Sở giáo dục và đào tạo
Phú Thọ
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THcs cấp tỉnh
năm học 2010-2011
MễN TON
Thi gian lm bi 150 phỳt, khụng k thi gian giao
thi cú mt trang

Cõu 1 (4 im)
a) Cho
(
)
(
)
2 2
x 2011 x y 2011 y 2011+ + + + =
. Tớnh giỏ tr ca biu thc
2011 2011
T x y= +
.
b) Tớnh tng
S =
4 3 8 15 240 14399

1 3 3 5 119 121
+ + +
+ + +
+ + +
.
(mi s hng trong tng trờn cú dng
2

4 3 2
B n n n n 1= + + + +
l s chớnh phng.
b)
So sỏnh M v N bit
( ) ( )
2011 2010
2010 2010 2011 2011
M 2010 2011 , N 2010 2011= + = +
.
Cõu 4 (2 im)
Cho a, b, c l cỏc s dng. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
4a b 3c 8c
A
a b 2c 2a b c a b 3c
+
= +
+ + + + + +
.
Cõu 5 (7 im)
Cho ng trũn (O; R) ng kớnh AB. Qua B k tip tuyn d ca ng trũn (O). MN l mt
ng kớnh thay i ca ng trũn (M khụng trựng vi A, B). Cỏc ng thng

AM v AN
ct ng thng d ln lt ti C v D.
a) Chng minh
AM.AC AN.AD=
.
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca tớch
AC.AD

x 2011 x y 2011 y 2011+ + + + =
. Tính giá trị của biểu thức
2011 2011
T x y= +
.
b) Tính tổng
S =
4 3 8 15 240 14399

1 3 3 5 119 121
+ + +
+ + +
+ + +
.
(mỗi số hạng trong tổng trên có dạng
2
4n 4n 1
2n 1 2n 1
+ −
− + +
, với n
N∈
và 1
≤
n
≤
60).
a) (2 điểm). Từ giả thiết, suy ra
(
)

( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3 3
4 4 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2
2 1 2 1 2 1 2 1
k k k k
k k
k k k k
+ − + − −
+ − −
=
− + + + − −
0,75
Cho k lần lượt nhận các giá trị 1, 2, …, 60. Ta được:
(
)
3 3
4 3 1
3 1
2
1 3
+
= −
+
0,75
Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2010-2011

0,5
Câu 2 (3 điểm)
Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
x 3x 2x 5 y
y 3y 2y 5 z
z 3z 2z 3 x .

− + − =

+ + − =


+ + − =

Viết lại hệ đã cho dưới dạng
3 2
3 2
3 2
x 3x 2x 5 y
y 3y 2y 5 z
z 3z 2z 5 x 2 .

− + − =

+ + − =




(I)
0,25
Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của t, y, z nên ta có thể giả sử
t = max
{ }
, ,t y z
.
0,25
1) Trường hợp
≥ ≥t y z
. Từ hệ (I) ta có

3 2
3 2
t 3t 2t 5 t
z 3z 2z 5 z

+ + − ≤


+ + − ≥



( ) ( )
( ) ( )
2
2
t 1 t 2 1 0

y
≤


≥

Do đó t = y = z = 1.
0,75
Nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (x: y: z) = (3: 1: 1) 0,25
Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2010-2011
3
Câu 3 (4 điểm)
a) Tìm số nguyên dương n để B = n
4
+ n
3
+ n
2
+ n + 1 là số chính phương.
b)
So sánh M và N biết
( ) ( )
2011 2010
2010 2010 2011 2011
M 2010 2011 , N 2010 2011= + = +
.
a) (2 điểm). Đặt n
4
+ n
3

(2k)
2
> (2n
2
+n)
2

⇒
(2k)
2

≥
(2n
2
+n+1)
2
(do k và n nguyên dương)

⇒
4n
4
+ 4n
3
+ 4n
2
+ 4n + 4
≥
(2n
2
+n+1)

( )
( ) ( )
2010
2010
2010
2010 a b b
N 1 b
2010
M a b a b
a b a b
+ + 
 
 
= = +
 
+ +
 
+ +
0,50
Vì
2010
2010
b b
1 2010 2011 b
a b a b
 
< ⇒ + < =
 ÷
+ +
 

Khi đó:
4(y z 2x) 2x y 8(z x) 4y 2x 4z 8x
A 17
x y z x y x z
 
+ − − −
 
= + − = + + + −
 ÷
 ÷
 
 
0,50
Do đó
A 2 8 2 32 17 12 2 17≥ + − = −
0,50
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 0,50
Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2010-2011
4

2y 2x
2z 2 2x

=


=


( )

a) Chứng minh
AM.AC AN.AD=
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích
AC.AD
.
c) Ch/minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng cố định.
d) Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ
hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng
Hình vẽ:
E
I
K
D
d
N
O
P
A
P
B
A
M
N
B
C
F
C
M
D

Lại có
2
CD BD BC 2 BD.CD 2 AB 4R= + ≥ = =
(2) 0,50
Từ (1) và (2), suy ra
2
CD.AD 8R≥
0,50
Dấu “=” xảy ra khi MN vuông góc với AB 0,50
c) (2 điểm). Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp
MNC∆
, K là trung điểm của CD,
S là giao điểm của AK với MN.
Ta thấy tứ giác MNDC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm P nên
·
·
AMN ADC=
,
· ·
·
SAM KCA ANM= =
. Suy ra: MN vuông góc với AK
0,75
Lại có: PO vuông góc với MN nên AK song song với OP, mà PK song song với
AO. Suy ra: tứ giác AOPK là hình bình hành, hay KP = AO =R
0,75
Vì d là đường thẳng cố đinh, PK = R không đổi nên P thuộc đường thẳng song
song với d, cách d một khoảng R cố định.
0,50
d) (1,5 điểm). Trước hết ta chứng minh bài toán: Nếu tam giác ABC có các điểm

IC 2CF
=
(2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có
MA FB
=
CM CF
. Do đó MF // AB (định lí Ta lét đảo)
Mà AB
⊥
BC
⇒
MF
⊥
BC
⇒

·
0
90MFC =
0,25
Ta có
·
·
EFB EBA=
(cùng phụ với góc EAB)

·
·

0,25
–––––––––––––––––––
Hết
––––––––––––––––––––
Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2010-2011
6