một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Phơng pháp 1 : dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta chứng minh A B > 0
Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M
2


0 với M
Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :
a) x
2
+ y
2
+ z
2


xy+ yz + zx
b) x
2
+ y
2
+ z
2

2xy 2xz + 2yz

c) x
2
+ y
2

R
Vì (x-y)
2


0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y; (x-z)
2


0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra
khi x=z
(y-z)
2


0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x
2
+ y
2
+ z
2


xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu: x
2
+ y
2
+ z

2
+3 2( x+ y +z ) = x
2
- 2x + 1 + y
2
-2y +1 + z
2
-2z +1
= (x-1)
2
+ (y-1)
2
+(z-1)
2

0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)
2
22
22






+

+ baba

2
4
2
2222
bababa ++

+
=
( )
abbaba 222
4
1
2222
+

=
( )
0
4
1
2
ba
. Vậy
2
22
22





33






++

++
cbacba
; Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát:
2
21
22
2
2
1







+++

+++
n

2
b)
baabba ++++ 1
22
c)
( )
edcbaedcba +++++++
22222
Giải: a)
ab
b
a +
4
2
2
abba 44
22
+
044
22
+ baa

( )
02
2
ba
(bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy
ab
b


( ) ( )
edcbaedcba +++++++ 44
22222
( ) ( ) ( ) ( )
044444444
22222222
+++++++ cacadadacacababa


( ) ( ) ( ) ( )
02222
2222
+++ cadacaba
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :
3
4
1
1
1
1

+
+
+ ba
Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng ;

22
vì : x

y nên x- y

0

x
2
+y
2


22
( x-y)


x
2
+y
2
-
22
x+
22
y

0

x

2


0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Giải : Ta có : a
3
+ b
3
+ ab


2
1
<=> a
3
+ b
3
+ ab -
2
1


- 1

0 ( vì b = a -1 ) 4a
2
- 4a + 1

0 ( 2a - 1 )
2


0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a
3
+ b
3
+ ab


2
1
2
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =
2
1
Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc
A/ một số bất đẳng thức hay dùng
1) Các bất đẳng thức phụ:
a)
xyyx 2
22

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski:
( )
( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
2

nnnn
xaxaxaxxaaa
+++++++++
4) Bất đẳng thức Trê- b-sép:
Nếu





CBA
cba




cba
b/ Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a)

8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:
( )
xyyx 4
2
+
Tacó
( )
abba 4
2
+
;
( )
bccb 4
2
+
;
( )
acac 4
2
+


( )
2
ba +

Giải: áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c)
)(2 cba +

cba
a
cb
a
++

+
2
Tơng tự ta thu đợc :
cba
b
ac
b
++

+
2
,
cba
c
ba
c
++

+
2
Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :

)
2
= (
22
11 xyyx +
)
2
(
1x
;
1y
)


(x
2
+ y
2
)(1 - y
2
+ 1 - x
2
) => x
2
+ y
2


1
Ta lại có : (3x + 4y)

1
22
yx
yx
yx






=
=
5
4
5
3
y
x
. Điều kiện :
2
5
2
3
x
Ví dụ 3: Cho a, b, c

0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a,
6+++++ accbba

1 +=
++
+
aa
a
Tơng tự :
1
2
1 ++
b
b
;
1
2
1 ++
c
c
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :
5,33
2
111 =+
++
+++++
cba
cba
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1
Vậy :
5,3111 <+++++ cba
Ví dụ 4 : Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
9

a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
=
++++++ )()()(3
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
9
111
++
cba



yx +
4
4
Ví dụ 6: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

222222
)()( dcbadbca ++++++
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd

2222
. dcba ++
mà
( ) ( ) ( )
2222
22
2 dcbdacbadbca +++++=+++
( )
22222222
.2 dcdcbaba ++++++

222222
)()( dcbadbca ++++++
Ví dụ 7: Chứng minh rằng:
acbcabcba ++++
222
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có

+
+
>
b Nếu
1<
b
a
thì
cb
ca
b
a
+
+
<
2) Nếu b, d >0 thì từ

d
c
db
ca
b
a
d
c
b
a
<
+
+

<
++
<
++
1
(1)
Mặt khác :
dcba
a
cba
a
+++
>
++
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
dcba
a
+++
<
cba
a
++
<
dcba
da
+++
+
(3)
Tơng tự ta có:

bad
d
dcba
d
+++
+
<
++
<
+++
(6)
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có
21 <
++
+
++
+
++
+
++
<
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
điều phải chứng minh

<


d
c
d
cd
db
cdab
b
ab
=<
+
+
<
2222
Vậy
b
a
<
d
c
db
cdab
<
+
+
22
điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Cho a;b;c;d là các số nguyên dơng thỏa mãn : a+b = c+d =1000

n
uuu
21
Biến đổi các số hạng
k
u
về thơng của hai số hạng liên tiếp nhau:
k
u
=
1+k
k
a
a

Khi đó P =
1
1
13
2
2
1

++
=
nn
n
a
a
a

với k = 1,2,3, ,n-1
Do đó:
2
1
22
1

2
1
2
1

2
1
1
1
==++>++
+
+
+ n
n
nnnnn
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
( )
112
1

3
1
2

1
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có

( )
112
1

3
1
2
1
1 +>++++ n
n
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng
2
1
1
2
<

=
n
k
k

Zn

6
Giải: Ta có
( )

2
1
1
2
1
222
2
2
2
<+++


<
<
<
n
nnn
Vậy
2
1
1
2
<

=
n
k
k
Phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0; và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-



+<
+<
+<
)(
)(
)(
2
2
2
bacc
cabb
cbaa
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > b-c
222
)( cbaa >
> 0
b > a-c
222
)( acbb >
> 0

giác) . Chứng minh rằng :
2
111


+

+
cpbpap
)
111
(
cba
++
Giải: Ta có : p - a =
0
2
>
+ acb
Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ;
áp dụng bất đẳng thức
yxyx +
+
411
ta đợc ;
cbpapbpap
4
)()(
411
=


+

=> điều phải chứng minh .
Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c. Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
Phơng pháp 7: đổi biến số
Ví dụ1: Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì :
2
3

+
+
+
+
+ ab
c
ac
b
cb
a
Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c =
2
zyx ++
=> a =
2
xzy +
, b =
2
yxz +
, c =

2
3
111
2
3
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
=+++++++
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng
9
2

<++=++ cbazyx

(1)
9
111
++
zyx
Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
++ zyx
3.
3
xyz

++
zyx
111
3. .
3
1
xyz



( )
9
111
.



( )
0. >xfa

a
b
x
Nếu
0>
thì
( )
0. >xfa
với
1
xx <
hoặc
2
xx >
(
12
xx >
)

( )
0. <xfa
với
21
xxx <<
Ví dụ: Chứng minh rằng:
( )
036245,

nn >
ta thực hiện các bớc sau :
1 Kiểm tra bất đẳng thức đúng với
0
nn =
2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy
nạp )
3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh
rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
4 kết luận BĐT đúng với mọi
0
nn >
Ví dụ1: Chứng minh rằng

nn
1
2
1

2
1
1
1
222
<+++

1; > nNn
(1)
Giải : Với n =2 ta có
2


( )
1
1
2
1
11
2
)1(
11

2
1
1
1
2
2222
+
<
+
+<
+
++++
k
k
kkk


( )
k

+<+<
+
++
kkk
k
k
k

k
2
+2k<k
2
+2k+1. Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)đợc
c/m.
Ví dụ2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n

3 thì : 2
n
> 2n + 1 (*)
Giải : + Với n = 3 , ta có : 2
n
= 2
3
= 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng
với n = 3 .
+ Giả sử (*) đúng với n = k (k

N ; k

3) , tức là : 2

4
3
.
6
5

n
n
2
12


13
1
+n
(*) (n là số nguyên dơng )
Giải : + Với n = 1 , ta có : VT = VP =
2
1
. Vậy (*) đúng với n = 1 .
9
+ Giả sử (*) đúng với n = k

1 ta có :
2
1
.
4
3
.

+
+
)1(2
12
k
k

13
1
+
k
.
)1(2
12
+
+
k
k
do đó chỉ cần chứng minh :
13
1
+
k
)1(2
12
+
+
k
k


Phơng pháp 10: Chứng minh phản chứng
Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết
hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là
điều trái ngợc nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0. CMR: a > 0, b>0, c>0
Giải : Giả sử a

0 thì từ abc > 0

a

0 do đó a < 0
Mà abc > 0 và a < 0

cb < 0
Từ ab+bc+ca > 0

a(b+c) > -bc > 0
Vì a < 0 mà a(b +c) > 0

b + c < 0
a < 0 và b +c < 0

a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0
Vậy a > 0 tơng tự ta có b > 0 , c > 0
Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c , d thỏa mãn điều kiện: ac

2.(b+d). Chứng minh rằng có ít nhất
một trong các bất đẳng thức sau là sai:
ba 4

0
2
<ca
(vô lý)
Vậy trong 2 bất đẳng thức
ba 4
2
<
và
dc 4
2
<
có ít nhất một các bất đẳng thức sai
Ví dụ 3: Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng
Nếu x+y+z >
zyx
111
++
thì có một trong ba số này lớn hơn 1
Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz xy- yz + x + y+ z 1 =x + y + z (
zyx
111
++
) vì xyz
= 1
theo giả thiết x+y +z >
zyx
111
++
nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

( ) ( )
4.4
24
2
22
++=+ yxyxyx
Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với

( ) ( ) ( )
224
.844 yxyxyx ++


( ) ( )
044
24
+ yxyx


( )
[ ]
02
2
2
yx
BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy

1 .Chứng minh rằng:
xyyx +

1
1
222









+

+
+








+

+ xyyyx


( )

22

++

+
++

xyy
yxy
xyx
xyx


( ) ( )
( ) ( )
( )
0
1.1.1
1
22
2

+++

xyyx
xyxy

BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh
ii / dùng bất đẳng thức phụ
1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1. Chứng minh rằng:

.






++++
cba
cba
(1)
Giải : (1)


9111 ++++++++
a
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a


93

b
b
a
áp dụng BĐT phụ
2+
x
y
y
x
Với x,y > 0
Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng. Vậy
( )
9
111
.






++++
cba
cba
(đpcm)
Iii / dùng phơng pháp bắc cầu
So sánh 31
11
và 17
14

a b c d a b c a b c d
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
(1)

b c b c b c a
a b c d b c d a b c d
+ + + + +
< <
+ + + + + + + +
(2)

d a d a d a c
a b c d d a b a b c d
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
(3)
Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :

2 3
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
(đpcm)
2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác
Chứng minh rằng:

2c c c
a b c b a a b c
< <
+ + + + +
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có :

1 2
a b c
b c c a a b
< + + <
+ + +
(đpcm)
V/ phơng pháp làm trội :
1) Chứng minh BĐT sau: a)
1 1 1 1

1.3 3.5 (2 1).(2 1) 2n n
+ + + <
+
; b)
1 1 1
1 2
1.2 1.2.3 1.2.3 n
+ + + + <
Giải : a) Ta có

( ) ( )
( )
2 1 (2 1)
1 1 1 1 1

1 1 2 2
2 2 3 1n n n

+ + + + < <
ữ ữ ữ


(đpcm)
ứng dụng của bất đẳng thức
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
- Kiến thức : Nếu f(x)

m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m .
Nếu f(x)

M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M .
12
Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị .
Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đ-
ơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức
Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chú ý :
BABA ++

Xảy ra dấu '' = '' khi AB

0

2
+ b
2



2
1
Vậy min B =
2
1
khi a = b =
2
1
Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x
2
+ x)(x
2
+ x - 4)
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = - x
2
- y
2
+ xy + 2x +2y
Giải: a, A = (x
2
+ x)(x
2
+ x - 4) . Đặt : t = x
2

3
2
1
x

Vậy minC = 2 khi
2
3
2
1
x
b, Tơng tự : minD = 9 khi : -3

x

2
c, minE = 4 khi : 2

x

3
13
Bài 4 : Cho ba số dơng x , y , z thoả mãn :
x+1
1
+
y+1
1
+
z+1

Tơng tự :
y+1
1


2
)1)(1( zx
zx
++

z+1
1


2
)1)(1( yx
xy
++
Từ đó suy ra : P = xyz


8
1
. MaxP =
8
1
khi x = y = z =
2
1
Bài 5 : Cho 3 số dơng a, b, c thảo mãn : a + b + c =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F



3(a
2
+ b
2
+ c
2
) => a
2
+ b
2
+ c
2



3
1
Tơng tự :
2
)
111
(
cba
++


3
)

) + (
c
a
a
c
+
)

3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
cba
111
++


9 =>
2
)
111
(
cba
++


81 =>
)
111
(
222
cba

x
x 1
+
y
y 2
+
z
z 3
Theo BT Cụsi ta cú :
2
11
1
+

x
x
=>
x
x 1

2
1

Tơng tự :
22
1
2


y

x
với x > 1 .
b. Tìm giá trị lớn nhất của K =
2
1. xx

HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 :
2 - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình .
Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến
đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình . Nếu
VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phơng trình có
nghiệm .
Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn => phơng trình vô nghiệm .
Bài 1 : Giải phơng trình : 13
1x
+ 9
1+x
= 16x
Giải: Điều kiện : x

1 (*)
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13
1x
+ 9
1+x
= 13.2.
1
2
1
x

4
5
thoả mãn (*)
Phơng trình (1) có nghiệm dấu '' = '' ở (2) xảy ra. Vậy (1) có nghiệm x =
4
5
.
Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của L =
32 x
+
x25
b. Giải phơng trình :
32 x
+
x25
- x
2
+ 4x - 6 = 0 (*)
Giải : a. Tóm tắt : (
32 x
+
x25
)
2


2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4

32 x
+

Giải : TXĐ : -2

x

6.
VP = (x - 3)
2
+ 4

4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 .
VT
2
= (
x6
.1 +
2+x
.1)
2


(6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
=> VT

4 , dấu '' = '' xảy ra khi
x6
=
2+x
x = 2 .
15
=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm

x




=
=
2
2
y
x

=> phơng trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 .
3. Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên
Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh
hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc đợc các kiến thức về bất đẳng thức thì
mới vận dụng đợc .
Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên .
Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
zyx
111
++
= 2
Giải : Không mất tính tổng quát, ta giả sử x

y

z ta có : 2 =
zyx
111

2
+y
2


1
2
; b) x
4
+y
4

1
8

Bài 2: Cho a,b, c, d ,e là các số thực CMR: a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
=a(b+c+d+e)
Bài 3: Cho hai số dơng x,y và x
3
+y
3

. CMR: a
4
+b
4
+c
4

abc(a+b+c)
Bài 8: Cho x
2
+4y
2
=1 CMR:
5
2
x y
Bài 9: CMR: Nếu
1; 1a b< <
thì
1a b ab+ < +
Bài 10: CMRvới mọi số nguyên dơng n

3thì 2
n
> 2n+1
16