PHƯƠNG PHÁP TÌM BÀI TOAN PHỤ -
CHỨNG MINH BĐT
A- PHƯƠNG PHÁP TÌM BDT PHỤ:
Ví dụ 1: Chứng minh
∀
a, b, c >0 ta có :
* Áp dụng B Đ T (a + b)
2

≥
4ab
⇔
4
ba
ba
ab +
≤
+
( 1)
* hoặc sử dụng BDT Cô-Si
• Đặt tình huống ta không nhìn ra BDT (1) thì sao? Tôi xin mạo dạn
đưa ra cách tìm BDT phụ để giải BDT đã cho.
• Xét:
(1a)
Cộng theo vế, ta được:
))(( cbayx
ac
ca
cb
bc
ba








+
−−⇔
≤
+
−+
+−⇔
≤
+
−+−⇔
−+≤
+
ba
b
xba
ba
abbab
bax
ba
ab
bbxax
bxax
ba
ab

)(2 bb
b
x
ba
4
1
4
1
2
1
=−=⇒ y

www.toibietlabanbiet.com

2
cba
ac
ca
cb
bc
ba
ab ++
≤
+
+
+
+
+
1
aycx

⇔
+≤
+
• Xin lưu ý “ phương pháp này tôi may mắn đọc được từ một tác giả
khác mà tôi không biết tên”.Tuy nhiên tác giả đưa ra cách tìm BDT
phụ bằng cách thử một vài giá trị đặc biệt của a và b, từ đó chọn đúng
giá trị x và y.Rất tiếc tác giả không nêu ra ví dụ thử.Tôi đã tâm đắc
phương pháp độc đáo của tác giả nhưng khi thử thì không may
mắn,khó xác định giá trị x,y.Rất mong tác giả tiếp tục chia sẻ những
kĩ năng- kiến thức cho mọi người cùng tham khảo- học tập.
Ví dụ 2: Chứng minh
∀
a, b, c >0 ta có :
• Nhiều tác giả đưa ra BDT phụ:
4
3
2
ba
ba
a −
≥
+
• Bây giờ tiếp tục với cách trên,ta xét:
byax
ba
a
+≥
+
2
và ( x + y =

2
2
≤








+
+
−−⇔
≤
+
+−+−
−−⇔
≤
+
−+−
+−⇔
≤
+
−+
+−⇔
≤
+
−+−⇔
−+≥

a ++
≥
+
+
+
+
+
2
Đẳng thức xảy ra khi





=
+
+
−
=−
0
)(2
2
0
ba
ba
x
ba




∀
a, b, c >0 ta có :
Ta xét:
byax
aab
ba
+≤
+
−
2
33
7
41
và ( x + y =5)
xy −=⇒ 5
0
7
641(
)(
0
7
35)(5
)(
0
7
))(()(35)(5
)(
0
7
535355





+
++
−−⇔
≥








+
+++++
−−⇔
≥
+
++−+−+−
−−⇔
≥
+
+−−−+
+−⇔
≥
+
+−+





=
+
++
−
=−
0
7
)641(
0
22
222
aa
aaa
x
ba





==
=
⇔
6
8
48

−
+
+
−
3
Vậy ta được BDT phụ:
ba
aab
ba
−≤
+
−
6
7
41
2
33
* Chúng ta dễ dàng chứng minh các BDT phụ trên.
B- BÀI TẬP:
1)
với a,b,c >0
( BDT phụ:
3
2
22
3
ba
baba
a −
≥

+
+
+
+
222
333333
với a, b, c > 0
(Ta có BDT phụ:
22
33
ba
ab
ba +
≥
+
)
4)
)(4
6
29
6
29
6
29
2
33
2
33
2
33

Cho a,b,c,d > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng:
2
1
2222
≥
+
+
+
+
+
+
+ da
d
cd
c
bc
b
ab
a
( Ta có bài toán phụ:
4
3
2
ba
ab
a −
≥
+
)

ab
( Ta có BDT phụ:
ab
bba
ab
−≤
+
−
4
5
19
2
33
)
** Tuy nhiên cách làm này chỉ áp dụng cho những bài toán chỉ có 1 cặp số
(a , b) trong cùng một phân thức, mà không áp dụng cho 3 số (a,b,c) ,4 số
(a,b,c,d) …trở lên. Hy vọng các đọc giả chia sẻ những kiến thức và đóng góp
ý kiến về pp tìm BDT phụ này. Xin cảm ơn tác giả “người đã đưa ra pp này”

www.toibietlabanbiet.com
4
3
22
3
22
3
2
3
cba
acac