CÁC BÀI TẬP PHẦN SỐ PHỨC
(
Biên soạn :Nguyễn Văn Ngọc NC2
)
Bài1: Biểu diễn các số phức sau và các số phức của chúng trên mặt phẳng phức
2+3i ; -4+2i ; -1-3i ; -5 ; 2i
Bài2: Tìm các số phức liên hợp với các số phức trên rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức
Bài3: Cho 2 số phức : z = a+bi ; z
'
= a
'
+b
'
i Với điều kiện nào giữa a,b,a
'
,b' thì
a/ Tổng , hiệu của z và z' là số thực ; là số thuần ảo
b/ Tích , thương của z và z' là số thực ; là số thuần ảo
c/ z
2
, z
3
là số thực ; là số thuần ảo
Bài4: Cho z và z' là hai số phức bất kì . Chứng minh rằng :
( )
( ') '
' '
. ' . '
( ' 0)
'
'

a/Điểm biểu diễn cúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x = -2 và x = 2
b/Điểm biểu diễn cúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng y = -3i và y = 3i
c/Điểm biểu diễn cúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2
Bài7: Phân tích ra thừa số phức
a/ a
2
+ 1 b/ 2a
2
+ 3 c/ 4a
2
+ 9b
2
d/ 3a
2
+ 5b
2

Bài8: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau
a/
1 3
i
+ b/
2 2
i
+
c/
3
i
−
d/

o o
i+
b/
(
)
2 cos18 sin18
o o
i+
(cos72 sin 72 )
o o
i+

c/
5(cos sin )3(cos sin )
6 6 4 4
i i
π π π π
+ +
d/
cos85 sin85
cos40 sin 40
i
i
+
+
 
 

e/
2 2

1
z
z
+
biết
1
1
z
z
+ =

Bài11: Tìm vị trí của những điểm biểu diễn các số phức
a/ Có module bằng 2 ; 3
b/ Có acgumen bằng 30
o
, 60
o
, 135
o
, -
4
π

Bài12: Áp dụng công thức Moivre để tính
a/
5
(cos15 sin15 )
o o
i+
b/

3
i
+

Bài15: Hãy giải các phương trình sau trong tập C
a/
2
3 2 0
x x
− + =

2
3 1 0
x x
− + =

2
3 2 2 3 2 0
x x
− + =

b/
2
2 4 0
ix ix
+ − =

2
(3 ) 4 3 0
x i x i

+ − +
=
− +
b/
2 1 8
z z i
− = − −
c/
2 3 1 12
z z i
− = −

d/
1
((2 ) 3 )( ) 0
2
i z i iz
i
− + + + =
e/
2
0
z z
+ =
f/
2
0
z z
+ =


z z
=
n/
2 Rez
( 1)( 1) 0
z e
+ − =
o/
2
( 1). tan(Im ) 0
z z
− =

(Trong đó Rez và Im z lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z)
Bài17:Giải các hệ phương trình sau
a/
12 5
8 3
4
1
8
z
z i
z
z
 −
=

−


1 2 3
1 2 3
1
1
. . 1
z z z
z z z
z z z

+ + =

+ + =


=


d/
1 2
2 2
1 2
. 5 5
5 2
z z i
z z i
= − −


+ = − +


Bài18:Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thoả mãn mỗi
điều kiện sau:
a/
1 1
z
+ <
b/
1 2
z i
< − <
c/
2 2 2 1
i z z
− = −
d/
2 1 2 3
iz z
− = +

Bài19*:Cho biết
1
z a
z
+ =
.Tìm số phức có module lớn nhất , module nhỏ nhất
Đáp số : Các số phức cần tìm là :
2
( 4)
2
i

cos sinz i
n n
π π
= +

Bài22: Giải các phương trình sau :
a/
1
( )
n
z z n N
−
= ∈
b/
( ) ( , , 0)
n n
z a z n N a R a
+ = ∈ ∈ ≠

Dạng 1: Các phép toán về số phức

Câu1: Thực hiện các phép toán sau:
a. (2 - i) +
1
2i
3


c.
3
1
3i
2Câu3: Thực hiện các phép tính sau:
a.
1 i
2 i
+

b.
2 3i
4 5i

+
c.
3
5 i

d.
( )( )
2 3i
4 i 2 2i
+

z 0
w 0
=


=


Câu6: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dới dạng
x i
x i
+


với x là số thực mà ta phải xác định
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc
Câu1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mn:
a.
z 3 1
+ =
b.
z i z 2 3i
+ =

Câu2: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mn:
a. z + 2i là số thực b. z - 2 + i là số thuần ảo
c.
z z 9
.
=

2
- 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e. ix
2
+ 4x + 4 - i = 0
g. x
2
+ (2 - 3i)x = 0
Câu2:
Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a.
( )
(
)
2
z 3i z 2z 5 0
+ + =

b.
(
)
(
)
2 2
z 9 z z 1 0
+ + =

c.
3 2
2z 3z 5z 3i 3 0
+ + =


b. z
2
- 3mz + 5i = 0 điều kiện:
3 3
1 2
z z 18
+ =

Bài tập:
Câu1:
Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a. 7 - 24i b. -40 + 42i c. 11 + 4
3
i d.
1 2
i
4 2
+

Câu2:
Chứng minh rằng:
a.

Nếu x + iy là căn bậc hai của hai số phức a + bi thì x - yi là căn bậc hai của số
phức a - bi
b.

Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì
x y

Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. (z + i)(z
2
- 2z + 2) = 0 b. (z
2
+ 2z) - 6(z
2
+ 2z) - 16 = 0
c. (z + 5i)(z - 3)(z
2
+ z + 3) = 0 d. z
3
- (1 + i)z
2
+ (3 + i)z - 3i = 0
Câu5:
Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. (z + 2i)
2
+ 2(z + 2i) - 3 = 0 b.
2
4z i 4z i
5 6 0
z i z i
+ +

+ =

Cho phơng trình: (z + i)(z
2
- 2mz + m
2
- 2m) = 0
Hy xác định điều kiện của tham số m sao cho phơng trình
a.

Chỉ có đúng 1 nghiệm phức
b.

Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
c.

Có ba nghiệm phức
Câu9:
Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. z
2
+
z
+ 2 = 0 b. z
2
=
z
+ 2
c. (z +
z
)(z -
z

2 2
1 1 1 1
i
x y 2 2
x y 1 2i

+ =



+ =


c.
2 2
x y 5 i
x y 8 8i
+ =



+ =


d.
x y 4
xy 7 4i
+ =



x y 5

+ =


+ =


h.
x y 3 2i
1 1 17 1
i
x y 26 26
+ = +



+ = +