Tích luỹ chuyên môn
Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh
Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008
Môn : Toán học Lớp 6
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu I(2 điểm) :
1- Tính nhanh: A =
15
7
9
4
11
2
15
8
9
5
+

+

++

2- So sánh 2 phân số :
20082008
20072007
và
082008200820

Câu III( 3,0 điểm)
Trên cùng nửa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo
xOy=70
0
và số đo yOz = 30
0
a. Xác định số đo của xOz
b. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (điểm A không trùng với điểm O và độ dài
OB lớn hơn độ dài OA ) Gọi M là trung điểm của OA . Hãy so sánh độ dài
MB với trung bình cộng độ dài OB và AB.
Câu IV ( 2,0 điểm )
Tìm 2 số tự nhiên a và b biết tổng BCNN với CLN của chúng là 15
Hớng dẫn chấm đề thi HSG lớp 6 năm học 2007 2008
Câu Nội dung yêu cầu Điểm
1-I
0.5đ
Tính nhanh A=
15
7
9
4
11
2
15
8
9
5
+

+

0,25
2-I
0.5đ
So sánh 2 phân số
20082008
20072007
và
082008200820
072007200720
Ta có P/S :
20082008
20072007
=
2008
2007
10001
10001
.
2008
2007
=
P/s :
082008200820
072007200720
=
2008
2007
100010001
100010001
.

+
=
]5352.71.[10
5352.71
+
+
=
10
1
0,25
0,25
0,25
0,25
1-II
a-1-II
0,75đ
b-1-II
1,5đ
Tìm x
Điều kiện y 3 ta có : 3x 12 = 4y-12 3x=4y
Từ x-y=5 x=5+y
Ta có : 3y+15 = 4y y=15
x=5+15 = 20
Vậy x=20 ; y=15
(x + 1 ) .( 3y 2 ) = -55
(x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-11).5 =(-5).(11)
*Nếu : (x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-11).5
Ta có




=
=+
3
4
1123
51
y
x
y
x
* Nếu : (x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-5)(11)
Ta có :





=
=




=
=+
3
13
6
1123

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2-II
1.0 đ
Tìm nZ để A=
4
53
+

n
n
có giá trị nguyên
A=
4
53
+

n
n
= 3 +
4
17
+

n

để A có giá trị nguyên khi

- Trờng hợp hình ( A) khi Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có :
Số đo góc xOz = 70
0
-30
0
= 40
0
- Trờng hợp hình (B) khi Oz không nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có
Số đo góc xOy = 70
0
+30
0
= 100
0
Vẽ
đúng
đợc 1
trờng
hợp
cho
0,25 đ
0,25
0,25
b-III
2.0đ
- Ta có trung bình cộng sđ của BO và BA là
222
BABOABBO
+=
+

-Mặt khác ta có tích của 2 số bằng tích của BCNN với UCLN của 2 số đó
nên .
-Ta có BCNN [a,b] =
d
nmd
ba
ba
),(
.
2
=
=d.m.n
-Vậy BCNN[a,b] + UCLN(a,b) = d.m.n+d=d.(m.n+1) = 15
Giả sử ab khi đó m n và m.n+12
Lập bảng
d m.n+1 m.n m n a b
1 15 14
1 14 1 14
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
Giáo viên : Mai Huy Dũng 3
Tích luỹ chuyên môn
2 7 2 7
3 5 4 1 4 3 12
5 3 2 1 2 5 10
Vậy ta tìm đợc các số sau:

n
> 4
2) Tìm x biết: a)
04
1978
30
1973
35
1968
40
1963
45
=+

+

+

+

xxxx
b) x-
11
3
55.5 3
20

17.1 5
20
15.1 3

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số mà khi chia cho 11 d 5 và chia 13 d 8.

Hết
( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )
Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 7
năm học 2007 2008
Câu Nội dung yêu cầu Điểm
I A= 0,8.0,25 .(49- 0,64) = 48,36 47,86 = 0,5 1 đ
Giáo viên : Mai Huy Dũng 4
Tích luỹ chuyên môn
B=
2
1
9
8
.
4
9
4
5
.
5
4
9
8
.25,2
4
5
.8,0
==

1963
45
+

++

++

++
xxxx
= 0
0
1978
2008
1973
2008
1968
2008
1963
2008
=

+

+

+


xxxx

3
55.53
2

15.13
2
13.11
2
10 =






+++ x
11
3
55
1
53
1
53
1
51
1

15
1
13

0,25
0,25
III
Ta có:
4
5
3
4
2
3
5
4
4
3
3
2 zyxzyx
=====
Theo dãy tỷ số bằng nhau ta có:
4
5
3
4
2
3
zyx
==
=
12
12
49

Giáo viên : Mai Huy Dũng 5
Tích luỹ chuyên môn
a-IV
b-IV
-Xét tam giác IBC có

NIB =

IBC +

ICB ( t/c

ngoài )
- Xét Tam giác ABC

ABC+

ACB = 180
0
-60
0
=120
0
(vì

BAC=60
0
)
- Mặt khác do BM và CN là phân giác nên



IMN
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
V
- Giả sử số cần tìm là a khi đó theo bài ra ta sẽ có:
+ a + 6

11

(a+6)+77

11

a+83

11 (1)
+ a + 5

13

(a+5) + 78

13


( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu I (2 điểm ) :
1) Tính giá trị biểu thức : A= x
5
- 5x
4
+5x
3
-5x
2
+5x 1 với x=4
2) Tìm điều kiện để phân thức : B=
127
75
2
2
+
+
xx
x
có nghĩa.
Câu II ( 3 điểm )
Giáo viên : Mai Huy Dũng 6
Tích luỹ chuyên môn
1- Với giá trị nào của a phơng trình
11
1
.
2
2

90

=A
) Một đờng thẳng song song với BC
lần lợt cắt AB và AC tại D và E .
a- Chứng minh CB
2
CD
2
= EB
2
ED
2
b- Hãy xác định điểm D thoả mãn DC
2
=BC.DE.
Câu IV :( 2 điểm ) cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng
ac
ac
cb
cb
ba
ba
+

+
+

+
+

4
4
+ 4
4
+ 4
3
4
3
4
2
+ 4
2
+4 1
A = 3
0,25
0,25
0,25
0,25
b-I
Tìm điều kiện để phân thức B=
127
75
2
2
+
+
xx
x
có nghĩa
Để B có nghĩa khi x

x
xax

nếu có nghiệm là x-1 ; 1
ta viết PT dới dạng
1
1
1
22
2
2



=+
xx
x
axax
x-a
2
x+a = 1
(1-a
2
).x = 1- a.
- Nếu a -1: 1 thì x=
a+1
1
là nghiệm nếu
a+1
1

32
1
2
++
xx
B= 3 +
2)1(
1
2
++
x
Để B có giá trị lớn nhất khi
2)1(
1
2
++
x
(I) có giá trị lớn nhất . Mà để
(I) có giá trị lớn nhất khi (x+1)
2
+ 2 (II) có giá trị bé nhất . (II) có giá trị bé
nhất khi (x+1)
2
= 0 hay x=-1
Vậy Max B =
2
7
khi x= -1
0,2
0,2

2
=
(thể tích bể)
- Trong x giờ đầu , chỉ có 1 vòi chảy vào nên lợng nớc trong bể là
x.
3
2
(I)
-Thời gian cả 2 vòi chảy vào và ra sẽ là (2h42 x) hay 2,7h x
- Lợng nớc trong khoảng thời gian (2,7h x) ở trong bể khi cả 2 vòi chảy ra
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
Giáo viên : Mai Huy Dũng 8
Tích luỹ chuyên môn
, chảy vào là :
)7,2.(
3
1
x
(II)
- Từ (I) và (II) ta có phơng trình :
x.
3
2
+
)7,2.(
3

= AC
2
+AB
2
AC
2
-AD
2
= AB
2
-AD
2
( I)
*- Xét ADE có ED
2
= EA
2
+AD
2
- Xét ABE có BE
2
= EA
2
+AB
2

- EB
2
-ED
2

DC
=
(I)
Mặt khác ta có EDC= DCB (so le trong ) (II)
Từ I và II ta suy ra đợc tam giác EDC phải đồng dạng với tam giác DCB
Từ đó suy ra đợc Góc ACD = Góc ABC
Vậy để xác định điểm D thoả mãn DC
2
=BC.DE . Qua điểm C vẽ góc
ACx về phía nửa mf chứa điểm B sao cho góc ACx bằng góc B. Tia Cx cắt
AB tại đâu thì đó là điểm D
Cách dựng :
- Dựng góc ACy= Góc B Cắt AB tại D
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Giáo viên : Mai Huy Dũng 9
Tích luỹ chuyên môn
Chứng minh
- Kẻ DE //BC ta có
- CED Đồng dạng với BDC có
DC
DE
BC
DC

+

Thật vậy
bcbccbabacbaba
cba
cba
ba
ba
<++<++
++
+
<
+

))(())((
luôn
đúng
Vậy
cba
cba
ba
ba
++
+
<
+

( 1)
Tơng tự
acb

+

+
+

<
cba
cba
++
++
=1
Tơng tự ta cũng có
ac
ca
cb
bc
ba
ab
+

+
+

+
+

<1
Suy ra đợc
ac
ac