LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC

(
)
()
()
()
++= ≠
++= ≠
+== ≠
++=
2
2
2
2
asin u bsinu c 0 a 0
acos u bcosu c 0 a 0
atg u btgu c 0 a 0
a cot g u b cot gu c 0 a 0≠Cách giải:
Đặt : hay với
tsinu=
tcosu=
t1
≤

(điều kiện ttgu=

+
⎛⎞
+=+
⎜⎟
+
⎝⎠

Điều kiện:
1
sin 2x
2
≠−

Ta có:
(
)
(
)
33
sin 3x cos3x 3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x+= − + −

()
()
()
()
()()
33
22
3cosx sinx 4cos x sin x
cos x sin x 3 4 cos x cos x sin x sin x

1
cos x
2
cos x 2 loại
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=
⎢
⎣

x
3
π
⇔=±+ πk2
(nhận do
31
sin 2x
22
=
±≠−
)
Do
(
)
x0,2∈π
nên
5

4 cos 2x 3cos 2x 1 0⇔−−

()
2
2
cos 2x 1
1
cos 2x vô nghiệm
4
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣

()
sin 2x 0
k
2x k x k Z
2
⇔=
π
⇔=π⇔= ∈

Cách 2: (**)
()
1

Cách 3: phương trình lượng giác không mẫu mực:
(**) ⇔
cos6x cos2x 1
cos6x cos2x 1
==
⎡
⎢
==−
⎣
Cách 4:
+−=⇔+cos 8x cos 4x 2 0 cos8x cos 4x 2=

⇔
==cos 8x cos 4x 1
⇔
=cos 4x 1Bài 58:
(Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005)
Giải phương trình:
44
3
cos x sin x cos x sin 3x 0
44
ππ
⎛⎞⎛ ⎞
++− −−
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

()
22
11 11
sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 0
22 22
⇔− − − + − =

2
sin 2x sin 2x 2 0⇔+− =
()
sin 2x 1
sin 2x 2 loại
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣

π
⇔=+π∈
π
⇔=+π∈


2x k2 , k
2
xk,k
4



2
3sin x
5sinx 2
1sinx
⇔−=
+

2
2sin x 3sinx 2 0⇔+− =
()
()
1
sin x nhận do sin x 1
2
sin x 2 vô nghiệm
⎡
=≠
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣

±
()
5
xk2x k2k
66

⎡⎤
⇔+−+=+
⎣⎦

()
(
)
22
sin x cos x
2 sin x cos x 3 4 sin x sin x cos x cos x
sin x cos x
+
⎡⎤
⇔+ − − + =
⎣⎦

()
1
sinx cosx 2 8sinxcosx 0
sin x cos x
⎡⎤
⇔+ −+ − =
⎢⎥
⎣⎦

()
2
sin x cos x 4 sin 2x 2 0
sin 2x
⎡⎤


7
x k 2x k2 2x k2 2x k2 , k
42 6 6

π
ππ
⇔ =± +π∨ =− +π∨ = +π ∈

7
xkxkxk,k
41212
(
)
()
+− −
=
+
2
cos x 2 sin x 3 2 2 cos x 1
1*
1sin2x
Bài 61: Giải phương trình:

sin 2x 1 x m
4
π

⎣

xk2
4
⇔=+ π

π

Bài 62: Giải phương trình:
()
x3x x3x1
cosx.cos .cos sinxsin sin *
22 222
−=Ta có: (*)
()()
11
cos x cos2x cos x sin x cos2x cos x
22
1
2
⇔
++ −=

2
cos x.cos 2x cos x sin x cos 2x sin x cos x 1⇔++−=
cos x⇔+=−+
()

1
sin x
2
⎡
⎢
=−
⎢
⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣
−

()
xk
4
xk2 k
2
5
xk2x k2
66
π
⎡
=− + π
⎢
⎢
π
⎢

()
2
cos x 2cos x 3 2 sin x 4 0⇔+−

=
(
)
2
cos x 2 1 sin x 3 2 sin x 4 0
⎡⎤
⇔−+−
⎣⎦

=
2
cos x 0 2sin x 3 2 sin x 2 0⇔=∨ − +=
()
cos x 0
2
sin x
2
sin x 2 vô nghiệm
=
⎡
⎢
⎢
⇔=
⎢
⎢
=

()

(*)
()
2cos2x.cos 4sin x 2 2 1 sin x
4
π
⇔+=+−

(
)
(
)
()
2
2
21 2sin x 4 2sinx 2 2 0
2 2 sin x 4 2 sin x 2 0
⇔− ++ −−=
⇔−++=

()
⇔−++=
2
2sin x 2 2 1 sinx 2 0
()
⎡
⎢
si



Điều kiện:
(*)

sin x 0 cos x 1≠⇔ ≠±

Chia hai vế (*) cho
2
sin x ta được:
()
2
42
cos x cos x
322232
sin x sin x
⇔+=+
và
sin x 0
≠2
cos x
t
sin x
=
Đặt ta được phương trình:
()
2
3t 2 t 2−+ +2 3 2 0

1
s x do cos x
2
⇔=−
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
=≠±

()
xk2k
3
π
⇔=±+ π∈

Z
* Với
t2= ta có:
=
2
cos x
2
sin x

()
()
()

22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0*
cos xĐiều kiện:
Lúc đó:
(*) =

≠cos x 0

22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0⇔+−−
()
()
2
2
4 1 cos 2x 3 1 cos2x 9 3cos 2x 0
4cos 2x 6cos2x 2 0
1
cos2x 1 cos2x
2
⇔− +− −− =
⇔++=
⇔=−∨=−

22
1
2cos x 1 1 2cos x 1

35
=+ +
Bài 67: Cho
()
f' x 0
=
Giải phương trình:

Ta có:

=

()
f' x 0=

()( )
()()
32
cos x cos3x 2cos5x 0
cos x cos5x cos 3x cos5x 0
2cos3xcos2x 2cos4xcosx 0
4 cos x 3cos x cos2x 2cos 2x 1 cos x 0
⇔+ + =
⇔+++=
⇔+=
⇔− + −

()
()
⎡⎤


=
()
117 117
cos2x cos cos2x cos cosx 0
8

8
xkxkxkkZ
222
+−
⇔= =α∨= =β∨=
αβπ
⇔=±+π∨=±+π∨=+π∈
()
88 2
17
sin x cos x cos 2x *
16
+=
Bài 68: Giải phương trình:

Ta có:
()
()
2
88 44 44

()
()
()
()()
⎛⎞
⇔− + =−
⎜⎟
⎝⎠
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔⇔−
⎢
=
⎢
=
π
⇔=⇔=+ ∈
24 2
42
2
2
1
* 16 1 sin 2x sin 2x 17 1 sin 2x
8
2sin 2x sin 2x 1 0
sin 2x 1 loại
11
1cos4x

5
sin 5k 5.sin k
22
π
⎞
⎟
⎠
, không thỏa k
∀

x
cos
2
Do không là nghiệm của (*) nên:
()
⇔=
2
5x x x x
* sin .cos 5 cos x.sin cos
22 22
và
x
cos 0
2
≠

()
3
15
sin 3x sin 2x cos x.sin x

=
32
x
cos 0
2
x
5cos x 4cos x 2cosx 1 0 sin 0
2
⎧
≠
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
−−+=∨
⎪
⎩

=
()
()
2
cos x 1
x
cos x 1 5cos x cos x 1 0 sin 0
2
≠−
⎧
⎪

=
=β
⎣
⎩
cos x 1
cos x 1
121
cos x cos
10
1
cos
10

⎪
⎢
12
cos x
(
)
⇔= π =±α+ π =±β+ π ∈xk2hayx k2hayx k2,kZ
(
)
(
)
2
sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+= Bài 70: Giải phương trình:


⎝⎠
Lúc đó: (*)
() ()
()
()
⇔=
⇔+= +
⇔+= =
⇔=−∨= ≠ ≠
2
2
cos x
2cos x
cos 2x
cos2x 1 2cos2x cos2x 1
cos 2x 1 0 hay 1 2 cos 2x
1
cos 2x 1 cos 2x nhận do cos 2x 0 và cos 2x 1
2

π
⇔=π+π∨=±+π∈
ππ
⇔=+π∨=±+π∈


2x k2 2x k2 , k
3
xkx k,k


⎜⎟
⎝⎠
32
4x 4x 4x
2 4 cos 3cos 3 2 cos 1
55 5
−
Đặt
()
4
t cos x điều kiện t 1
5
=≤

Ta có phương trình :
()
()
()
32
32
2
4t 3t 2 6t 3
4t⇔ 6t 3t 5 0
t 1 4t 2t 5 0
121 121
t1t t lọai
44
−+= −
−−+=
⇔− −−=

απ
⇔=± + ∈
l
l
lBài 72
()
3
tg x tgx 1 *
4
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠
: Giải phương trình

tx x t
44
π
π
=− ⇔= +
Đặt
3
1tgt
tg t tg t 1 1 với cost 0 tgt 1
41tgt
π+

+−+=
⇔=∨=−
π
⇔=π∨=− +π∈
¢

Vậy (*)
tgt tg
⇔
e
xkhayx
4
⇔=+π =k,k
π
π∈¢Bài 73
44
4
sin 2x cos 2x
cos 4x (*)
tg x tg x
44
+
=
ππ
⎛⎞⎛⎞
−+
⎜⎟⎜⎟

Do :
⇔
cos2x 0 sin 2x 1⇔≠⇔≠

1 tgx 1 tgx
tg x tg x . 1
4 4 1 tgx 1 tgx
ππ−+
⎛⎞⎛⎞
−+=
⎜⎟⎜⎟
+−
⎝⎠⎝⎠

=
Khi cos2x 0 thì :
≠

()
()
()
()
44 4
22 4
24
24
42
2
2
2

⎣
⇔=
⇔=
⇔= ≠
⇔=π∈⇔=¢
−=
,k
2
π
∈¢()
42
12
48 1 cot g2x cot gx 0 *
cos x sin x
−− + =

()
Bài 74 :Giải phương trình:

Điều kiện :
Ta có :
sin 2x 0≠
()
22
cos 2x cos x
1 cot g2x cot gx 1 .
sin 2x sin x

422
42
48sinxcosx sinx cosx
3sin 2x 1 2sin xcos x
1
3sin 2x sin 2x 1 0
2
⇔=+
⇔=−
⇔+−=

()
()
2
2
2
sin x lọai
3
1
sin x nhận do 0
2
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
⎢
=≠
⎢
⎣

+= + +

Ta có : (*)
()( )
810 8 10
5
sin x 2sin x cos x 2 cos x cos2x
4
⇔− +− =

()( )
()
828 2
88
88
5
sin x 1 2sin x cos x 1 2 cos x cos2x
4
5
sin x.cos2x cos x cos2x cos2x
4
4 cos2x sin x cos x 5cos2x
⇔−−−+ =
⇔−=
⇔−=

()
()()
88
2

()
88
4sinx cosx 5
−
=
Cách khác: Ta có vô nghiệm
Vì
()
88
sin x cos x 1, x
−
≤∀
nên
(
)
88
4sinx cosx 4 5, x
−
≤<∀

Ghi chú : Khi gặp phương trình lượng giác dạng R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x)
với R hàm hữu tỷ thì đặt t = tgx
Lúc đó
2
22
2t 2t 1 t
tg2x ,sin2x ,cos2x
1t 1t 1t
2
−

−
⎡⎤
−
+
−= + − −
⎢⎥
+++
⎣⎦

()
()
()
()
()
()
()
()
2
222
2
22
2
2
2
2
2t t
dot1
t 2 t 1t
t
t1t1t

1t t 2t1
−
−−+
⇔= =
+

⇔
()
tgx 1 x k nhận do sin 2x 1 0
4
π
=⇔ = +π =≠Bài 77
(
)
+=sin 2x 2tgx 3 *
: Giải phương trình:
Điều kiện :
ặt t = tgx thì (*) thành :
cos x 0≠

Đ
2
2t
2t 3+=

1t+
)

ậy (*) tgx 1 x k k Z
4
Bài 78 : Giải phương trình
()
2
cot gx tgx 4 sin 2x *
sin 2x
−+ =

sin 2x 0≠
Điều kiện :
Đặt
2
2t
ttgxthì:sin2x dosin2x0nênt0
1t
== ≠
+

≠
(*) thành :
2
2
18t1t1
tt
t t1 tt
+


Bài 79
2
8t
2t
1t
: Giải phương trình
()
(
)
(
)
1tgx1sin2x 1tgx*−+ =+

Điều kiện :
Đặt = tgx thì (*) thành :

cos x 0≠

()
2
1t
⎜⎟
+
⎝⎠
2t
⎛
1t1 1t
⎞
−+ =+

⎢
⇔⇔
−
−
=+
=
⎣
⎢
+
⎣
⇔=−∨=

=−
⎡
π
⇔
Do đó (*) ⇔=−+π =π∈
⎢
=
⎣

tgx 1
x k hay x k , k
tgx 0
4Bài 80
(
)

=≤
⎪
⇔
⎨
−++=
⎪
⎩
2
tcosx t 1
2t 2m 1 t m 0

[
]
()
⎧
=≤
⎪
⇔
⎨
=∨=
⎪
⎩
tcosx t 1
1
ttm
2

a/
=Khi m , phư
2
Bài 81
=∨ =cosx cosx
22
π
⇔=±+ π ∈xk2kZ
3
ππ
⎛
⎜⎟
3
* có nghiệm trên ,
: Cho phương trình
()
(
)
(
)
x *

2
cos x 1 cos2x m cos x msin+−=
a/ Giải (*) khi m= -2
2
0,
π
⎡
b/ Tìm m sao cho (*) có đúng hai nghiệm trên
3


i m = -2 thì (*) thành :
⇔ −=
a/ Kh
()
(
)
()
++=
⇔
⇔=π+ π ∈
π
⎡⎤ ⎡
∈=∈
⎢⎥ ⎢
⎣⎦ ⎣
2
cos x 1 2 cos x 1 0
cosx = -1
xk2kZ
21
b/ Khix 0, thìcosx t ,1
32

⎤
−
⎥
⎦
Nhận xét rằng với mỗi t trên
1

Xét
()
(
)
2
y2t 1Pvàymd=− =

Ta có y’ = 4t

2
0,
3
π
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
Vậy (*) có đúng hai nghiệm trên
1
,1
2
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦

2
π
≠⇔≠ +π

() ( )
(
)
()
()
()
()
()
()()
22
22
2
4a cos x 2cosx 1 a 0⇔−+−=
2
11asinx2cosx13acosx0
1a1cosx 2cosx 13acosx 0
a4cosx 1 2cosx 1 0
2cosx 1 a 2cosx 1 1 0
⇔− − ++ =
⇔− − − ++ =
⇔−−−=
⇔− +−=
⎡⎤
⎣⎦

a/ Khi

⎛⎞
∈
thì
2
⎜⎟
⎝⎠
(
)
t 0,1=∈

cos x
()
()
1
cos x t 0,1
2
2a cos x 1 a 2
⎡
== ∈
⎢
⇔
⎢
=−
Ta có : (1)
⎢
⎣

Yêu cầu bài toán
⇔ (2) có nghiệm trên
()

1a
0
⎪
<
−
⎪
>
a1
1
a1
1
2a
3
a0a
13a
1
3
0
a
1
2a
2
a
21 a 2a
2
⎧
⎪
<
⎧
<

22
(u 1)2u13a 0 1au 2u4a 0Bài 83
⇔− − − =(u 2)[(1 a)u 2a] 0

(
)
cos4x 6sin x cos x m 1+=
: Cho phương trình :
a/ Giải (1) khi m = 1
0,
4
π
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
(1) có hai nghiệ phân biệt trên b/ Tìm m để m
⇔
−+
2
1 2 sin 2x 3sin 2x m
Ta có : (1)
=
(
)

⎩
k
sin 2x 0 x
2
⎧
=≤
⎧
=≤
⎪⎪
⇔
⎨⎨
π
⇔=⇔=

[
b/ Khi
]
∈
⎣⎦
hìsin2xt0,1
4

Nhận thấy rằng mỗi t tìm được trên
π
⎡⎤
∈=
⎢⎥
x0, t
[
]

2m
8
⇔≤ <

Cách khác :đặt . Vì a = 2 > 0, nên ta có
Yêu cầu bài toán ⇔
=−+−
2
f(x) 2t 3t m 1

()f
Δ=
⎧
⎪
()
m
m
fm
S
− >
=
−≥
⎪
⎪
⎨
=
−≥
⎪
⎪
≤=≤

x3x2−+<

0
()
()()
()
44 2
2222 2
2
2
(1) 4sin x cos x cos x sin x sin 4x m
2sin 2x cos x sin x cos x sin x sin 4x m
2sin 2x.cos2x sin 4x m
sin 4x sin 4x m 0 1
⇔−=+
⇔−+=+
⇔=+
⇔−+=

a/ là nghiệm của (1) = 0
Lúc đó (1)

x =π
2
sin 4 sin 4 m⇒π−π+
m0⇒=

()
sin 4x 1 sin 4x 0
⇔

⎪
−+<⇔ ⇔
⎨⎨
<<
−+<
⎩

⎪
⎩
()
2
1x 2 1 x 2
2x 11x 2*
<
⇔− <<−∨<<

⇔< < ⇔ <
ππ
⎛⎞
=− = − =−
⎜⎟
⎝⎠
xthìsin4xsin 1
82

()
x là nghiệm của 1 1 1 m 0
8
m2
π

=− ∨ =
⎪
⎩

sin 4x 1
4x k2
2
k
x
82
Kết hợp với đi
⇔=−
π
⇔=−+π
ππ
⇔=−+

ều kiện (*) suy ra k = 1
ghiệm
3
x
82 8
π
ππ
=− + =
thỏa
0

42
x3x2

)
⇔− −=
23
Ta có : (2) 4 cos x 4 cos x 3cos x a co
()
() ()
()
+−
+− −=
⇔
⎢
+ − +−=
⎢
⎣
2
2
2
s x 4 a 2 cos x
4 2a cos x a 3 cos x 0
0
4cosx22acosxa30⇔
3
4 cos x
=
⎡
cos x
[]

⎢
=
⎡
⎢
−
⎢
⎢
⇔= ⇔=
⎢
⎢
⎢
<
22
∨>
⎢
⎣
−−
⎢
<− ∨ >Bài 86
⎢
⎣
: Cho phương trình : cos4x = cos
2
3x + asin
2
x (*)
a/ Giải phương trì nh khi a = 1

⎪
⎩

()
()
()
()
()
()()
32
2
tcos2x t1
4t 4t 3t 3 a 1 t
1cos2x t 1
t1 4t 3 a1t **
⎧
=≤
⎪
⇔
⎨
−+ +−= −
⎪
⎩
⎧
=≤
⎪
⇔
⎨
−−+= −
⎪

⇔=⇔=π⇔= ∈
2
cos 2x 1 cos 2x 1
k
sin 2x 0 2x k x , k Z
2

3
x0, 2x0,.Vậyc
6
⎛⎞
∈
⎜⎟
⎝⎠
os2xt ,1
12 2
⎛⎞
ππ
⎛⎞
∈⇔ =∈
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

−+=−
⇔−= ≠
2
b/ Ta có :
⎝⎠

⎝⎠

đ ù (*) có nghiệm trê
() ()
⎛⎞
π
⎛⎞
⇔=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
3
0, d : y a cắt P trên ,1
22
Do o n
()
3
yay
2
0a1
1<
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
<<BÀI TẬP


e/
4
4 cos x 3 2 sin 2x 8cos x+=
f/
11 2
cos sin 2x sin 4x
+=

x
g/
sin 2x 2 sin x 1
4
π
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=
h/
()()
2 2sinx 1 4 sinx 1 cos 2x sin 2x
44
π
π
⎛⎞⎛⎞
−= −− + − +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠


3cos4x 2cos 3x 1−
r/
2
3x
2cos 1 3cos2x+=

2
x
s/
cos x tg 1
2
+=

t/
u/

2
3tg2x 4tg3x tg 3x.tg2x−=
2
3
cos x.cos4x cos2x.cos3x cos 4x
2
++

=
v/
22 2 2
3
cos x cos 2x cos 3x cos 4x
2

⎝⎠ ⎝
.
66
sin x cos x a sin 2x+=
2

1
a
4
≥
) b/ Tìm a để (1) có nghiệm (ĐS :
3. Cho phương trình

()
66
22
cos x sin x
2mtg2x 1
cos x sin x
+
=
−

a/ Giải phương trình khi m =
1
8

1
m
8

(
)
ĐS :1 m 3
<
<

6. Tìm m để phương trình :
()
(
)
44
4 sin x cos
66 2
x 4 sin x c 4x mos x sin−+ =
có nghiệm
+
−
1
ĐS : m 1
8
⎛⎞
−
≤≤
⎜
⎝
⎟
⎠

7. Cho phương trình :
22 2

ĐS :2 5 4 m
2
⎛⎞
−< <
⎜⎟
⎝⎠

9. Tìm m để phương trình :
có nghiệm

()
66 44
sin x cos x m sin x cos x+= +
1
ĐS : m 1
2
⎛⎞
≤≤
⎜⎟
⎝⎠

10. Cho phương trình :

Tìm a để phương trình có nghiệm
22
cos 4x cos 3x a sin x=+
x0,
2
π
⎛⎞