TUYỂN CHỌN LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC ĐẶC SẮC NHẤT
CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

22
asin u bsinucosu ccos u d++=

Cách giải :
()
Tìm nghiệm u k lúc đó cos u 0 và sin u 1
2
π
•=+π==±

2
Chia hai vế phương trình cho cos u 0 ta được phương trình :•≠

()
22
atg u btgu c d 1 tg u++=+
Đặt ta có phương trình :
ttgu=
()
2
adt btcd0−++−=

Giải phương trình tìm được t = tgu

Bài 127 : Giải phương trình
(
)

33 2
cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0 *−− +=
•
Khi
xkthìcosx0vàsinx
2
π
=+π = =±1

thì (*) vô nghiệm
•
Do không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho cos
3
x
=cos x 0
ta có (*)
(
)
32 2
1 4tg x 3tg x tgx 1 tg x 0⇔− − + + =
()
()
⇔+−−=
⇔+ −=
⇔=−∨=±
ππ
⇔=−+π∨=±+π∈

32
2

⎟
⎠

22
tg x 1 tg x 3
tgx 1 tg tgx tg
43
xkxk,k
43Bài 130 : Giải phương trình
(
)
sin 2x 2tgx 3 *+=

Chia hai vế của (*) cho
2
cos x 0
≠
ta được
(*)
22
2sin xcosx 2tgx 3
cosx cosx cosx
⇔+=
2

()
(

⇔=+π∈
tgx 1
xk,k
4Bài 131
: Giải phương trình
(
)
3
sin x sin 2 x sin 3 x 6 cos x *+=

()
23
* 2sin x cos x 3sin x 4 sin x 6cos x⇔+−=
3

(
)
•==±Khi cos x 0 ( sin x 1) thì * vô nghiệm

• Chia hai vế phương trình (*) cho
3
cos x 0
≠
ta được
()
*
⇔

Bài 132 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003)
Giải phương trình
()
2
cos2x 1
cot gx 1 sin x sin 2x *
1tgx 2
−= + −
+

Điều kiện
sin

2x 0 v à tgx 1≠≠−
Ta có :
(
)
22
22
cos x cos x sin x
cos2x cos x sin x
sin x
1tgx cosxsinx
1
cos x
−
−


()
()
=≠⎡
⎢
⇔
⎢
=− ≠
⎢
⎣
2
2
tgx 1 nhận so với tg x 1
1sinx
tg x do cos x 0
cos x
cos x
−

()
()
π
⎡
=+π∈
⎢
⇔
⎢
−+=
⎢
⎣

(
)
sin 3x cos 3x 2cos x 0 *++ =

()
()
(
)
33
*3sinx4sinx4cosx3cosx2cosx⇔− + −+ 0=
=

33
3sinx4sinx4cosxcosx0⇔− + −

Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho ta
được
3
cos x 0≠
()
()
(
)
23 2
* 3tgx 1 tg x 4tg x 4 1 tg x 0⇔+−+−+=

()
()
⇔− − + + =
=

()
3
5sin4x.cosx
6sin x 2cos x *
2cos2x
−=Điều kiện :
22
cos2x 0 cos x s in x 0 tgx 1≠⇔ − ≠⇔ ≠±
Ta có : (*)
3
10sin 2x cos2x cos x
6sinx 2cos x
2cos2x
cos2x 0
⎧
−=
⎪
⇔
⎨
⎪
≠
⎩

3
6sinx 2cos x 5sin2xcosx
tgx 1
⎧

tgx 1
⎧
−=
⎪
⇔
⎨
⎪
≠±
⎩()
2
ttgxvớit 1
6t 1 t 2 10t
=≠
⎧
⎪
⇔
⎨
+−=
⎪
⎩
±

=≠±=≠±
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨
−

*tgx1tgx4tgx1tgx⇔+−++ 0=

()
()
=
⎧
⇔
⎨
−+++=
⎩
=
⎧
⎪
⇔
⎨
−++
⎪
⎩
⇔=
π
⇔=+π∈
32
2
ttgx
3t t t 1 0
ttgx
t13t 2t1 0
tgx 1
xk,k
4

()
⇔+−−=
=
⎧
⇔
⎨
+−−=
⎩
=
⎧
⎪
⇔
⎨
+−=
⎪
⎩
⇔=−∨=±
ππ
⇔=−+π∨=±+π∈

32
32
2
tg x tg x 3tgx 3 0
ttgx
tt3t30
ttgx
t1t 3 0
tgx 1 tgx 3
xkxk,k

=
±
nên
(*) thành :
(
)( )
46m 32m1 0±− ± −=10vônghiệm
⇔
=

chia hai về (*) cho
3
cos x 0
≠
thì
() ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
()
322
* 4 6m tg x 3 2m 1 tgx 1 tg x 2 m 2 tg x 4m 3 1 tg x 0⇔− + − + + − − − + =
2
)

()
()
2
ttgx
t1t 4t5 0
=
⎧
⎪
⎨
−
−+=
⎪
⎩

π
⇔=⇔=+π∈

tgx 1 x k , k
4b/ Ta có : x0,
4
π
⎡
∈
⎢
⎣⎦
⎤
⎥

==
−
và (d) y = 2m
Ta có :
()
()
2
2
t4t
y' f t
t2
−+
==
−
3
Do (**) luôn có nghiệm t = 1
[
]
0,1∈
trên yêu cầu bài toán
()
(
)
() ()
⎡=
⇔
⎢

()
,().()
()
af
f f hay
af
S
Δ≥
⎧
⎪
≥
⎪
⎪
∈⇔ ≤
⎨
≥
⎪
⎪
≤
≤
⎪
⎩
0
00
01 0 1 0
10
01
2

()()


Do đó (2) vô nghiệm trên
[
)
,(m hay m hay f )
⇔
<>
3
01 1 1 0
4
=3
mm
4
1
⇔
<∨ ≥BÀI TẬP

1. Giải các phương trình sau :
a/
32
cos x sin x 3sin x cos x 0+− =
b/
()
(

sin x cos x sin x cos x+=−
k/
22
3tg x 4tgx 4 cot gx 3cot g x 2 0++ + +=
m/
(sin)
cos ( )
cos
x
x
tg x tgx
x
π
+
−+ − −=
22
2
31
38
42
0

n/
sin x cos x
1
sin 2x
+
=
0B0
AB0
≥∧ ≥
⎧
⎨
+=
⎩
thì A = B = 0

Bài 156 Giải phương trình:

22
4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + +=

Ta có:
()
(
)
⇔−++
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
π
Bài 157
Giải phương trình:

(
)
2
8cos 4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+− +=

Ta có:
() ( )
⇔
+++−* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0=
()
()
⇔+++−
⇔++−=
⎧⎧
=− =−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
==π∈
⎩⎩

2
2
4cos 4x 4cos4x 1 1 cos3x 0





= = = +



= +


1
cos 4x
2
22
x +m2hay xm2hayxm2,m
33
2
xm2,m
3

(ta nhaọn
=
k1 vaứ loaùi k = 0 )

Baứi 158 Giaỷi phửụng trỡnh:

()
()
2

+=



+ =


22 2
2
242
2
222
1
Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 0
4
111
sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
244
11
sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
24




+=





=

=



sin 4x 0
sin 4x 0
1
sin 3x 0 sin x
2
sin x 0(VN)
sin 3x 1





=



=

3
sin 4x 0
1
sin x
2
3sinx 4sin x 1

66
5
xk2x k2,k
66 Trường hợp 2 Phương pháp đối lập
Nếu
A
MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=
⎩
thì
A
BM
=
=

Bài 159 Giải phương trình:
−=+
44
sin x cos x sin x cos x (*)Ta có: (*)
⇔−=+

2
cos 2x sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 0
sin 2x 0 (cos 2x 1 )
sin 2x 2 sin 2x
cos 2x 1
xk,k
2

Cách khác
Ta có
−≤ ≤≤+
44 4
x cos x sin x sin x sin x cos xsin

Do đó
=
⎧
⎪
⇔⇔=
⎨
=
⎪
⎩
4
cos x 0
(*) cos x 0

+
≥

Vậy
22
4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+
Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi
⎧
=
⎧
⎪
=
=⇔
⎨⎨
=
−
⎩
⎪
=−
⎩
2
2
2
sin 3x 1
sin x 1
sin x 1
sin 3x 1
sin 3x 1
si

n x 0 cos x 0≥∧ ≥
Ta có: (*)
()( )
(
)
(
)
22
cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔− + = − +

()
()
−=
⎡
⎢
⇔
+=+ +
⎢
⎣
cos x sin x 0 (1)
1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2)

Ta có:

(1)
π
⇔=⇔=+π∈


Do đó (2) vô nghiệm
Vậy: (*)
π
⇔=+π∈

xk,k
4Bài 162: Giải phương trình:
3 cos x cos x 1 2(*)−− += Ta có: (*) 3cosx 2 cosx1⇔− =+ +

()
3cosx 5cosx4cosx1
2cosx 1 4 cosx 1
⇔− =+ + +
⇔− + = +

Ta có:
(
)
2cosx 1 0 x−+≤∀

mà 4cosx 1 0x+≥∀
Do đó dấu = của (*) xảy ra
cos x 1
⇔

Dấu = xảy ra
2
cos3x 2 cos 3x⇔=−22
cos3x 0
cos 3x 2 cos 3x
cos3x 0
cos3x 1
cos3x 1
≥
⎧
⇔
⎨
=−
⎩
≥
⎧
⇔⇔
⎨
=±
⎩
=
Mặt khác:
()
2
21 sin 2x 2+≥
dấu = xảy ra
sin 2x 0⇔=

22 5
tg x cotg x 2sin x (*)
4
π
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠ Điều kiện:
sin 2x 0
≠

• Do bất đẳng thức Cauchy:
22
tg x cotg x 2
+
≥
dấu = xảy ra khi tgx cotgx
=

• Mặt khác:
sin x 1
4
π
⎛⎞
+
≤
⎜⎟

⎝⎠

Dấu = của (*) xảy ra
tgx cotgx
sin x 1
4
=
⎧
⎪
⇔
π
⎨
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩⎧
=
⎪
⇔
⎨
π
=
+π∈
⎪

+=⇔
⎨
=
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1=
⎧
−=⇔
⎨
=
−
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1=
−
⎧
+=−⇔
⎨
=
−
⎩
sin u 1

=
⎧
⎧
⎪⎪
⇔⇔ ⇔=π
π
⎨⎨
=∈
=
⎪⎪
⎩
⎩
π
π= ⇔ =
=∈Ζ =

∈


xk,k
cos 2x 1
x8m,m
8h
3x
x,h
cos 1
3
4
8h 8h
Do : k k

cos2x cos4x cos6x 2cos3x cos x 2cos 3x 1
2cos3x cosx cos3x 1
4 cos3x.cos2x.cos x 1
++ = + −
=
+−
=−

Vậy:
()
1
cos3x.cos2x.cos x cos2x 6cos 4x cos 6x 1
4
=
+++

Do đó:
() ()
()
⇔++= ++
⇔++=
19
* cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x
44
39
cos2x cos4x cos6x
44
+
⇔=− + + +
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
13 31
* 2 cos2x sin 2x sin x cos x
22 22
⎞
⎟
⎟
⎠ππ
⎛⎞⎛
⇔= − + +
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2sin2x sinx
66
⎞
⎟
⎠

⎧π
⎛⎞
ππ
⎧
−=
−

⎪
⎩
∈





sin 2x 1
2x k2 ,k
6
62
xh2,h
sin x 1
62
6
xk,k
3
xh,h
3
xh2,h
3

Cách khác

⎧π
⎛⎞
⎧π
⎛⎞
−=

62

⎧π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎪
π
⎪
⎝⎠
⇔⇔=+
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩
π∈


sin 2x 1
6
xh,h
3
xh2,h
3Bài 168: Giải phương trình:
()

⇔=∨ +=
1
cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0
2
cos x 0 cos 3x cos x 2

=
⎧
⇔=∨
⎨
=
⎩
cos 3x 1
cos x 0
cos x 1

=
⎧
⇔=⇔
⎨
−
=
⎩
⇔=∨=
π
⇔=+π∨= π∈
3
cos x 1
cos x 0
4cos x 3cosx 1

xk2,k x k2,k (loại
xk,k
cos 2x 1 cos 2x 1
2
)π
⇔=+π∨= π∈

xkxk2,k
2

Bài 169: Giải phương trình:

()
1
tg2x tg3x 0 *
sin x cos 2x cos3x
++ =Điều kiện:
sin 2x cos 2x cos3x 0
≠

Lúc đó:
()
⇔++
sin 2x sin 3x 1

⎩⎩
33
2
sin x.sin 5x 1
1
cos6x cos4x 1
2
cos 6x cos 4x 2
tcos2x tcos2x
cos6x 1
4t 3t 1 4t 3t 1
cos4x 1
t0
2t 1 1
=

Do đó: (*) vô nghiệm.
Cách khác
=
=−
⎧⎧
⇔=−⇔
⎨⎨
=
−=
⎩⎩
sin x 1 sin x 1
sin x.sin 5x 1 hay
sin 5x 1 sin 5x 1


* 1 cos 6x cos2x 1 cos2x 0
22
=()
⇔
=
⇔
+=
⇔+=
=
⎧
⇔
⎨
=
⎩
⎧
−=
⇔
⎨
=
⎩
⎧
=
⇔
⎨
=
⎩
⇔=

⎧⎧
⇔
⎨⎨
=
=−
⎩⎩
cos2x 1 cos2x 1
hay
cos6x 1 cos6x 1

=π∈ =π+π∈
⎧⎧
⇔
⎨⎨
==−
⎩⎩
2x k2 , k 2x k2 , k
hay
cos 6x 1 cos 6x 1

π
=∈

k
x,k
2

Cách khác
==
⎧⎧

π
π
<⇔>∀≠+∈
<⇔>∀≠+
2
2
∈



sin sin ,
cos s ,
mn
mn
x
xnmx
x
co x n m x
≤⇔≥
≤⇔≥
∀
∀Bài 171: Giải phương trình:
()
2
x
1cosx
2

)
(
)
x0,:x0nêny'xy'0∀∈ ∞ > > =0()
(
)
(
)
x,0:x0nêny'xy'0∀∈−∞ < < =0

Do đó:

Vậy :
2
x
ycosx1x
2
=+ ≥∀∈R

Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0
Do đó
()
*x0
⇔
=•
x = 1 sinx = 0 ∨
⇔
x =
±
,kxkk
π
ππ
+
∨= ∈22
2


Cách khác
(*)
sin sin sin sin
x
ha
y
xx x⇔= +=+
4246
01

sin sin
x
ha
y
x⇔=
2
01=


(
)
()(
() ()
+= −
−++−
+=−
=
a2
7. sin x cos x 2 2 sin 3x
8. sin 3x cos 2x 2 sin 3x cos 3x 1 sin 2x 2cos 3x 0
9. tgx tg2x sin 3x cos 2x
10. 2 log cot gx log cos x
)
=

()
π
⎡⎤
=∈
⎢⎥
⎣⎦
+=
−+ +
sin x
13 14
11. 2 cos x với x 0,
2
12. cos x sin x 1
13. cos 2x cos 6x 4 sin 2x 1 0=

2cosx 1 0 1
3
sin 2x 2
2
−=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩Ta có:
()
1
1cosx
2
⇔
=()
xk2k
3
π
⇔=±+ π∈Z

Với
xk

2
(loại)
Do đó nghiệm của hệ là:
2,
3
π
=
+π∈

xkkBài 174: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 1
xy
3
+
=
⎧
⎪
π
⎨
+=
⎪
⎩Cách 1:

Hệ đã cho

π
π
⎪⎪
+=
+=
⎪
⎪
⎩
⎩
xy
xy
2.sin .cos 1
cos 1
62
2
xy
xy
3
34
2
2
3
3
−
⎧
−= π
=π

⎨
π
⎪
=−π
⎪
⎩
xk
kZ
ykCách 2:
Hệ đã cho

3
3
31
sin sin 1
cos sin 1
3
22
3
3
sin 1
2
3
32
2
6
2

⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+
=+ π
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩
π
⎧
=+ π
⎪
⎪
⇔∈
⎨
π
⎪
=− π
⎪
⎩


2sin cos 2 (1)
22
xy xy
2cos cos 2 (2)
22
+−
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
+−
⎪
=
⎪
⎩

Lấy (1) chia cho (2) ta được:

+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
xy xy
tg 1 ( do cos 0
22
−
=

4
π
⎛⎞
⇔−
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔− = π∈
=

x
xhh

Do đó: hệ đã cho
()
2,
4
2,,
4
π
⎧
=+ π∈
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=
+− π ∈

++−=
⎪
⎩
⎧π π
⎛⎞ ⎛⎞
−+ −=
⎜⎟ ⎜⎟
⎪
⎪⎝⎠ ⎝⎠
⇔
⎨
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⎪
++ +=
⎜⎟ ⎜⎟
⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩
sin x cos x sin y cos y 0
sin x cos x sin y cos y 2 2
2sin x 2sin y 0
44
2sin x 2sin y 2 2
44
sin sin 0
44
sin sin 0
44
sin 1

⎜⎟⎜⎟
⎪
⎪
π
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛⎞
⇔⇔+=
⎨⎨
⎜⎟
ππ
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎪⎪
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎪⎪
π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
⎩
+=
⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎩
⎧
ππ
+=+π
⎪
⎪

4
ZBài 176: Giải hệ phương trình:
−− =
⎧
⎪
⎨
+=−
⎪
⎩
tgx tgy tgxtgy 1 (1)
cos2y 3cos2x 1 (2)

Ta có:
tgx tgy 1 tgxtgy
−
=+()
2
1tgxtgy 0
tg x y 1
tgx tgy 0
1tgxtgy 0

4
π
⇔=++π,
với
x, y k
2
π
≠
+π

Thay vào (2) ta được:
cos2y 3 cos 2y k2 1
2
π
⎛⎞
+
++ π=−
⎜⎟
⎝⎠cos 2 3s 2 1
31 1
s2 cos2 sin2
222 6
yiny
in y y y
⇔− =−
π
⎛⎞

,
6
xkh
hk Z
yh
π
⎧
=++π
⎪
⎪
⇔∈
⎨
π
⎪
=+π
⎪
⎩Bài 177: Giải hệ phương trình
3
3
cos x cos x sin y 0 (1)
sin x sin y cos x 0 (2)
⎧
−+=
⎪
⎨
−+=
⎪

1
cos x.sin x sin 2x sin x
2ππ
⎛⎞⎛
=− −+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
1
sin sin k
22 4
⎞
π
⎟
⎠π
⎛⎞
=− − + π
⎜⎟
⎝⎠
1
sin k
24⎧

⎪⎪
⎪⎪
∨
⎨⎨
=α+ π ∈ =−α+ π ∈
⎡⎡
⎪⎪
⎢⎢
⎪⎪
=π−α+ π ∈ =π+α+ π ∈
⎣⎣
⎩⎩




x2m,m x 2m1,m
44
yh2,h y 2h,h
yh2,hyh2,hII. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG

Bài 178:
Giải hệ phương trình:
()
()
1
sin x.cos y 1

⇔
⎨
⎪
−=
⎪
⎩
−()
(
)
() ()
()
+
+−=⎧
⎪
⇔
⎨
−=
⎪
⎩
−
+
+−=⎧
⎪
⇔
⎨
−=
⎪

sin x y 1
sin x y 0
xy k2,k
2
xy h,h()
()
ππ
⎧
=− + + ∈
⎪
⎪
⇔
⎨
ππ
⎪
=− + − ∈
⎪
⎩
≠


x2kh,k,h
42
y2kh,k,h
42
(nhận do sin y cos x 0)


⎧
=−
⎪
⎪
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
+=− +⎧
⎪
⇔
⎨
−= −
⎪
⎩
)
)

2,
2
,
xy k k
xyhh
π
⎧
+
=− + π ∈
⎪
⇔

⎩III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ

Bài 179: Giải hệ phương trình:

()
()
23
1
3
23
cotg cotg 2
3
tgx tgy
xy
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
−
⎪
+=
⎪
⎩Đặt

3
3
23
XY 1
X
X10
3
X3 3
X
3
3
Y
Y3
3
⎧
⎧
+=
⎪
+=
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
=−
−
−=
⎩
⎪
⎩
⎧⎧