CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
1
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ – ĐỊNH LÝ VIETE (PHẦN 1) Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
1.
2 2
4 2 2 1 0
m x m x
.
2.
2 2
2 1 0
m m x mx
.
3.
2 2
0
x ax b x bx a
.
Bài 3. Chứng minh rằng các phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số
1.
1 0
x x x x b x a x b
.
2.
2 2 2
2
x a b x a ab b
.
0
c x a x b b x a x c a x c x b
.
Bài 4. Cho hai phương trình
2
2
2
2 0 1
1 1
2 0 2
x mx n
x k mx n k
k k
Chứng minh rằng khi đó phương trình
2
0
ax bx c
luôn có nghiệm.
Bài 7. Cho phương trình
2
0 0, 0
ax bx b a b
(1), với a và b là các tham số thực.
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
. Chứng minh rằng tồn tại các số thực
1 2
,
sao cho
1 2
a
.
4. Cho
3
b
. Tìm giá trị của a để (1) có hai nghiệm đều lớn hơn
1
.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
2
Bài 9. Cho phương trình:
2
3 0
x mx n
(1); với m và n là các tham số thực.
1. Với
3
n
, tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt.
2. Tìm m và n để (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
(a và b là các tham số thực).
Bài 11.
Cho ba số thực
, ,
a b c
thỏa mãn
6
a b c
. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm
2
2
2
1 0 1
1 0 2
1 0 3
x ax
x bx
x cx
Bài 12. Cho ba số thực không âm
, ,
c
x p x q
.
Bài 14. Cho hai số thực m và n thỏa mãn
19 5 2000
m n
.
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:
2
20 5 100 0
mx nx m
.
Bài 15. Cho ba số thực
, ,
a b c
đôi một phân biệt. Chứng minh phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt
1 1 1
0
x a x b x c
.
Bài 16. Cho phương trình
2
0
x ax b
cx dx a
dx ax b
Chứng minh ít nhất một trong bốn phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 18. Cho phương trình:
2
2
1
0
2
x ax
a
(1); với a là tham số thực.
Gọi b và c là hai nghiệm phân biệt của (1). Chứng minh rằng
4 4
2 2
b c
.
Bài 19. Cho phương trình
2
0
x a b x ab
1. Cho
1; 2
a b
. Tìm m để (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
sao cho biểu thức
2 2
1 2
M x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Chứng minh rằng nếu
2 2
2 2 6 2 5 0
a b ab a b
thì (1) có hai nghiệm đối nhau.
Bài 21.
Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình
2
0
x px q
1 1 0
x ax b x bx a
(1); với a và b là các tham số thực.
Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a và b.
Bài 23. Cho hai phương trình ẩn x:
2
3
2 3 3
0 1
3 3 0 2
x a d x ad bc
x a d abc bcd c ad bc
(
, , ,
a b c d
là các tham số thực).
Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh
3
p
và
3
2
2
0 1
0 2
ax bx c
ax bx c
(với
, ,
a b c
là các tham số thực).
Bài 27. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm
2
2
2
2 0 1
2 0 2
2 0 3
x ax bc
x bx ca
x cx ab
vô nghiệm.
Bài 29. Cho phương trình
2
0
ax bx c
(a khác 0).
Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm khi các tham số
, ,
a b c
thỏa mãn từng điều kiện sau
1.
5 2
a c b
.
2.
2
4
b c
a a
.
3.
,
0.
b a c
a
2 2 3
2 2 3
2 2 3
2 0 1
2 0 2
2 0 3
x a x b
y b y c
z c z a
Bài 31.
Cho ba số thực dương
, ,
a b c
sao cho
3
a b c
.
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm
16 16 0 3
b c x ax b c
a c y by a c
a b z cz a b
Bài 33.
Cho
, , ,
a b c d
là bốn số thực dương thỏa mãn
2 2 2 2
4
a b c d
.
Chứng minh rằng ít nhất một trong bốn phương trình ẩn x sau có nghiệm
2
2
2
2
2 0 1
(với
, ,
a b c
là các tham số thực dương).
Bài 35. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm
2
2
2
2 0 1
2 0 2
2 3
x ax ac
x cx c
x bx ab c
(với
, ,
a b c
là các tham số thực).
Bài 36. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm
x a x b
và
2
2 2
0
x a x b
.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
5
Bài 38. Cho phương trình
2 2
2 2 1 2 2 1 0
x ax b x bx a
(1); với a và b là các tham số thực.
Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a và b.
Bài 39. Cho ba phương trình ẩn x với
, ,
a b c
là các tham số thực
.
Chứng minh phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 41. Cho ba phương trình ẩn x với
, ,
a b c
là các tham số thực
2
2
2
9
0 1
4
9
0 2
4
9
0 3
4
ax a b c x b
bx a b c x c
cx a b c x a
2
0 1
0 2
x ax b
x cx d
Giả sử
, , ,
a b c d
thỏa mãn bất đẳng thức:
8 0
a a c c c a d b
.
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 44. Cho
, , ,
a b c d
là các tham số thực, trong đó a và b thỏa mãn
2 2
1
a b
2
2 2
2 0 1
1 2 2 1 1 2
x x m
m x x m m x
Giả sử rằng (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình (2) vô nghiệm.
Bài 47. Cho hai phương trình ẩn x với các tham số thực
, , , , ,
a b c m n p
:
2
2
0 1
0 2
ax bx c
mx nx p
Giả dụ ít nhất một trong hai phương trình (1) hoặc (2) vô nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình sau luôn luôn có nghiệm
Bài 49. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với a là tham số thực
2
2
8 0 1
0 2
x ax
x x a
Xác định a để (1) và (2) có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 50. Cho hai phương trình ẩn x tham số m
2
2
2 0 1
2 0 2
x x m
x mx
1. Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm chung.
2. Xác định m để hai phương trình trên tương đương với nhau.
8
m
.
2. Xác định m để (1) và (2) có nghiệm chung.
3. Xác định m để (1) có các nghiệm phân biệt trái dấu với các nghiệm phân biệt của phương trình (2).
Bài 53. Cho hai phương trình ẩn x với tham số m
2
2
2 3 5 9 1
6 7 15 19 2
x m x
x m x
1. Xác định m để (1) và (2) có nghiệm chung.
2. Tìm m để hai phương trình tương đương với nhau.
3. Xác định m để (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1, đồng thời (2) có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 54. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với tham số m
1. Xác định m để hai phương trình đã cho có nghiệm chung.
2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương đồng thời (2) có hai nghiệm cùng âm.
3. Định giá trị m để hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
7
Bài 56. Tìm a và b để hai phương trình sau tương đương với nhau
2
2
3 2 4
2 3 2 0
x a b x
x a b x b
Bài 57. Tìm giá trị nguyên của m để hai phương trình sau có nghiệm chung
2
2
2 3 1 3 1
2
0 1
0 2
x ax bc
x bx ca
(với a, b và c là các tham số thực khác 0 và khác nhau đôi một).
Giả sử các phương trình (1) và (2) có nghiệm chung.
1. Tìm nghiệm còn lại của mỗi phương trình.
2. Chứng minh rằng các nghiệm còn lại ấy thỏa mãn phương trình:
2
0
x cx ab
.
Bài 60. Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m
2
2
3 4 2 0 1
2 5 0 2
x x m
x mx
1. Định m để (1) và (2) tương đương.
2 2 2
2 1 2 0
x m x mx mx x
.
Bài 62. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số a và b
2
2
6 0
12 0
x ax
x bx
Giả dụ hai phương trình trên có nghiệm chung. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M a b
.
Bài 63. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với tham số m, n
2
2
3 0
5 0
x mx
x nx
2
2 2
0 1
0 2
x bx c
x b x bc
Biết (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
; (2) có hai nghiệm
3 4
,
x x
sao cho
3 1 4 2
1
x x x x
. Tìm b và c.
Bài 66. Cho hai phương trình ẩn x
2
2
1 1 1
2
2 2 2
0 1
0 2
a x b x c
a x b x c
Giả sử (1) và (2) có nghiệm chung. Chứng minh rằng
2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
a c a c a b a b b c b c
.
Bài 68. Cho hai phương trình ẩn x với tham số m
2
2 2
2 3 0 1
4 1 0 2
x mx m
x m m x
x m n x m
x m n x
Bài 71. Cho hai phương trình ẩn x với tham số m và n
2
2
2 1 0 1
2 1 1 2
x mx m
mx m x
1. Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung.
2. Định m để hai phương trình trên tương đương.
Bài 72. Cho hai phương trình ẩn x với tham số m
2
2
2 0
2 3 0
x x m
x x m
2 2
1 1 2 1 1 2 2 2
a b a b a b a b q p
.
Bài 74. Cho
, ,
a b c
là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình bậc hai sau không có nghiệm hữu tỷ
2
0
ax bx c
.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
9
Bài 75. Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung
2
2
2 3 2 12 0 1
4 9 2 36 0 2
, ,
a b c
là các tham số thực).
Biết rằng (1) và (2) có nghiệm chung; (3) và (4) có nghiệm chung.
Tính giá trị của biểu thức
2004
a
T
b c
.
Bài 77. Cho bốn phương trình bậc hai ẩn x
2
2
2
2
1 0 1
0 2
0 3
0 4
x ax
x bx c
x x a
x cx b
; 3f a b x y
x y
và các giá trị a, b tương ứng.
Bài 79. Cho hai phương trình ẩn x
2
2
1 0 1
2 0 2
x px
x qx
(p và q là các tham số thực).
Giả sử (1) có hai nghiệm là a và b; phương trình (2) có hai nghiệm là b và c.
Chứng minh hệ thức
6
b a b c qp
.
0
x px q
(1); với p và q là các tham số thực.
1. Chứng minh rằng nếu
2
2 9 0
p q
thì (1) có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
2. Cho p và q là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm ấy phải số
nguyên.
Bài 83. Giả dụ phương trình ẩn x:
2
0
ax bx c
(a khác 0) có các nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
2
1 2
x x
.
Chứng minh hệ thức:
3 2 2
3
.
Tìm giá trị thực của tham số m để biểu thức
1 2
M x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 86.
1. Cho phương trình bậc hai ẩn x:
2
0
ax bx c
(
, ,
a b c
là các tham số thực; a và b khác 0).
Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có hai nghiệm mà nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia là
2
3 16 0
b ac
.
2. Cho phương trình bậc hai ẩn x:
2
0
ax bx c
(
, ,
a b c
3 34
x x x x
.
b)
5 5
1 2
211
x x .
Bài 90. Cho tam thức bậc hai
2
f x ax bx c
. Giả dụ phương trình
0
f x
vô nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình
2
af x bf x c x
; với k và a là tham số thực.
Xác định k theo a để
2 2
1 2
2 1
5
x x
x x
.
Bài 92. Cho phương trình bậc hai ẩn x:
2 2
2
12
12 6 4 0
x mx m
m
(1); với m là tham số thực.
1. Giải phương trình đã cho với
1
m
.
2. Khi (1) có hai nghiệm
1 2
là các tham số thực).
Giả sử (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
; (2) có hai nghiệm
3 4
,
x x
. Chứng minh rằng
2
2 2 2 2
1 2 1 4 2 3 3 4
2 2
x x x x x x x x b d a c b d a c b d
.
Bài 94. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số thực m
2
2
2 2
2 2
2 1 0 1
2 1 0 2
x x a
x a x a a
Với giá trị nào của a thì nghiệm của phương trình (1) nằm giữa các nghiệm của phương trình (2) ?
Bài 97. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số s
2
2
3 2 0 1
6 5 0 2
x x s
x x s
Tìm s để hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt sao cho giữa khoảng hai nghiệm của (1) có đúng một
nghiệm của phương trình (2) và ngược lại.
Bài 98. Cho phương trình ẩn x:
2
0
ax bx c
Chứng minh (1) có nghiệm thuộc khoảng
0;1
.
Bài 99.
Giả dụ
1
0
x
là nghiệm của phương trình
2
0
ax bx c
và
2
0
x
là nghiệm của phương trình
2
0
ax bx c
2
x x x c
tạo thành miền chứa khoảng
0;2
.
Chứng minh rằng phương trình
2
0 1 2 0
a x b x c
có nghiệm.
Bài 101. Cho phương trình bậc hai ẩn x:
2
2sin 1 6sin 2 sin 1 0
x x
x ax b
.
Bài 103. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x
2
2
3 0 1
12 0 2
x x a
x x b
(a và b là các tham số thực).
Giả sử (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
; (2) có hai nghiệm
3 4
,
x x
sao cho
3
2 4
1 2 3
x
x x
Bài 105. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
1 2 1 2
2 2
F x x x x
biết
1 2
,
x x
là nghiệm của phương trình
2
2
2 0
x mx m
.
Bài 106. Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung
2
2
2 1 0 1
2 0 2
x mx
mx x
(m là tham số thực).
2
1 2 3 4 0
m x m x m
có hai nghiệm bé hơn 2.
2. Tìm m để phương trình
2
2 3 6 0
mx m x m
có hai nghiệm trong đó một nghiệm lớn hơn 5 và một
nghiệm bé hơn 2.
3. Với giá trị nào của m để
2
2 2 0
x m x m
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
2 2
1 2
2 1
x x
.
3. Phương trình
2
0
cx adx b
có hai nghiệm là
1 3
,
x x
.
Bài 110. Cho phương trình
2
0
ax bx c
có hai nghiệm thuộc đoạn
0;1
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
a b a b
2 2
1 2 8 6 0
x m x m m
.
Tìm giá trị của m để biểu thức sau đạt giá trị bé nhất:
1 2 1 2
2
P x x x x
.
Bài 112. Giả dụ phương trình
2 2
4 3 3 0
x m x m m
có hai nghiệm
1 2
,
x x
. Chứng minh rằng
2 2
1 1
1 1
121
.
2. Cho phương trình bậc n ẩn x:
1
0 1
0
n n
n
a x a x a
, các nghiệm nếu có thì có giá trị tuyệt đối không
vượt quá giá trị biểu thức
0
1 ; 1;2;3; ;
k
a
M max kn n
a
.
Bài 114. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi
:
2 2
2 cos 1 4 sin 0
x x
2 2
2 2
2 2
2 2
2 4 0 1
2 4 0 2
4 0 3
4 0 4
x ax b
x bx a
x ax b
x bx a
Chứng minh rằng trong bốn phương trình trên luôn có ít nhất hai phương trình có nghiệm.
Bài 117.
1. Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là
1 1
;
10 72 10 72
.
Bài 121. Gọi
,
là hai nghiệm phân biệt của phương trình
2
1 0
x x k
.
Đặt
n n
n
a
với n là số tự nhiên. Tìm k để
9 10 8 11
1
a a a a
.
Bài 122.
1. Cho phương trình
2
0
x ax b
Bài 124. Cho các số thực
, ,
a b c
thỏa mãn điều kiện
0
a b
và phương trình
2
0
ax bx c
vô nghiệm.
Chứng minh rằng
3
a b c
b a
.
Bài 125. Cho phương trình
2
2 1 0
x mx
(1). Gọi
1 2
P x P x
.
Bài 127. Cho phương trình
2
2 4
x mx m
(1); với m là tham số thực.
Tìm giá trị nguyên dương của m để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
sao cho
1 2
1 2
x x
A
x x
nhận giá trị nguyên.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
14
, ,
a b c
là các tham số thực sao cho
0
ca
.
2
2
0 1
0 2
ax bx c
cx bx a
Gọi
,
tương ứng là nghiệm lớn nhất của hai phương trình trên. Chứng minh:
2
.
Bài 130. Gọi
1 2
,
, ,
a b c
là các số dương thỏa mãn
2 2 2
a b ab c
. Chứng minh rằng phương trình sau có hai nghiệm
phân biệt:
2
2 0
x x a c b c
.
3. Tìm p để phương trình
2
0
x x p
có hai nghiệm
1 2
,
x x
sao cho
4 4 5 5
1. Giải phương trình với
3
m
.
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
3. Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 2 1 2
P x x x x
.
Bài 133. Cho phương trình
2 2
4 3 0
x x m m
(1); với m là tham số thực.
1. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
2. Giả sử
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị m sao cho
2
1 2 2
1 4
2
2
a b a b
P
a a b c
.
Bài 136. Cho phương trình
2
2 2 2 2 0
x m x m
(1); với m là tham số thực.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ
dài đường cao ứng với cạnh huyền là
6
3
.
là các số nguyên; a khác 0.
Biết
0 ; 10
f f
là các số lẻ, chứng minh rằng phương trình
0
f x
không có nghiệm nguyên.
Bài 139. Cho số thực a khác
1
. Lập một phương trình bậc hai mà các nghiệm số
1 2
,
x x
thỏa mãn hệ thức sau
1 2 1 2
1 2
4 4 5 ,
1
x x
thỏa mãn
2
1 2
1 2
3 2 ,
8 3 .
x x a
x x a b
Bài 141. Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình
2
1 0
x x
.
Chứng minh rằng các biểu thức
2 2 4 4
1 2 1 2
P x x x x
.
Bài 143. Cho phương trình
2
8 0
x x m
(1); với m là tham số thực.
Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của (1). Tính theo m biểu thức
1 2
1 2
3 3
x x
M
x x
.
Bài 144. Giả sử phương trình
2
1 0
x ax b
có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng
2 2
a b
2
2
2
1 0 1
1 0 2
1 0 3
x ax
x bx
x cx
Giả sử: Tích một nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm nào đó của phương trình (2) bằng một nghiệm của
phương trình (3). Chứng minh
2 2 2
4
a b c abc
.
Bài 147. Cho phương trình bậc hai
2
0
ax bx c
(1); với a, b và c là các tham số thực.
Gọi
S x x
.
2. Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình
2
6 1 0
x x
.
Chứng minh rằng
1 2
n n
n
S x x
chia hết cho 5.
3. Tìm đa thức bậc 7 có hệ số nguyên và nhận
7 7
3 5
5 3
p
là nghiệm.
CREATED BY HOÀNG MINH THI; TRUNG ĐOÀN 3 – SƯ ĐOÀN 3 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
16
Bài 149. Cho phương trình
S
là số nguyên chẵn với mọi số nguyên dương n.
Bài 150. Cho phương trình
2
4 0
x mx
.
1. Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm
1 2
,
x x
với mọi giá trị của m.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
2 2
1 2
2 2 7
x x
A
x x
.
3. Tìm giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là số nguyên.
Bài 151. Cho phương trình ẩn x:
2
5 1 0
x mx
0
3
x
:
2
2 5 3 0
a b x a x b
.
Bài 154. Cho phương trình
2
4 1 0
x x
.
Gọi hai nghiệm của phương trình là
1 2
,
x x
.
1. Chứng minh
5 5
1 2
x x
2 2
1
x bx x x b
.
Bài 157. Cho phương trình
2
0
x ax b
, có hai nghiệm là
1 2 1 2
,
x x x x
. Đặt
1 2
1 2
n n
n
x x
u
x x
(n là số tự nhiên).
Tìm giá trị của a và b sao cho đẳng thức
x x
.
3. Định giá trị của m để tập giá trị của hàm số
2 2
2 1 1
y x m x m m
chứa đoạn
2;3
.
Bài 159. Cho a và b là hai số thực thỏa mãn
2
a b
. Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm
2 2 5
2 2 5
2 0
2 0
x a bx b
x ab x a
Bài 160. Cho phương trình bậc hai
có hệ số hữu tỷ và một nghiệm vô tỷ là
1
;x m n m n
.
Chứng minh rằng
2
;x m n m n
cũng là một nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 162. Chứng minh rằng một phương trình bậc hai không thể có nghiệm hữu tỷ nếu các hệ số bậc hai.
Bài 163. Cho hai số dương a và b. Ký hiệu
;
f a b
là nghiệm dương của phương trình
2
2 1
a b x ab x a b
M max
a a
.
Chứng minh rằng
0
1
x M
.
Bài 165. Giả dụ phương trình
2 2 2
2
x a x b x y c
có nghiệm. Chứng minh
3
a b c .
Bài 166. Cho
2
8
f x x x
. Giải phương trình
2
f x ax bx c
thỏa mãn
3 10,
1 0,
1 1.
f
f
f
Hãy xác định dấu của hệ số a.
Bài 169.
Cho tam thức bậc hai
2
f x ax bx c
Bài 171.
1. Tìm giá trị nguyên của m để phương trình
2
2 3 2 0
mx m x m
có hai nghiệm
1 2
,
x x
sao cho biểu
thức sau nhận giá trị nguyên
1 2
1 1
S
x x
.
2. Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều nguyên:
2
3 2 5
y x m x m
.
3. Định m để phương trình
2 2
Bài 174. Cho phương trình
2
0 0
ax bx c a
có hai nghiệm là
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
0
ax bx c
.
Tính giá trị của biểu thức
2 2 3
3
P a c ac b abc
.
Copyright: Tài liệu đại học ©