Khóa luận tốt nghiệp
A. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Môn Toán ở trường tiểu học là một môn học rất quan trọng, góp phần đắc
lực thực hiện mục tiêu giáo dục tiểu học. Chính môn học này đã cung cấp cho học
sinh những kiến thức cơ bản về đọc, đếm, viết, so sánh các số, hình thành kỹ năng
thực hiện phép cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên, phân số, số thập phân…
1.2. Chúng ta cũng đã biết, toán học xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, từ yêu cầu
tính toán trong đời sống hằng ngày mà toán học ra đời. Toán học chứa đựng trong nó
rất nhiều thuật toán. Riêng môn Toán ở Tiểu học nổi rõ nhất là các thuật toán: thực
hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia; so sánh hai số (số tự nhiên, phân số, số thập
phân); tính chu vi, diện tích các hình… Do vậy, học giải toán giúp học sinh phát
triển các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, cụ thể hoá… chẳng hạn:
khi giải một bài toán đòi hỏi học sinh xác định rõ yêu cầu của bài toán, tiến tới phân
tích quá trình giải toán thành các bước cụ thể theo trình tự xác định, mô tả chính xác
các bước giải, sau đó so sánh các cách giải để rút ra cách giải tối ưu nhất. Sau khi
giải được bài toán, học sinh sẽ tổng hợp các cách giải và khái quát hóa thành cách
giải cho một lớp bài toán như lớp các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ
số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng. Từ cách giải bài toán thuần túy toán học, học sinh
có thể áp dụng để giải bài toán có nội dung thực tế. Khi giải các bài toán dạng tìm
hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng, còn giúp học sinh khả
năng diễn đạt (nói và viết) khi muốn nêu “tình huống” trong bài toán, trình bày được
“cách giải” bài toán, biết viết câu “ lời giải” và “phép tính giải”…
1.3. Là sinh viên ngành Sư phạm Tiểu học, chúng tôi nhận thấy không thể dạy
toán mà không nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, cần thiết liên quan đến
các kiến thức cần dạy, không nắm vững đặc thù của toán học nói chung, đặc biệt là
các bài toán có thể quy về dạng bài toán tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu
số và tỉ số của chúng có mặt trong chương trình môn Toán ở Tiểu học. Hệ thống các
bài toán có thể đưa về dạng này có số lượng khá lớn (lớp 4 có 20 bài toán dạng tìm
hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng và 16 bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu
số và tỉ số của chúng; lớp 5 có 8 bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của

3.2. Nhiệm vụ của đề tài
Để đạt được mục đích nêu trên, đề tài cần thực hiện những nhiệm vụ cụ thể
sau:
- Tìm hiểu một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài như vị trí, nhiệm vụ và
mục tiêu của môn Toán ở Tiểu học, đặc điểm học toán của học sinh tiểu học
- Hệ thống các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng.
- Hệ thống các bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng.
- Xây dựng một số bài toán có nội dung hình học, chuyển động đều mà cơ sở là
các bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của
chúng.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
- Các bài toán trong chương trình toán tiểu học có thể quy về dạng bài toán tìm
hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng rất phong phú.
- Nếu học sinh nắm vững cách giải các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng
số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng, thì học sinh có thể biết cách giải một số
bài toán có nội dung hình học, chuyển động đều được xây dựng trên cơ sở bài toán
dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng.
trang 2
Khóa luận tốt nghiệp
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Với đề tài này, chúng tôi tập trung tìm hiểu các bài toán thuộc dạng tìm hai số
khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng trong chương trình toán tiểu
học lớp 4, lớp 5 và các bài toán mở rộng của các bài toán trên.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi sử dụng một số phương pháp
nghiên cứu sau:
6.1. Phương pháp đọc sách và tài liệu
Chúng tôi tiến hành đọc một số sách, tài liệu có liên quan tới đề tài nghiên cứu,
để tìm cơ sở lý luận cho việc nghiên cứu đề tài và sử dụng những kết quả đó để vận
dụng vào việc nghiên cứu đề tài.

thực, có một hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức cơ bản rất cần
thiết cho đời sống, sinh hoạt lao động. Đó cũng là những công cụ rất cần thiết để học
các môn học khác, để tiếp tục nhận thức thế giới xung quanh và để hoạt động có hiệu
quả trong thực tiễn.
- Toán học ở Tiểu học góp phần truyền thụ những tri thức, kỹ năng toán học và
kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn cho học sinh.
- Góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung.
Rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát, đặc biệt
hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá, tương tự…
Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác: tư duy và ngôn ngữ gắn chặt
với nhau. Tư duy phải được thể hiện qua ngôn ngữ, đối với toán là các thuật ngữ, kí
hiệu… Mỗi một thuật ngữ, kí hiệu chứa đựng một nội dung xác định, do vậy viết
đúng, hiểu đúng và diễn đạt đúng là một yêu cầu quan trọng trong dạy học toán.
Rèn luyện và phát triển các phẩm chất trí tuệ: theo tâm lý học, phẩm chất trí
tuệ thể hiện chủ yếu ở tính linh hoạt và tính độc lập, cả hai đặc tính này tạo nên tính
sáng tạo. Tính linh hoạt của trí tuệ là khả năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn
đề phù hợp với sự thay đổi các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để giải quyết
vấn đề, dễ dàng chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang dạng hoạt động trí tuệ
khác, không rập khuôn theo mẫu có sẵn, kỹ năng nhìn một vấn đề, một hiện tượng
theo nhiều quan điểm khác nhau, kỹ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức
theo thứ tự ngược lại (tính thuận nghịch của quá trình tư duy). Tính độc lập của tư
duy là tự mình phát hiện và tìm ra phương pháp giải quyết vấn đề, không đi tìm lời
giải sẵn, không hoàn toàn dựa dẫm vào ý nghĩ và lập luận của người khác, nghiêm
túc đánh giá những lập luận, cách giải quyết của người khác và ngay cả chính mình.
Giáo dục tư tưởng: quá trình dạy học toán là một quá trình thống nhất giữa
giáo dục và giáo dưỡng nên giáo viên dạy toán phải thực hiện nhiệm vụ chung như
các môn học khác.
Giáo dục thẩm mĩ: làm cho học sinh biết thưởng thức cái đẹp như một lời giải
ngắn gọn, độc lập, một vẻ đẹp cân xứng và hài hoà, sự lập luận chặt chẽ và hợp lôgic
vì toán học có vẻ đẹp riêng của nó.

chất trực giác) về các hình hình học thường gặp, có khả năng nhận dạng, phân biệt
chúng với nhau về mặt hình dạng không gian và trên cơ sở một số dấu hiệu có thể
kiểm nghiệm bằng thực hành, nắm được một số khái niệm hình học cơ bản gắn với
hình dạng không gian như độ dài đoạn thẳng, đường gấp khúc, chu vi và diện tích
của các hình đơn giản, bước đầu dựa vào thực hành cắt, ghép, phân tích hình mà hình
thành khái niệm đẳng hợp. Có kĩ năng vẽ hình, biến đổi các hình thành có cùng diện
tích.
1.2.3. Về đại lượng
Có được những khái niệm (chủ yếu dựa vào trực giác hay thực hành) về các
đại lượng cơ bản như độ dài, khối lượng, diện tích, thể tích, thời gian. Thông qua
thực hành và áp dụng các phép tính số học đối với các đại lượng mà nhận thức được
một số tính chất của đại lượng cơ bản nói trên và có khái niệm về đo đại lượng. Có kĩ
năng sử dụng các tính toán số học vào việc đo độ dài đoạn thẳng, đo diện tích, thể
trang 5
Khóa luận tốt nghiệp
tích và diễn đạt số đo bằng các đơn vị khác nhau vào việc đo dung tích, khối lượng,
thời gian.
1.2.4. Về các yếu tố đại số
Trên cơ sở những kiến thức về số, bước đầu biết dùng chữ thay số, hình thành
khái niệm biểu thức số học (để diễn đạt số), khái niệm biểu thức đại số, biểu thức số,
giá trị của biểu thức đại số. Biết dùng các kí hiệu toán học để biểu diễn các quan hệ
so sánh giữa các số, diễn đạt quan hệ giữa các biểu thức thành công thức (để khái
quát hoá các mệnh đề toán học) và thành phương trình, bất phương trình đơn giản.
Nắm được phương pháp giải và có kĩ năng giải các phương trình, bất phương trình
đơn giản bằng các phương pháp phù hợp với Tiểu học.
1.2.5. Về thống kê mô tả
Giới thiệu bảng số liệu, sắp xếp lại bảng số liệu theo mục đích yêu cầu cho
trước (theo thứ tự từ bé đến lớn hay ngược lại). Lập bảng số liệu và nhận xét số liệu.
Giới thiệu ban đầu về số trung bình cộng, giới thiệu biểu đồ, tập nhận xét về biểu đồ
(biểu đồ có hình ảnh, biểu đồ hình cột, hình quạt).

Đó là thói quen làm việc có khoa học, có kiểm tra, khẳng định có căn cứ, tác
phong cụ thể cẩn thận, là ý chí vượt khó khăn, kiên trì nhẫn nại khi thực hiện nhiệm
vụ được giao, là tinh thần và ý thức muốn cải tiến, tìm tòi cái mới, suy nghĩ độc lập.
(trích dẫn trong Đỗ Trung Hiệu - Vũ Dương Thuỵ. 1997. Các phương pháp giải toán
ở Tiểu học, tập 1. NXB Giáo dục và Nguyễn Thanh Hưng. 2008. Phương pháp dạy
học môn Toán ở Tiểu học. NXB Giáo dục.)
2. ĐẶC ĐIỂM HỌC TOÁN CỦA HỌC SINH TIỂU HỌC
- Học sinh tiểu học thường tri giác trên tổng thể, về sau các hoạt động tri giác
phát triển và được hướng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác hơn.
- Chú ý không chủ định chiếm ưu thế ở học sinh tiểu học. Sự chú ý của học
sinh tiểu học còn phân tán, dễ bị lôi cuốn vào các trực quan, gợi cảm, thường hướng
ra bên ngoài vào hành động, chưa có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy.
- Trí nhớ trực quan - hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ
lôgic, hiện tượng hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn các câu chữ trừu tượng, khô khan. Do
vậy, khi hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên thường sử dụng sơ đồ nhất là các sơ
đồ đoạn thẳng để hướng dẫn học sinh. Tính trực quan của sơ đồ đoạn thẳng giúp học
sinh dễ dàng hơn trong việc đưa ra cách giải đúng và nhanh cho bài toán.
- Trí tưởng tượng còn chịu tác động nhiều của hứng thú, kinh nghiệm sống,
mẫu vật đã biết.
Lứa tuổi tiểu học (6 - 7 tuổi đến 11 - 12 tuổi) là giai đoạn mới của phát triển tư
duy - giai đoạn tư duy cụ thể. Trong một chừng mực nào đó, hành động trên các đồ
vật, sự kiện bên ngoài còn là chỗ dựa hay điểm xuất phát cho tư duy. Các thao tác tư
duy đã liên kết với nhau thành tổng thể nhưng sự liên kết đó chưa hoàn toàn tổng
quát. Học sinh có khả năng nhận thức về cái bất biến và hình thành khái niệm bảo
toàn, tư duy có bước tiến rất quan trọng phân biệt được phương diện định tính với
định lượng - điều kiện ban đầu để hình thành khái niệm “số”.
Học sinh tiểu học bước đầu có khả năng thực hiện việc phân tích, tổng hợp,
trừu tượng hoá, khái quát hoá như sau khi giải một số bài toán “Tìm hai số khi biết
tổng số và tỉ số của chúng” hoặc bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của
chúng”, học sinh có thể khái quát thành cách giải lớp các bài toán dạng tìm hai số khi

thức và kĩ năng cơ bản đó, chẳng hạn: ở lớp 1 học sinh biết đọc, đếm, viết, so sánh
các số đến 10 mới chuyển sang giới thiệu khái niệm ban đầu về phép cộng v.v…
ngoài các mạch kiến thức quen thuộc, ở Tiểu học có giới thiệu một số yếu tố thống
kê có ý nghĩa thiết thực trong đời sống.
- Quan tâm đúng mức hơn đến:
+ Rèn luyện khả năng diễn đạt, ứng xử, giải quyết các tình huống có vấn đề.
+ Phát triển năng lực tư duy theo đặc trưng của môn Toán.
+ Xây dựng phương pháp học tập toán theo những định hướng dạy học
dựa vào các hoạt động tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh, giúp học sinh tự biết
cách học toán có hiệu quả.
(trích dẫn trong Vũ Quốc Chung (chủ biên). 2007. Phương pháp dạy học toán ở Tiểu
học. NXB Giáo dục - NXB Đại học Sư phạm.)
trang 8
Khóa luận tốt nghiệp
Chương 2
CÁC BÀI TOÁN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ VÀ TỈ
SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG TRONG CHƯƠNG
TRÌNH MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC
1. SỐ LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ
VÀ TỈ SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN 4, TOÁN 5
1.1. Số lượng các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu
số và tỉ số của chúng trong chương trình Toán 4
1.1.1. Các bài toán đưa về dạng bài toán tìm hai số khi biết tổng số và tỉ
số của chúng trong Toán 4 có 20 bài, trong đó
- 5 bài có tổng số và tỉ số được cho dưới dạng số tự nhiên: bài 3 tiết 139 trang
148; bài 2, bài 3 tiết 140 trang 149; bài 3 tiết 141 trang 149; bài 5 tiết 169 trang 175.
- 7 bài có tổng số được cho dưới dạng số tự nhiên và tỉ số được cho dưới dạng
phân số: bài 1, bài 3 tiết 138 trang 148; bài 1, bài 2 tiết 139 trang 148; bài 3 tiết 146
trang 153; bài 4 tiết 171 trang 176; bài 4 tiết 174 trang 178.

- 4 bài có tổng số được cho dưới dạng số tự nhiên và tỉ số được cho dưới dạng
phân số: bài 1a tiết 15 trang 18; bài 1 tiết 20 trang 22; bài 2 tiết 165 trang 171; bài 2
tiết 173 trang 179.
- 2 bài có tổng số được cho dưới dạng số đo độ dài và tỉ số được cho dưới
dạng phân số: bài 3 tiết 15 trang 18; bài 4 tiết 44 trang 47.
- 1 bài có tổng số được cho dưới dạng số đo vận tốc và tỉ số được cho dưới
dạng phân số: bài 3 tiết 166 trang 172.
1.2.2. Các bài toán đưa về dạng bài toán tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ
số của chúng trong Toán 5 có 5 bài, trong đó
- 1 bài có hiệu số và tỉ số được cho dưới dạng số tự nhiên: bài 4 tiết 30 trang
32.
- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số tự nhiên và tỉ số được cho dưới dạng
phân số: bài 1b tiết 15 trang 18.
- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số đo độ dài và tỉ số được cho dưới
dạng số tự nhiên: bài 2 tiết 20 trang 22.
- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số đo thể tích và tỉ số được cho dưới
dạng số tự nhiên: bài 2 tiết 15 trang 18.
- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số đo diện tích và tỉ số được cho dưới
dạng phân số: bài 1 tiết 165 trang 171.
1.3. Các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số
của chúng có mặt nhiều và đầu tiên trong chương trình môn Toán ở Tiểu học ở sách
giáo khoa Toán 4. Nội dung các bài toán dạng này có “chất liệu” phong phú, cập nhật
với thực tế: bài toán tính số quả cam, quả quýt (bài 2 trang148), tính số ki - lô -gam
gạo nếp, gạo tẻ (bài 3 trang 153), tính độ dài quãng đường (bài 4 trang 152), tính tuổi
mẹ, tuổi con (bài 5 trang 176), tính số học sinh nam, học sinh nữ (bài 4 trang 178)…
và có hình thức thể hiện đa dạng hơn, hấp dẫn học sinh: bài toán được diễn đạt dưới
dạng lời văn, bài toán được diễn đạt dưới dạng sơ đồ đoạn thẳng (bài 4 trang 149, bài
4 trang 151…). Khi giải các bài toán này, học sinh thường được thực hiện theo một
qui trình (các bước) rõ ràng (có thể thực hiện cách giải với sự trợ giúp của sơ đồ, theo
qui tắc dưới dạng công thức…). Tuy nhiên, khi giải các bài toán dạng nêu trên cần có

thận, chu đáo, cụ thể, làm việc có kế hoạch, có kiểm tra kết quả cuối cùng; từng bước
hình thành và rèn luyện thói quen, khả năng suy nghĩ độc lập, linh hoạt, khắc phục
cách suy nghĩ máy móc, rập khuôn, xây dựng lòng ham thích tìm tòi, sáng tạo ở mức
độ khác nhau từ đơn giản nhất mà nâng lên từng bước.
Ngoài các vai trò chung của giải toán có lời văn, các bài toán dạng tìm hai số
khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng còn đòi hỏi tính tích cực, độc
lập và sáng tạo trong suy nghĩ của học sinh khi thực hành giải toán. Đây là dạng toán
có cách giải điển hình, khi được thực hành giải thường xuyên học sinh có thể bắt
chước cách giải theo mẫu, tái hiện cách giải điển hình trong chừng mực nào đó để
giải các bài toán có nội dung hình học, chuyển động đều được xây dựng trên cơ sở
các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng.
3. CẤU TRÚC CỦA CÁC BÀI TOÁN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG
SỐ VÀ TỈ SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG
3.1. Những điều cần biết về bài toán “Tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của
chúng”
3.1.1. Khi giải các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của
chúng, ta có thể gặp một số trường hợp sau
trang 11
Khóa luận tốt nghiệp
- Tổng số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, các
dạng số đo đại lượng.
- Tỉ số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, các dạng
số đo đại lượng.
- Tỉ số của hai số có thể được nêu dưới những dạng thức sau:
+ Số này gấp mấy lần số kia.
+ Số này bằng mấy phần số kia.
+ Thương của hai số phải tìm hoặc thương của hai số có liên quan đến số
phải tìm.
+ Tỉ số của hai số.
3.1.2. Các bước chủ yếu trong việc giải bài toán dạng này

hai số mới thì khác với tỉ số của hai số phải tìm. Khi đó ta giải bài toán: tìm hai số
mới khi biết tổng số và tỉ số của hai số mới đó; sau đó tìm hai số phải tìm.
2) Nếu mỗi số hạng tăng thêm một số đơn vị khác nhau thì tổng cũ sẽ tăng
thêm tổng hai số đơn vị đó. “bài 16 trang 23”
Nếu a + b
=
c thì (a + m) + (b + n)
=
c + (m + n).
3) Nếu mỗi số hạng giảm bớt một số đơn vị khác nhau thì tổng cũ sẽ giảm bớt
tổng hai số đơn vị đó. “bài 17 trang 23”
Nếu a + b
=
c thì (a
−
m) + (b
−
n)
=
c
−
(m + n).
4) Nếu số hạng này thêm một số đơn vị và số hạng kia bớt một số đơn vị thì
tổng cũ có thể tăng hoặc giảm. Có hai trường hợp sau đây: “bài 18 trang 24”
trang 12
Khóa luận tốt nghiệp
a) Nếu a + b
=
c mà m
>

- Hiệu số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, các
dạng số đo đại lượng.
- Tỉ số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, các dạng
số đo đại lượng.
- Tỉ số của hai số có thể được nêu dưới những dạng thức sau:
+ Số này gấp mấy lần số kia.
+ Số này bằng mấy phần số kia.
+ Thương của hai số phải tìm hoặc thương của hai số có liên quan đến số
phải tìm.
+ Tỉ số của hai số.
3.2.2. Các bước chủ yếu trong việc giải bài toán dạng này
- Xác định hiệu của hai số phải tìm (hoặc hiệu của hai số có liên quan đến các
số phải tìm).
- Xác định tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tỉ số của hai số có liên quan đến các
số phải tìm). Biểu thị từng số đó thành số các phần bằng nhau tương ứng.
- Thực hiện phép chia hiệu của hai số phải tìm cho tổng các phần biểu thị của tỉ
số để tìm giá trị một phần đó.
- Tìm mỗi số theo số phần được biểu thị.
3.2.3. Một số điều cần chú ý về bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ
số của chúng” (ở phần 6.3.2 chúng ta sẽ khảo sát một số bài toán minh họa cho
phần này)
1) Hiệu của số bị trừ và số trừ không đổi khi số bị trừ và số trừ cùng thêm
(hoặc bớt) một số đơn vị như nhau. “bài 19 trang 24”
Nếu a
−
b
=
c
trang 13
Khóa luận tốt nghiệp

−
n)
=
c + (m + n) (với b
>
n).
Ví dụ: a − b = 30 mà m = 8 và n = 7 thì
(a + 8) − (b − 7) = 30 + (8 + 7) = 30 + 15.
3) Nếu số bị trừ giảm bớt một số đơn vị và số trừ tăng thêm một số đơn vị thì
hiệu cũ sẽ giảm bớt tổng hai số đơn vị đó. “bài 21 trang 25”
Nếu a
−
b
=
c thì (a
−
m)
−
(b + m)
=
c
−
(m + n) (với a
>
m).
Ví dụ: a − b = 30 mà m = 8 và n = 7 thì:
(a − 8) − (b + 7) = 30
−
(8 + 7) = 30 − 15.
4) Nếu số bị trừ và số trừ tăng thêm một số đơn vị khác nhau thì hiệu cũ có thể

(n
−
m).
Ví dụ: a − b = 30 mà m = 48 và n = 56 thì
(a + 48) − (b + 56) = 30 − (56 − 48) = 30 − 8.
Như vậy, khi thêm vào số bị trừ một số bé hơn khi thêm vào số trừ bao nhiêu
đơn vị thì hiệu cũ sẽ giảm đi bấy nhiêu đơn vị.
5) Nếu số bị trừ và số trừ giảm bớt một số đơn vị khác nhau thì hiệu cũ sẽ giảm
hoặc tăng. Có hai trường hợp sau đây: “bài 23 trang 26”
a) Nếu a
−
b
=
c mà m
>
n thì (a
−
m)
−
(b
−
n)
=
c
−
(m
−
n).
Ví dụ: a – b = 30 mà m = 13 và n = 8 thì
(a −13) − (b

“Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng”. Để phân biệt được hai dạng toán này,
chúng tôi hệ thống qua bảng tổng hợp sau:
Giả
thiết
Biết tổng số và tỉ số Biết hiệu số và tỉ số
Sơ
đồ
Cách
giải
Tổng số phần bằng nhau: n + m.
Giá trị của một phần:
T : (n + m).
Đại lượng bé:
T : (n + m) × m.
Đại lượng lớn:
T - đại lượng bé.
hoặc: T : (n + m) × n.
Hiệu số phần bằng nhau: n - m.
Giá trị của một phần:
H : (n - m).
Đại lượng bé:
H: (n - m) × m
Đại lượng lớn:
H + đại lượng bé.
hoặc: H : (n - m) × n.
Với T là tổng, H là hiệu.
Có những bài toán giả thiết không cho ngay tổng số, hiệu số và tỉ số thì chúng
ta cần phải xác định những yếu tố này để có bài toán thuộc một trong hai dạng trên.
Chẳng hạn: khi cho biết trung bình cộng của hai đại lượng thì hai lần trung
bình cộng chính là tổng.

thường dùng phương pháp này để giải các bài toán đã cho biết tỉ số của các số và cho
biết tổng số hoặc hiệu số của các số đó như bài toán dạng tìm hai, ba hay nhiều số khi
biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng.
 Các bước giải bài toán bằng phương pháp chia tỉ lệ
Khi giải bài toán bằng phương pháp chia tỉ lệ ta thường dùng bốn bước:
Bước 1: Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Dùng các đoạn thẳng để
biểu thị các số cần tìm. Số phần bằng nhau của các đoạn thẳng đó tương ứng với tỉ số
của các số cần tìm.
Bước 2: Tìm tổng (hoặc hiệu) số phần bằng nhau.
Bước 3: Tìm giá trị của một phần.
Bước 4: Xác định mỗi số cần tìm.
Đôi khi ta có thể kết hợp các bước 2, 3 và 4.
6. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ VÀ TỈ SỐ
HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG
6.1. Một số bài toán “Tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng”
Bài 1. (lớp 4 trang 148). Tổng của hai số bằng số lớn nhất có hai chữ số. Tỉ số của
hai số đó là
4
5
. Tìm hai số đó.
Lời giải
trang 16
Khóa luận tốt nghiệp
Số lớn nhất có hai chữ số là số 99. Vậy tổng của hai số là 99.
Nếu ta chia số lớn thành 5 phần bằng nhau thì số bé sẽ chiếm 4 phần như thế.
Ta có sơ đồ:
Số bé:
Số lớn:
Số bé là:
99 : (4 + 5) × 4 = 44.

Số bạn trai là:
12 : (1 + 2) = 4 (bạn).
Số bạn gái là:
trang 17
99
? ?
? bạn
? bạn
12 bạn
?
0,25
?
Khóa luận tốt nghiệp
12 – 4 = 8 (bạn).
Đáp số: 4 bạn trai, 8 bạn gái.
Bài 4. (lớp 4 trang 148). Một người đã bán được 280 quả cam và quýt, trong đó số
cam bằng
2
5
số quýt. Tìm số cam, số quýt đã bán.
Lời giải
Nếu ta chia số quýt thành 5 phần bằng nhau thì số cam sẽ chiếm 2 phần như
thế.
Ta có sơ đồ:
Số quả cam:
Số quả quýt:
Số quả cam đã bán:

? quả
? m
? m
28m
Khóa luận tốt nghiệp
Kho thứ nhất:
Kho thứ hai:
Số tấn thóc của kho thứ nhất là:
1350 : (4 + 5) × 4 = 600 (tấn).
Số tấn thóc của kho thứ hai là:
1350 – 600 = 750 (tấn).
Đáp số: kho thứ nhất: 600 tấn.
Kho thứ hai: 750 tấn.
Bài 7. Năm nay tổng số tuổi của hai mẹ con bằng 45 tuổi. Tìm tuổi của mỗi người,
biết rằng 2 lần tuổi mẹ bằng 7 lần tuổi con.
Lời giải
Nếu ta chia tuổi của mẹ thành 7 phần bằng nhau thì tuổi của con sẽ chiếm 2
phần như thế.
Ta có sơ đồ sau:
Con:
Mẹ:
Tuổi con hiện nay là:
45 : (7 + 2) × 2 = 10 (tuổi).
Tuổi mẹ hiện nay là:
45 – 10 = 35 (tuổi).
Đáp số: con 10 tuổi.
Mẹ: 35 tuổi.
6.2. Một số bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng”
Bài 8. (lớp 4 trang 151). Hiệu của hai số là 85. Tỉ số của hai số đó là
3

Lời giải
0,6 =
6
10
=
3
5
Vì thương là số bé hơn 1 nên số bị chia phải bé hơn số chia. Biểu thị số bị chia
bằng 3 phần bằng nhau thì số chia là 5 phần như thế.
Ta có sơ đồ:
Số bị chia:
Số chia:
Số bị chia là:
0,6 : (5 – 3) × 3 = 0,9.
Số chia là:
0,6 + 0,9 = 1,5.
Đáp số: hai số cần tìm là: 0,9 và 1,5.
Bài 10. Số cây đào trong vườn nhà Lan gấp bốn lần số cây mận và số cây đào nhiều
hơn số cây mận 12 cây. Hỏi vườn nhà Lan có bao nhiêu cây mỗi loại?
Lời giải
Nếu ta chia số cây đào thành 4 phần bằng nhau thì số cây mận sẽ chiếm 1 phần
như thế.
Ta có sơ đồ:
Số cây mận:
Số cây đào:
Số cây mận là:
12 : (4 – 1) = 4 (cây).
Số cây đào là :
4 × 4 = 16 (cây).
Đáp số: 4 cây mận, 16 cây đào.

Số lít nước mắm loại I:
Số lít nước mắm loại II là:
12 : (3 – 1) = 6 (lít).
Số lít nước mắm loại I là:
12 + 6 = 18 (lít).
Đáp số: 6 lít nước mắm loại II, 18 lít nước mắm loại I.
Bài 13. (lớp 4 trang 151). Một cửa hàng có số gạo nếp ít hơn số gạo tẻ là 540 kg.
Tính số gạo mỗi loại, biết rằng số gạo nếp bằng
1
4
số gạo tẻ.
Lời giải
Nếu ta chia số gạo tẻ thành 4 phần bằng nhau thì số gạo nếp sẽ chiếm 1 phần
như thế.
Ta có sơ đồ:
Gạo nếp:
Gạo tẻ:
Số ki-lô-gam gạo nếp là:
540 : (4 – 1) = 180 (kg).
Số ki-lô-gam gạo tẻ là:
180 + 540 = 720 (kg).
Đáp số: 180 kg gạo nếp, 720 kg gạo tẻ.
Bài 14. (lớp 4 trang 153). Năm nay tuổi con ít hơn tuổi bố là 35 tuổi và bằng
2
9
tuổi
bố. Hỏi năm nay con bao nhiêu tuổi? bố bao nhiêu tuổi?
trang 21
? bóng
? bóng

Bài 15. (minh họa phần chú ý 1 - trang 12)
Hai bạn Nga và Hồng có tất cả 48 nhãn vở. Nếu bạn Nga cho bạn Hồng 2 nhãn vở thì
số nhãn vở của Hồng sẽ nhiều gấp đôi số nhãn vở của Nga. Hãy tính số nhãn vở lúc
đầu của mỗi bạn?
Lời giải
Nếu Nga cho Hồng hai nhãn vở thì tổng số nhãn vở của hai bạn vẫn là 48 nhãn vở.
Ta có sơ đồ minh hoạ số nhãn vở của mỗi bạn, sau khi Nga cho Hồng 2 nhãn vở:
Nga:
Hồng:
Sau khi cho bạn hai nhãn vở thì số nhãn vở còn lại của Nga là:
48 : (1 + 2) = 16 (nhãn vở).
Số nhãn vở lúc đầu của Nga là:
16 + 2 = 18 (nhãn vở).
Số nhãn vở lúc đầu của Hồng là:
trang 22
? nhãn vở

48 nhãn vở
? nhãn vở
? tuổi
35 tuổi
? tuổi
Khóa luận tốt nghiệp
48 – 18 = 30 (nhãn vở).
Đáp số: Nga có 18 nhãn vở.
Hồng có 30 nhãn vở.
Bài 16. (minh họa phần chú ý 2 - trang 12)
Lớp A và lớp B tham gia trồng cây. Ngày đầu cả hai lớp trồng được 115 cây. Ngày
sau lớp A trồng được 20 cây, lớp B trồng được 15 cây. Sau hai ngày trồng cây, số
cây của lớp A đã trồng bằng

Ta có sơ đồ:
Cửa hàng B:
Cửa hàng A:
Số kg gạo sau khi bán của cửa hàng B là:
trang 23
? cây
? cây
150 cây
? kg gạo
? kg gạo
450 kg gạo
Khóa luận tốt nghiệp
450 : (3 + 2) × 2 =180 (kg).
Số kg gạo lúc đầu của cửa hàng B là:
180 + 30 = 210 (kg).
Số kg gạo lúc đầu của cửa hàng A là:
500 – 210 = 290 (kg).
Đáp số: cửa hàng B: 210 kg.
Cửa hàng A: 290 kg.
Bài 18. (minh họa phần chú ý 4 - trang 12)
Tổng số thóc ở kho A và kho B là 375 tấn. Sau đó kho A tiếp nhận thêm 15 tấn, còn
kho B chuyển đi nơi khác 40 tấn thì lúc đó số thóc ở kho A bằng
3
4
số thóc ở kho B.
Hãy tính số tấn thóc lúc đầu ở mỗi kho?
Lời giải
Sau khi kho A nhận thêm 15 tấn và kho B chuyển đi nơi khác 40 tấn thì lúc
này số thóc ở hai kho là:
375 + 15 – 40 = 350 (tấn).

420 cây
? cây
Khóa luận tốt nghiệp
Sau khi chuyển đi một số tấn thóc ở mỗi kho thì số thóc còn lại ở kho B vẫn
nhiều hơn số thóc còn lại của kho A là 15 tấn.
Ta có sơ đồ sau:
Kho A:
Kho B:
Số thóc còn lại của kho B là:
15 : (3 – 2) × 3 = 45 (tấn).
Số thóc chuyển đi ở mỗi kho là:
50 – 45 = 5 (tấn).
Đáp số: 5 tấn.
Bài 20. (minh họa phần chú ý 2 - trang 14)
Số cây trồng của khối Năm nhiều hơn khối Bốn là 360 cây. Nếu khối Năm trồng
thêm 30 cây nữa và khối Bốn trồng bớt đi 30 cây thì số cây của khối Năm sẽ nhiều
gấp 4 lần số cây của khối Bốn. Tính số cây đã trồng lúc đầu của mỗi khối?
Lời giải
Nếu khối Năm trồng thêm 30 cây và khối Bốn trồng bớt 30 cây thì lúc đó số
cây trồng của khối Năm nhiều hơn khối Bốn là:
360 + 30 + 30 = 420 (cây)
Ta có sơ đồ biểu thị số cây trồng lúc sau :
Khối Bốn:
Khối Năm:
Số cây trồng lúc sau của khối Bốn là:
420 : (4 – 1) = 140 (cây).
Số cây trồng lúc đầu của khối Bốn là:
140 + 30 = 170 (cây).
Số cây trồng lúc đầu của khối Năm là:
170 + 360 = 530 (cây).