CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 4 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN

1

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI (PHẦN 4)

Bài 1. Cho hàm số
2
2 3
y x x
  
(P).
1. Xác định tọa độ đỉnh; trục đối xứng và hướng của bề lõm của (P).
2. Lập bảng biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị (P).
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn


2;1

và giá trị tương ứng của x.
4. Tìm tập hợp các giá trị của x sao cho
0
y

.
Bài 2. Cho hàm số
2
2

6, 8 10
7, 4 2
8, 4
y x x
y x x
y x x
y x x
y x x
y x x
y x
y x x
  
  
  
  
  
  
 
 

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
2
2
2
4 5 ; 1
1,
1 ; 1
3 ; 0
2,
; 0

a b c
trong mỗi trường hợp sau
1. (P) đi qua ba điểm






1; 2 , 1;2 , 2;1
A B C 
.
2. (P) đi qua ba điểm






2;9 , 1;6 , 4;7
D E F .
3. (P) có đỉnh là


2; 2
S

và đi qua





1;1
E 
.
3. (P) có đỉnh là điểm


1; 4
M

và đi qua điểm


2; 3
N

.

CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 4 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN

2

Bài 7. Cho hàm số
3 4
y x x
  
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Xét phương trình

và đi qua điểm


1;4
C .
3. Tìm giá trị của a và m để (P) là một parabol nằm phía trên trục hoành.
Bài 9. Cho hàm số
2
y x bx c
  
có đồ thị (P).
1. Tìm b và c trong mỗi trường hợp sau
a) (P) đi qua hai điểm




1;2 , 2; 1
A B
 
.
b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng
1

khi
1
x

.
2. Với

2. Xác định giá trị của x sao cho
0
y

.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn


0;3
.
4. Tịnh tiến đồ thị hàm số sang bên trái 3 đơn vị và xuống dưới 4 đơn vị.
Bài 12. Cho hàm số
2
1 3
2 2
y x x
  
(P).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho.
2. Xác định x để
0
y

.
3. Tìm
   
2;2 2;2
2 3 4
x x
F Max y Min y

0
y

bằng 9.
3. (P) đạt giá trị nhỏ nhất bằng
3
4
khi
1
2
x

và


1 1 0
f
 
.
4. Đi qua điểm




2;3 , 2;3
M N
và phương trình tiếp tuyến tại đỉnh (P):
1
y


d y mx m m
   
luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
3. Lập phương trình đường parabol (P) biết nó đi qua ba điểm






1;2 , 2;0 , 3;1
A B C .
Bài 15. Xác định các hệ số của parabol (P):


2
y f x ax bx c
   
trong các trường hợp sau
1. (P) đi qua ba điểm






1;8 , 1;0 , 4;3
A B C
.
2. (P) có đỉnh là điểm


2;3
G 
; cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1; cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 3.
Bài 16. Cho hàm số


2
y f x ax c
  
.
1. Tính
2009 2010 2011
R a c
  
biết rằng








1 2 3; 1 3 5
f f f f
    
.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trong từng trường hợp sau
a) Đỉnh của (P) là điểm

1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị (P) và đường thẳng
1
:
d y x

.
2. Xác định m để (P) và đường thẳng
2
d
có điểm chung duy nhất. Tìm tọa độ điểm này.
3. Xác định m để (P) và đường thẳng
2
d
cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm của AB.
4. Tìm m để (P) tiếp xúc với parabol


2
: 2 4 5
P y x mx

  
.
Bài 18. Cho hàm số


2 3
y x x
  
.

A 
.
b) (P) có đỉnh nằm trên đường thẳng
: 2 5
d y x
 
.
c) (P) cắt trục Ox tại hai điểm; trong đó một điểm có hoành độ bằng 2.
Bài 20. Cho hàm số
 
2
2
3 ; 0
2 ; 0
x x x
y f x
x x x

 

 

 



1. Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Lập bảng biến thiên và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y.
3. Xác định giá trị nhỏ nhất của x sao cho y không âm.
Bài 21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

3

.
2. Tìm a và b sao cho parabol (P):
2
2
y ax bx
  
có đỉnh


2; 2
I

.
3. Tìm các hệ số của parabol (P):
2
y ax bx c
  
biết nó có đỉnh trên trục Ox và đi qua




0;1 , 3;4
A B
.
Bài 23.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số


 

 



1. Tính






2 3 1
T f f f
   
.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (G) của hàm số đã cho.
3. Tìm tọa độ giao điểm M của (G) với đồ thị hàm hằng
3
4
y

.
4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình


5 6
f x m
 

Bài 26.
1. Cho hai parabol




2 2
1 2
: 1 ; : 4
P y x P y x
  
. Chứng minh có vô số tam giác ABC có ba đỉnh thuộc parabol


2
P
mà các cạnh của tam giác đều tiếp xúc với parabol


1
P
.
2. Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều một đường thẳng cho trước và một điểm cho trước là một
đường cong parabol.
Bài 27.
1. Tìm quỹ tích đỉnh của họ parabol:
2
1
y x mx
  

trên đoạn


0;1
là bằng 1.
Bài 28. Cho hàm số
2 2 1
y x x m
   
(1); với m là tham số thực.
1. Với
1
m

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (1) trên miền


0;6
.
2. Biện luận số nghiệm của các phương trình sau theo m:
a)
2 3 4
x x m
  
.
b)
2 2 1
x x m x

b) Có đúng ba nghiệm.
Bài 30. Cho hàm số


2
2 4
y f x x x x
    
(1); với m là tham số thực.
1. Tính






3 5 4 7 5 7
M f f f    

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
3. Xét phương trình
2
2 4
x x x m
   
.
a) Định m để phương trình có nghiệm dương.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài 31. Cho hàm số
 

4. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt cùng dương:
2 2
2
1
9
2 5
x m
x
x
  
.
Bài 32. Cho hàm số




2 1
y x x
  
(1); với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Biện luận số nghiệm dương của phương trình




2 1
x x m
  
theo tham số m.



1;1
 là nhỏ nhất.
2. Tìm tất cả các giá trị m sao cho
 
2
2 3x x m x
     

.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau theo m:


2
4 3 4y x x mx x    

.
4. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm trong đoạn


1;1

:


1 1
x x m
  
.

CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 4 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN

6

Bài 36.
1. Tìm điểm cố định của họ đồ thị


2
2 2 3 1
y mx m x m
    
.
2. Tìm quỹ tích các đỉnh của họ parabol (P):


2
2 2 3 3
y x m x m
    .
3. Tìm quỹ tích các trung điểm của đoạn thẳng AB; trong đó A và B là các giao điểm phân biệt của hai đồ thị




2
: 2 ; : 6
P y x m d y x x
    
.

  
.
b) Tạo với đường thẳng
: 2013
l y

một góc
60



.
2. Tìm tất cả giá trị của m để
a) (P) cắt d tại hai điểm phân biệt A và B thỏa mãn: Tam giác BAO vuông tại B.
b) (P) cắt d tại hai điểm P và Q mà độ dài đoạn thẳng PQ bằng 5.
Bài 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
2 1
y x x m
   
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P) với
6
m

.
2. Tìm m để tung độ đỉnh của (P) lớn hơn 6.
3. Xác định m sao cho đồ thị (P):
a) Tiếp xúc với trục hoành.
b) Cắt trục Ox tại hai điểm nằm bên phải gốc tọa độ.

1. Tìm phương trình đường parabol tiếp xúc đồng thời với ba đường thẳng
1 2
: 5; : 3 3 ; 3 12
d y x d y x y x
     
.
2. Chứng minh hai parabol




2 2
1 2
: 4 8; : 8 4
P y x x P y x x
     
luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định.
3. Tìm a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số


2 2
4 4 2 2
y f x x ax a a
     
trên đoạn


0;2
bằng 3.
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 
.
2. Biện luận số giao điểm của (P) và parabol


2
: 2 2 6 4
P y x mx m

   
theo m.
3. Chứng minh (P) luôn cắt đường thẳng
y x

tại hai điểm phân biệt A, B mà độ dài AB là một hằng số.

CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 4 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN

7

Bài 44. Cho hàm số
2
4
4
x x
y

 (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (1).
2. Viết phương trình đường tiếp tuyến của (P) đi qua điểm

1. Tìm giao điểm của (P) với trục hoành.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
3. Giả dụ d là đường thẳng đi qua điểm


3;2
A
và có hệ số góc m.
a) Lập phương trình đường thẳng d theo m.
b) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B và C.
c) Xác định giá trị m sao cho độ dài đoạn thẳng BC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
1
y ax bx
  
.
1. Xác định a và b để cho đỉnh của parabol (P)
a) Nằm trên đường thẳng
: 1 2
d y x
 
.
b) Nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
2. Vẽ (P) với a và b vừa tìm được.
Bài 48. Cho hàm số
2 2
5 3
y x x x
    (1).


7 4 3 1
S f f f
    
.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
3. Dựa vào đồ thị (C), hãy tìm x sao cho
0
y

.
4. Tìm m để phương trình
2
4 2 6
x m
  
:
a) Có đúng ba nghiệm.
b) Có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
c) Có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 50. Cho hàm số
3
2
3
x
y x
x
 
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

x

.
4. Từ đồ thị (P) suy ra đồ thị


2
: 4 3
P y x x

  
. Từ đó tìm m để phương trình
2
4 3 2 3
x x m
   

a) Có ba nghiệm phân biệt.
b) Có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 52. Cho hàm số
2
2 2
y x x
  
có đồ thị (P).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
2. Tìm đồ thị (H) đối xứng với đồ thị (P) qua đường thẳng
: 2
y x
 

1
: 3
2
d y x
 
.
3. Xét sự tương giao giữa parabol (P) và đường thẳng
: 2 1
y mx
  
. Tìm m để (P) cắt

tại hai điểm nằm về
hai phía của đường tròn tâm O bán kính bằng 2.
4. Tìm điểm M thuộc (P) và điểm N thuộc đường thẳng
: 4 3 24 0
l x y
  
sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất.
Bài 54. Cho hàm số
2
2 9
y x x
  
có đồ thị (P).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
2. Tìm đồ thị (H) đối xứng với (P) qua trục hoành.
3. Xét đường thẳng
: 4 3 1 0
x y



2;3
 .
3. Xác định m để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1 2
,
x x
thỏa mãn:
a)
1 2
3
x x
 
.
b)
1 2
16
x x

.
c)
3 3
1 2 1 2
3 2 6
x x x x
  
.
Bài 56. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol

CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 4 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN

9

Bài 57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 4 3
P y x
 
và đường thẳng
: 2 3 1
d y x m
  
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ parabol (P).
2. Định m để đường thẳng d cắt : 2
y x

 
tại điểm


;
M x y
sao cho
2 2


P

.
1. Tìm trên đồ thị


P

các điểm M cách đều hai điểm




2;0 , 2;4
A B 
.
2. Xét sự tương giao giữa


P

và đường thẳng
: 5 7
y mx
   
. Định m để


P

I
và có hệ số góc
2
t
. Tìm t để parabol (P) cắt l tại hai điểm
phân biệt A và B sao cho OAB là tam giác vuông tại O.
4. Với giá trị nào của m thì (P) cắt đồ thị




3 2
: 2 1 2 7
C y x m x mx
    
tại ba điểm phân biệt ?
Bài 60. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai parabol


2
: 2 6
P y x mx m
   và


2
: 4 5
Q y x mx
  
.

n m

. Tìm n để parabol (P) chắn trên trục hoành một đoạn có độ dài bằng 5.
3. Tìm m để phương trình
2
3 2 5
x x m
  
có hai nghiệm thuộc đoạn


2;3
.
4. Tìm m thì đường thẳng
: 2 3
d y mx m
  
cắt parabol (P) tại hai điểm có hiệu hoành độ bằng 1.
Bài 62. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho


2
: 2 2
P y x mx m
  
và đường thẳng
: 2 1
d y mx m
  
.

đạt giá trị lớn nhất.
3. Tìm a để (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt đều có hoành độ dương.
4. Xét sự tương giao giữa (P) và đồ thị (C) của hàm số


3 2
3 1 2 1
y x a x x
    
. Xác định a để (P) cắt (C)
tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn
1
3
.

CREATED BY HOÀNG MINH THI; [email protected] TRUNG ĐOÀN 4 – SƯ ĐOÀN 2 – QUÂN ĐOÀN HẢI QUÂN

10

Bài 64. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho parabol
2
3 2
y x x
  
(P).
1. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và trục hoành.
2. Từ đồ thị (P) hãy suy ra đồ thị


2

: 2 1
y x m
   
tại hai điểm có hoành độ
1 2
,
x x
thỏa mãn
2 2
1 2
2
x x m
 
.
Bài 66. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 4 3 5
P y x mx m
   
(m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với
1
2
m

.
2. Tìm m để đỉnh của parabol (P) nằm phía trong hình tròn tâm O bán kính bằng 2.
3. Với giá trị nào của m thì (P) cắt đồ thị (C) của hàm số

: 2 3 2 0
d x y
  
.
3. Tìm m để parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm A và B có hoành độ
1 2
,
x x
sao cho
2
1 2
2 1
x x
 
.
4. Xác định m để parabol (P) cắt đường thẳng
2
: 4 7
y x mx
   
tại một điểm nằm trên trục đối xứng của hai
tia Ox và Oy.
Bài 68. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol


2
: 3 2 1
P y x mx m
   
(m là tham số thực).

.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P).
2. Với giá trị nào của m thì parabol (Q) có đỉnh nằm trên parabol


2
:
R y x

.
3. Tìm m để parabol (Q) cắt đường thẳng


: 1 2 2 1
y m x m
    
tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của
trục tung.
4. Tìm tất cả các điểm


;
M x y
nằm trên (P) thỏa mãn: M có tọa độ nguyên dương.