Bài viết tháng 4 – Năm 2014 Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian
Xuctu.com : Học toán trực tuyến -Học kèm theo nhóm Tại Hu
ế: 0905671232
Trang 1
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài viết tháng 4 năm 2014
Thầy giáo: Nguyễn Quốc Tuấn
Các bài toán về quan hệ vuông góc luôn là một chủ đề quen thuộc và không thể thiếu trong
mọi bài toán hình học không gian có mặt trong các kì thi nói chung và thi Đại học, Cao đẳng nói
riêng. Các nội dung chính trong các bài thi tuyển sinh thuộc dạng toán này thường được đề cập đến
là:
1/ Chứng minh tính vuông góc:
+/ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
+/ Hai đường thẳng vuông góc với nhau.
+/ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau….
2/ Các bài toán tìm khoảng cách:
+/ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
+/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . .
3/ Các bài toán xác định góc:
+/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.
+/ Góc giữa hai mặt phẳng.
+/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng….
Trong bài viết này, chỉ đề cập đến 2 nội dung: Tính vuông góc và Khoảng cách và những vấn đề
liên quan trực tiếp đến nó.

VẤN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC

1. Kiến thức cơ bản cần biết:

∆ ⊂ , d’ là
hình chiếu của d lên (P). Khi đó
∆
⊥
d
'
d
⇔ ∆ ⊥

+ Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau,
( ) ( )P Q
∩ = ∆
. Nếu
( ),a P a
⊂ ⊥ ∆

thì
( )
a Q
⊥

+ Nếu
(
)
P
∆ ⊥
thì ∆ sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mp(P).
+ Giả sử (P) và (Q) cùng vuông góc với (R) trong đó
( ) ( )P Q
∩ = ∆

⊥

2. Các dạng toán thường gặp:
Loại 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng:
Đây là một trong những dạng toán hay gặp nhất trong chuyên mục các bài toán về “quan hệ
vuông góc”( và có tần suất khá cao trong các bài toán gặp phải phần hình học không gian
trong các đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng các năm gần đây).
Để giải dạng toán này phương pháp chính được sử dụng là:
- Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với đường thẳng
∆
ta thường chứng minh d vuông
góc với mặt phẳng (Q) chứa
∆

- Dĩ nhiên để làm được điều này ta phải biết được:
+ Nếu
( )
a P
⊥
thì a vuông góc với mọi đường trong (P)
+ Để
( )
a P
⊥
chỉ cần a vuông góc với hai đường thẳng giao nhau trong (P).
Ví dụ 1: (ĐH Khối B năm 2002)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD,
A’D’. Chứng minh:
'
MP C N

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Ví dụ 2: (ĐH Khối A năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều
và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC,
CD. Chứng minh AM
⊥
BP.
Giải :
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH
⊥
AD
Vì (SAD)
⊥
(ABCD), suy ra SH
⊥
(ABCD) suy ra SH
⊥
BP (1)
Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có




0
90
CBP DCH CBP HCB BP CH
= ⇒ + = ⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

⇒
và SE = DA
⇒
SEBC cũng là hình bình hành
/ /
SC EB
⇒

Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB
và ABC ta có MP // EB, PN // AC.
H
M
N
P
A
C
B
D
S
N
P
N
M
E
H
D
C
B
A
S

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d.Khi đó một đường thẳng
nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc với d thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Ngoài ra người ta cũng dựa vào định nghĩa của hai mặt phẳng vuông góc để chứng
minh tính vuông góc của hai mặt phẳng.
Ví dụ 4: (ĐH Khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
2
a
, SA = a và
( )
SA ABCD
⊥
. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh
( ) ( )
SAC SMB
⊥
.
Giải:
Giả sử I là giao điểm của AC và MB
Ta có MA = MD và AD // BC nên theo định lý Talet suy
ra
1
2
AI IC
=

2
2 2 2 2 2 2
1
3 ,

+ = + = =
 
 
 

Vậy AMI là tam giác vuông tại I
MB AC
⇒ ⊥
(1)
Mặt khác
( )
SA ABCD SA MB
⊥ ⇒ ⊥
(2)
Từ (1),(2) suy ra
( ) ( ) ( )
MB SAC SMB SAC
⊥ ⇒ ⊥ ⇒
đpcm
Ví dụ 5: (ĐH khối A năm 2003)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a, AA’ = b. Gọi M
là trung điểm của CC’. Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với
nhau.
Giải :
Ta có A’B = A’D '
A O BD
⇒ ⊥

b
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Bài viết tháng 4 – Năm 2014 Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian
Xuctu.com : Học toán trực tuyến -Học kèm theo nhóm Tại Hu
ế: 0905671232
Trang 4 2 2 2
' '
A O OM A M
⇔ + =
(1)
Ta có
2 2 2
' '
A O A B BO
= −

2
2
2 2 2
2

b b
a a b a+ = + ⇔ =

Vậy với
1
a
b
=
thì
( ' ) ( )
A BD MBD
⊥

Ví dụ 6: (ĐH Hải Phòng năm 2006)
Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a
và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh hai mặt phẳng (SAI) và (SBC) vuông góc với nhau.
Giải:
Do AB = AC AI BC
⇒ ⊥
(1)
Vì
AB = AC SB = SC SI BC
⇒ ⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
BC (SAI) (SBC) (SAI) dpcm
⊥
⇒
⊥

= = ⊥
,
BA = BC = a, AD = 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh BCNM là
hình chữ nhật.
Bài 3: (Cao đẳng khối A, B, D năm 2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , cạnh đáy bằng a.Cạnh bên bằng
2
a
. Gọi M, N , P lần
lượt là trung điểm của SA, SD, DC .Chứng minh rằng
MN SP
⊥
.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC trong đó đáy ABC là tam giác vuông tại C, hai mặt bên (SAC) và
(SAB) cùng vuông góc với đáy. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB. Chứng
minh
(SAB) (ADE)
⊥
.
Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Đoạn SA cố định vuông góc với (P) tại
A, M và N là hai điểm tương ứng di động trên các cạnh BC và CD. Đặt BM = u, DN = v.
Chứng minh rằng
2 2
a(u + v) = a u
+
là điều kiện cần và đủ để (SAM)
⊥
(SMN).
Bài 6: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Hai nửa đường thăng Bx và Dy vuông
góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P), M và N là hai điểm di động tương ứng trên Bx,


1. Các dạng toán thường gặp.

Loại 1: Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc đến một đường thẳng)
Trong mục này chúng ta trình bày phương pháp trực tiếp để tính khoảng cách này, mà
không dựa vào phương pháp sử dụng thể tích khối đa diện. Phương pháp được tiến hành
theo lược đồ chung như sau:
- Xác định chân đường vuông góc trên mặt phẳng (hoặc trên đường thẳng) mà cần tính khoảng
cách từ một điểm cho trước đến nó. Bước này quan trọng ở chỗ : Nhờ có việc xác định này
mà cho phép ta có đủ dữ liệu để chuyển sang bước tiếp theo.
- Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông (Bao hàm cả định lý Pitago), hoặc lượng
giác để tính các khoảng cách cần tìm.
Các bài toán này có khá nhiều trưòng hợp dựa vào bài toán cơ bản sau đây.
Ví dụ 1: Bài toán cơ bản
Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ
OH (ABC)
⊥
.
a/ Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC
b/ Chứng minh hệ thức
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +

Giải:
a/ Kẻ
OH (ABC), AH BC = M
⊥ ∩


1 1 1

OH OA OM
= +
(1)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC
ta có
2 2 2
1 1 1
OM OB OC
= +
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + + ⇒
đpcm
H
M
C
B
O
A
Bài viết tháng 4 – Năm 2014 Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian
Xuctu.com : Học toán trực tuyến -Học kèm theo nhóm Tại Hu
ế: 0905671232
Trang 6

Nhận xét : Đây là một trong các kết quả cơ bản nhất, nhưng có một ứng dụng rất to lớn trong các

Gọi E là trung điểm BB’
Ta có EM // B’C suy ra B’C / / (AEM)
Suy ra d(B’C,AM) = d(B’C,(AEM)) = d(C,(AEM)) =
d(B,(AEM)) (vì MB = MC)
Do tam giác ABC vuông tại B nên tứ diện BAEM có BA, BE,
BM đôi một vuông góc với nhau.
Theo ví dụ 1 nếu gọi BH là chiều cao kẻ từ B của tứ diện ABCD
(
( )
H AEM
∈
) thì
2
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 7 7
7
2 4
a
BH
a a
BH BA BE BM a a
= + + = + + = ⇒ =

7
( , ' )
7
a
d AM B C⇒ =


H
5
3
4
4
D
C
B
A
Bài viết tháng 4 – Năm 2014 Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian
Xuctu.com : Học toán trực tuyến -Học kèm theo nhóm Tại Hu
ế: 0905671232
Trang 7

2/ Nếu như d
1
chứa trong (P), d
2
chứa trong (Q) mà (P) // (Q) thì khoảng cách giữa d
1
và d
2

bằng khoảng cách giữa (P) và (Q)
Lưu ý rằng nếu d
1
// (P) thì khoảng cách giữa d
1
và (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất
kỳ của d

BD =

(với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC).
Ví dụ 6: (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
Giải :
Ta có : BC // MN
⇒
MN // (A’BC)
⇒
d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1)
Ta có :
AI A'B ( AB' A'B = I)
⊥ ∩

Lại có
BC (BAA'B') BC AI
⊥ ⇒ ⊥

Từ đó
AI (A'BC)
⊥
.Vì thế nếu kẻ
MH // AI (H A'B)
∈

thì
MH (A'BC)
⊥

N
M
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Bài viết tháng 4 – Năm 2014 Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian
Xuctu.com : Học toán trực tuyến -Học kèm theo nhóm Tại Hu
ế: 0905671232
Trang 8

Tuy nhiên trong một số bài toán lại đòi hỏi xác định đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau, đó là một yêu cầu cao hơn. Mục này dành để trình bày cách tìm
đường vuông góc chung.
Nguyên tắc chung để giải bài toán này như sau: Xác định điểm
,
M a N b
∈ ∈
sao cho
,
MN a MN b
⊥ ⊥
, khi đó MN là đường vuông góc chung của cả a và b. Vấn đề ở chỗ là làm
thế nào để xác định được hai điểm M, N?
Phương pháp tổng quát tiến hành như sau:
- Dựng mp(P) chứa a và song song với b. Lấy một điểm B trên b, kẻ BB’

1
B
1
C
1
D
1
cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B
và B
1
D.
Giải :
Ta có AB
1

⊥
A
1
B (vì BAA
1
B
1
là hình vuông)
A
1
B
⊥
AD (vì AD

C
1
D
1
)
⇒
DD
1

⊥
A
1
C
1

Do A
1
B
1
C
1
D
1
là hình vuông nên A
1
C
1

⊥
B

1
BC
1
) (3)
Bây giờ ta tìm giao điểm của B
1
D với (A
1
BC
1
) . Gọi H là
giao điểm của AB
1
và A
1
B. Trong mặt chéo (B
1
A
1
DA) rõ
ràng : HC
1

∩
B
1
D = G.
Do B
1
H = HA =

D vì B
1
D
⊥
(A
1
B
1
C
1
). Như thế
GH là đường vuông góc chung của A
1
B và B
1
D nên nó chính là khoảng cách giữa A
1
B và
B
1
D.
Ta có :
1 1 1
1 1 2. 3 6 6
( , )
3 3 6 6 6
a a a
GH C H d A B B D= = = ⇒ =

B'

Trang 9

Nhận xét :
Trong ví dụ này vì A
1
B
⊥
B
1
D nên cách làm trong ví dụ trên chính là sự thực hành các bước
đã nêu trong ví dụ 7.
Ví dụ 9: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a =
6 2
cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông
góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
Giải:
Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và CD. Do
ABCD là tứ diện đều , nên ta có CM
⊥
AB và DM
⊥
AB
⇒
AB
⊥
(MCD)
⇒
AN
⊥
MN

ABC =

Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn - Đáp số:
3
d(A,(SBC)) =
2
a

Bài 2: (ĐH khối A năm 2004)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng
5
, đường chéo AC = 4, SO
=
2 2
và SO
⊥
(ABCD), với O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm cạnh SC.
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
Hướng dẫn - Đáp số: d(SA,BM) = d(C,(MOB)) =
2 6

3

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a, BC = 2a, cạnh SA
vuông góc với đáy và SA = 2a. Xác định và tính độ dài đường vuông góc chung của hai
đường thẳng AB và SC.
Hướng dẫn - Đáp số: Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SC và AB.
Khi đó MN là đường vuông góc chung của AB và SC,
2

M
D
C
B
A
Bài viết tháng 4 – Năm 2014 Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian
Xuctu.com : Học toán trực tuyến -Học kèm theo nhóm Tại Hu
ế: 0905671232
Trang 10

< 2R. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và SB. Xác định vị trí của C trên đường tròn sao
cho EF là đường vuông góc chung của AC và SB.
Hướng dẫn - Đáp số: C là giao điểm của hai đường tròn : Đường tròn đường kính AB = 2R
đã cho và đường tròn tâm B đường kính 2a.Vì a < 2R nên tồn tại hai giao điểm C như vậy.