 0⇔+−

=
()
sin 2x 1
sin 2x 2 loại
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣

π
⇔=+π∈
π
⇔=+π∈


2x k2 , k
2
xk,k
4Bài 59: (Đề th ïc khối B, năm 2004) i tuyển sinh Đại ho

2
3sin x
5sinx 2
1sinx
⇔−=
+

2
2sin x 3sinx 2 0
⇔+−

=
()
()
1
sin x nhận do sin x 1
2
sin x 2 vô nghiệm
⎡
=≠
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣

±
()
5

2 3 sin x cos x 4 sin x cos x
sin x cos x
⎡⎤
⇔+−+=+
⎣⎦

()
( )
22
sin x cos x
2 sin x cos x 3 4 sin x sin x cos x cos x
sin x cos x
+
⎡⎤
⇔+ − − + =
⎣⎦

()
1
sinx cosx 2 8sinxcosx 0
sin x cos x
⎡⎤
⇔+ −+ − =
⎢⎥
⎣⎦

()
2
sin x cos x 4 sin 2x 2 0
sin 2x

⇔ =− + π∨ = + π∨ =− + π∨ = + π ∈

7
x k 2x k2 2x k2 2x k2 ,k
42 6 6

π ππ
⇔ =± +π∨ =− +π∨ = +π ∈

7
xkxkxk,k
41212
( )
()
+− −
=
+
2
cos x 2 sin x 3 2 2 cos x 1
1*
1sin2x
Bài 61: Giải phương trình:

sin 2x 1 x m
4
π
≠− ⇔ ≠− + π

⎢
=− + π
⎢
⎣

xk2
4
⇔=+ π

π

Bài 62: Giải phương trình:
()
x3x x3x1
cosx.cos .cos sinxsin sin *
22 222
−=Ta có: (*)
()()
11
cos x cos2x cos x sin x cos2x cos x
22
1
2
⇔ ++ −=

2
cos x.cos 2x cos x sin x cos 2x sin x cos x 1⇔++−=

sin x 1
1
sin x
2
⎡
⎢
=−
⎢
⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣
−

()
xk
4
xk2 k
2
5
xk2x k2
66
π
⎡
=− + π
⎢
⎢
π


=
()
2
cos x 2cos x 3 2 sin x 4 0
⇔+−

=
( )
2
cos x 2 1 sin x 3 2 sin x 4 0
⎡⎤
⇔−+−
⎣⎦

=
2
cos x 0 2sin x 3 2 sin x 2 0⇔=∨ − +=

()
cos x 0
2
sin x
2
sin x 2 vô nghiệm
=
⎡
⎢
⎢
⇔=

⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

()

(*)
()
2cos 2x.cos 4 sin x 2 2 1 sin x
4
π
⇔+=+−

( )
( )
()
2
2
21 2sin x 4 2sinx 2 2 0
2 2 sin x 4 2 sin x 2 0
⇔− ++ −−=
⇔−++=()
⇔−++=
2
2sin x 2 2 1 sinx 2 0
()
⎡
⎢

3 cot sin x 2 3 2 cos x *
: Giải phương trình :

Điều kiện:
(*)

sin x 0 cos x 1
≠⇔ ≠±

Chia hai vế (*) cho
2
sin x
ta được:
()
2
42
cos x cos x
322232
sin x sin x
⇔+=+
và
sin x 0
≠2
cos x
t
sin x
=

2
3cos x 2 1 cos x
2cos x 3cosx 2 0
cos x 2 loại
1
s x do cos x
2
⇔=−
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
=≠±

()
xk2k
3
π
⇔=±+ π∈

Z
* Với
t2=
ta có:
=
2
cos x
2

: Giải phương trình:
()
+−−
=
22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0*
cos xĐiều kiện:
Lúc đó:
(*)
=

≠
cos x 0

22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0⇔+−−

()
()
2
2
4 1 cos 2x 3 1 cos 2x 9 3cos 2x 0
4cos 2x 6cos2x 2 0
1
cos2x 1 cos2x
2


⎢
⎣

()
12
fx sinx sin3x sin5x
35
=+ +
Bài 67: Cho
()
f' x 0=
Giải phương trình:

Ta có:

=

()
f' x 0=

()( )
()()
32
cos x cos 3x 2 cos5x 0
cos x cos5x cos3x cos5x 0
2cos3xcos2x 2cos4xcosx 0
4 cos x 3cos x cos 2x 2cos 2x 1 cos x 0
⇔+ + =
⇔+++=

cos x 0
4cos 2x cos2x 1 0
cos x 0
117
cos 2x cos x 0
8

=
()
117 117
cos2x cos cos2x cos cosx 0
8

8
xkxkxkkZ
222
+−
⇔= =α∨= =β∨=
αβπ
⇔=±+π∨=±+π∨=+π ∈
()
88 2
17
sin x cos x cos 2x *
16
+=
Bài 68: Giải phương trình:

⎝⎠
=− +

Do đó:

()
()
()
()
()()
⎛⎞
⇔− + =−
⎜⎟
⎝⎠
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔⇔−
⎢
=
⎢
=
π
⇔=⇔=+ ∈
24 2
42
2
2
1

Thay vào (*) ta được:
π
⎛⎞ ⎛
+π=− +π
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
5
sin 5k 5.sin k
22
π
⎞
⎟
⎠
, không thỏa
k
∀

x
cos
2
Do không là nghiệm của (*) nên:
()
⇔=
2
5x x x x
* sin .cos 5 cos x.sin cos
22 22
và
x
cos 0

⎪
⇔
⎨
⎪
−+=∨
⎩

=
32
x
cos 0
2
x
5cos x 4cos x 2cosx 1 0 sin 0
2
⎧
≠
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
−−+=∨
⎪
⎩

=
()
()
2

⎪
⎢
−−
⎪
⎢
= =β
⎣
⎩
cos x 1
cos x 1
121
cos x cos
10
1
cos
10

⎪
⎢
12
cos x
( )
⇔= π =±α+ π =±β+ π ∈xk2hayx k2hayx k2,kZ
( ) ( )
2
sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+=
Bài 70: Giải phương trình:

⇔=
⎜⎟
⎝⎠
Lúc đó: (*)
() ()
()
()
⇔=
⇔+= +
⇔+= =
⇔=−∨= ≠ ≠
2
2
cos x
2cos x
cos 2x
cos2x 1 2cos2x cos2x 1
cos 2x 1 0 hay 1 2 cos 2x
1
cos 2x 1 cos 2x nhận do cos 2x 0 và cos 2x 1
2

π
⇔=π+π∨=±+π∈
ππ
⇔=+π∨=±+π∈


2x k2 2x k2 , k
3