Ph¬ng ph¸p gi¶I bµi to¸n vÒ CON LẮC ĐƠN
I.CƠ SỞ LÍ THUYẾT:
1. Con lắc đơn gồm một vật nặng khối lượng m, kích thước nhỏ, treo bằng một sợi
dây mảnh không co giãn ( kích thước của vật rất nhỏ so với độ dài của dây, khối
lượng của dây rất nhỏ so với m).
2. Lúc chưa dao động, con lắc đứng yên ở vị trí cân bằng, dây treo có phương thẳng
đứng. Trong quá trình vật dao động, hợp lực tác dụng lên vật theo phương chuyển
động là
α
sinmgF −=
( α là góc lệch khỏi vị trí cân bằng )
Với dao dộng nhỏ
l
S
mgF −=

Phương trình dao động
)sin(
0
ϕω
+= tSS
α
Hay
( )
ϕωαα
+= tsin
0
Tần số góc
l
g
=

2
2
0
2
2
cos
22
Cơ năng toàn phần
22
2
0
2
0
2
αω
mglsm
EEE
td
==+=
4. Chu kì của con lắc đơn phụ thuộc vào độ cao ( hoặc độ sâu ). Ở độ cao h, gia tốc
trọng trường
2
0








dR
R
gg
d
d
d
1
Chu kì con lắc đơn phụ thuộc vào nhiệt độ:
( )
00
1 tll
λ
+=
λ là hệ số nở dài của dây treo con lắc, l
0
là độ dài ở 0
0
C, còn l là độ dài ở nhiệt độ
t
0
C ).
5. Nếu ngoài lực căng
T

của dây treo và trọng lực
P

của vật, con lắc còn chịu them
tác dụng của ngoại lực
F

g
l
T
π
2=
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: Xác định chu kì ( hoặc độ dài ) của con lắc đơn và sự phụ thuộc chu kì con
lắc đơn vào độ cao và nhiệt độ.
BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Con lắc của một chiếc đồng hồ quả lắc được coi như một con
lắc đơn có chu kì dao động là 2s ở nhiệt độ 0
0
C và tại nơi có g = 9,81m/s
2
.
a) Tính chiều dài của thanh treo quả lắc.
b) Thanh treo quả lắc làm bằng kim loại có hệ số nở dài
15
10.80,1
−−
= K
λ
.Hỏi nhiệt
độ tăng lên đến 20
0
C thì đồng hồ đó chạy nhanh lên hay chạy chậm đi? Trong
một tuần lễ nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu?
c) Đưa đồng hồ lên cao 1km, tại đó nhiệt độ là 0
0
C thì nó chạy nhanh lên hay
chạy chậm đi? Trong một ngày nó chạy nhanh chậm bao nhiêu?

λ
+=
ta có
2

( )
g
tl
g
l
T
0
0
'
1
2
λ
π
+
==
( 2 )
Từ đó
λ
λ
λ
101
2
11
0
0

thời gian biểu kiến là

)101(86400).101(
86400
λλτ
−=−== T
T
nT
Nghĩa là đồng hồ ở nhiệt độ t = 20
0
C mỗi ngày chậm là:
λτθ
10.8640086400 =−=
,
và trong một tuần lễ đồng hồ chạy chậm

s1097.10.864007
≈=
λθ
d) Gọi T là chu kì con lắc ở độ cao h = 1km
Ta có:
2
0
0
''
;2





R
h
R
hR
g
g
T
T
+=
+
== 1
'
''
Nghĩa là T
’’
> T
’
: ở trên cao đồng hồ đã chạy chậm đi.
Lập luận tương tự như trên, ta tìm được số lần dao động n
’
mà con lắc ở trên cao
đã thực hiện được trong một ngày là:









. Biết rằng cũng tại nơI
đó, con lắc đơn có chiều dài l
1
+ l
2
có chu kì dao động là 4,8s và con lắc đơn có
chiều dài l
1
+ l
2
ở chu kì dao động là 1,6s. Hãy tính T
1
,T
2
, l
1
và l
2
.
Giải:
áp dụng công thức:
g
l
T

2=
ta đợc

2
2

222
2
1
222
1
2
2
4
2
2
2
1
2
2
3
2
2
2
1
2
2
4
21
2
2
3
21
2
2
2

2
2
2
2
==

Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Một con lắc đồng hồ chạy đúng trên mặt đất với chu kì dao động
bằng 2s.
a) Đa đồng hồ xuống giếng sâu 100m thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy
nhanh chậm bao nhiêu?
b) Khi đa đồnh hồ lên cao, nó chạy chậm đi 2,16s mỗi ngày đêm, tính độ cao của
đồng hồ so với mặt đất.
Bài tập 2: Một đồng hồ quả lắc chỉ giờ đúng ở mức mặt biển và ở nhiệt độ 18
0
C.
Thanh treo con lắc có hệ số nở dài
15
10.2

= K

.
a) Khi nhiệt độ hạ xuống đến 8
0
C thì đồng hồ vẫn chỉ giờ đúng. Giải thích hiện tợng
và tính độ cao của đỉnh núi đó so với mức mặt biển.
PHNG PHP GII:
1. p dng cụng thc
g

ở độ sâu d so với mặt đất) ta tính được
chu kì dao động T
’’
của con lắc ở độ cao h (hoặc ở độ sâu d). Từ đó ta thấy ở
độ cao h T
’’
> T, nghĩa là ở độ cao h so với mặt đất đồng hồ chạy chậm lại ( và
một cách tương tự, ở độ sâu d đồng hồ chạy nhanh hơn ).
4. Để xác định xem đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu trong một khoảng
thời gian nhất định ( trong một ngày, 1 tuần lễ, trong một tháng…), phải xác
định số lần dao độngn mà can lắc đã thực hiện trong khoảng thời gian
t
∆
( bằng cách tính thương của n và T
’
(hoặc T
’’
):
'
T
t
n
∆
=
.
Và lưu ý rằng cứ sau một dao động ( Sau một chu kì T
’
hoặc T
’’
) kim đồng

6. Khi tính toán bằng số cần chú ýđến đơn vị đo các đại lượng và phải đổi các dữ
liệu cho trong đề về các đơn vị SI, trước khi thay chúng vào các công thức
tính.
DẠNG 2: Xác định chu kì dao động của con lắc bằng phương pháp trùng phùng
BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Cho một con lắc đơn, có chu kì T chưa biết, dao động trước
mặt một con lắc đồng hồ có chu kì T
0
= 2s. Con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc
5
ng h mt chỳt nờn cú nhng ln hai con lc chuyn ng cựng chiu v trựng vi
nhau ti v trớ cõn bng ca chỳng ( gi l nhng ln trựng phựng ). Quan sỏt cho thy
khong thi gian gia hai ln trựng phựng lien tip bng 7 phỳt 30 giõy. Hóy tớnh chu
kỡ T ca con lc n v di ca con lc n. Cho bit g = 9,8m/s
2.
GII:
Vỡ con lc n dao ng chm hn con lc ng h ( ngha l trong cựng mt khong
thi gian s dao ng ca nú nh hn s dao ng ca con lc ng h ), cho nờn,
trong khong thi gian

= 7 phỳt 30 giõy = 450 giõy nu con lc n thc hin c
n dao ng thỡ con lc ng h thc hin c ( n + 1 ) dao ng. ta cú:

( )
1
1
0
0
==
+==
TT

tỡm c di ca con lc n

m
gT
l 00.1
4
2
2
=

Bài tập ví dụ 2: Cho một con lắc đồng hồ có chu kì T
0
= 2s và một con lắc đơn
dài 1m có chu kì T cha biết. Con lắc đơn dao động nhanh hơn con lắc đồng hồ một
chút. Dùng phơng pháp trùng phùng ngời tag hi đợc khoảng thời gian giữa hai lần
trùng phùng liên tiếp bằng 8 phút20 giây.Hãy tính chu kì T của con lắc đơn và gia tốc
trọng trờng tại nơi quan sát.
Giải:
Ta có:
( )


111
500,1
0
0
+=
=+=
TT
sTnnT

lần trùng phùng). Quan sát cho thâý hai lần trùng phùng kế tiếp cách nhau 9 phút
30giây.
a) Tính chu kì dao động của con lắc đơn.
b) Biết độ dài của con lắc đơn là 1m, hãy xác định gia tốc rơi tự do g.
PHƯƠNG PHáP GIảI:
õy l bi toỏn v phng phỏp trựng phựng, nh ú cú th o c chu chu kỡ
dao ng ca con lc ( hoc gia tc trng trng ). Ni dung ca bi toỏn l: cho hai
con lc ( Mt con lc cú chu kỡ T
0
ó bit v mt con lc cú chu kỡ T cn cỏc nh )
dao ng trong hai mt phng thng ng, song song, trc mt ngi quan sỏt.
Chỳng c b trớ sao cho ngi quan sỏt ghi c nhng ln chỳng i qua v trớ cõn
bngcựng mt lỳc v cựng chiu ( nhng ln trựng phựng ). Gi

l khong thi
gian gia hai ln trựng phựng liờn tip.
Nu T < T
0
thỡ con lc cú chu kỡ T cn xỏc nh s thc hin c nhiu ln dao
ng hn con lc cú chu kỡ T
0
mt n v, v ta cú

( )
TnnT 1
0
+==

Ngc li, nu chu kỡ T > T
0

nh c di l ( khi bit g ) hoc gia tc trng trng g( khi bit l ).
DNG 3: Xỏc nh chu kỡ dao ng ca con lc n chu tỏc dng ca ngoi lc
(ngoi trng lc).
BI TP V D 1: Mt con lc n gm mt qu cu nh cú khi lng m = 100g
mang in tớch q= + 10
-5
C, c treo bng mt si dõy cú di l. t con lc vo
trong mt in trng u m vộc t cng in trng
E

hng thng ng lờn
trờn v cú ln E = 100V/cm. Hóy xỏc nh chu kỡ dao ng ca con lc, bit gia
7
tc trng trng g = 9,80m/s
2
v khi khụng cú in trng thỡ chu kỡ dao ng ca
con lc bng 1,4s.
giải:
Con lc dao ng trong trng trng v in trng; trng ny tng hp cú tớnh
cht hon ton ging nh trng trng nờn c gi l trng trng hiu dng v
ta cú th coi con lc chu tỏc dng ca trng trng hiu dng

FPP

+=
'
vi F = qE.
Gọi
'
g

m
qE
gg =
'

Do đó chu kì dao động T

của

con lắc bây giờ bằng

'
'
2
g
l
T

=
Biết
g
l
T

2=
ta có
m
qE
g
g

Bài tập ví dụ 2: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ bằng kim loại có khối l-
ợng
m = 40g đợc treo vào một sợi dây dài 1,2m, tại nơI mà g = 9,8m/s
2
.
a) tính chu kì dao động của con lắc.
b) Tích điện cho quả cầu một điện tích q = + 10
4
C rồi cho nó dao động trong điện tr-
ờng đều có cờng độ E = 10V/cm. Hãy xác định vịo trí cân bằng và chu kì dao động
của con lắc trong hai trờng hợp: vectơ
E

hớng thẳng đứng xuống dới, vectơ
E

hớng
nằm ngang.
Giải:
8
a)
s
g
l
T 2,2
8,9
2,1
28,62 ==

b) E = 10V/cm = 1000 V/m


so với
phơng thẳng đứng, với

255,0
8,9.04,0
10.10
34
==

P
F
tg

Chu kì của con lắc là:

'
2
2
g
l
T

=
Với
14,10
2
2'



. Treo con lắc vào trần một thang máy.
a) Tìm chu kì dao động của con lắc trong trờng hợp thang máy đi lên: nhanh dần đều
với gia tốc a = 0,2m/s
2
, chậm dần đều với gia tốc a = 0,2m/s
2
, đều.
b) Hỏi nh câu 1 trong trờng hợp thang máy đi xuống.
c) Để chu chu kì dao động của con lắc giảm 2% so với lúc thang máy đứng yên thì
thang máy phải chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu. Hãy nói rõ tính chất chuyển
động của thang máy khi đó.
Phơng pháp giải:
1. Nếu ngoài lực căng
T

và trọng lực
P

con lắc còn chịu thêm tác dụng của một
ngoại lực
F

không đổi thì coi nh con lắc chịu tác dụng của trọng lực hiệu dụng
FPP

+=
'
. Gọi
'
g

l
T

=

2. Nếu ngoại lực
F

hớng thẳng đứng lên trên ta có:

TTg
m
F
ggFPP ><==
'''
;

Nếu ngoại lực
F

hớng thẳng đứng xuống dới
TTg
m
F
ggFPP <<+=+=
'''
;

Còn nếu
F

đợc xác định bởi
P
F
tg =

Nếu
F

có phơng bất kì thì ở vị trí cân bằng dây treo của con lắc lệch theo phơng của
hợp lực
F

và
P

. Biết phơng của lực
F

( biết góc giữa
F

và
g

), dựa vào hệ thức lợng
trong tam giác tạo bởi
F

và
P

U
E =
trong trờng hợp điện trờng trong khoảng không gian
giữa hai bản tụ điện.
b) Lực đẩy Acsimet F
A
= DVg
c) Lực từ.
d) Lực quán tính: Khi con lắc treo trong một hệ chuyển động với gia tốc
a

, nó chịu
tác dụng của lực
amF


=
, có hớng ngợc với
a

và có độ lớn ma.
4. Chú ý quy đổi về hệ đơn vị SI và các đại lợng đã cho trong đề.
10
dạng 4: Dựa vào sự biến đổi năng lợng của con lắc để xác định vận tốc của con lắc
và lực căng của dây treo.
Bài tập ví dụ1: Một con lắc đơn gồm một quả cầu có khối lợng 200g treo vào sợi
dây không dãn dài 1m.
Kéo con lắc lệch khỏi phơng thẳng đứng một góc
0
0

2
mv
mgh =
Với h = OH OH
0
= l(cos

- cos

0
) 0
0
45
Từ đó suy ra:

( )
0
cos - cos2

glv =
( 1 )

Theo công thức (1) ta tính vận tốc của quả cầu đạt l
giá trị cực đại khi

= 0, tức là khi con lắc đi qua H
0
M
0
vị trí cân bằng. Khi đó ta có h

là lực truyền cho nó gia tốc hớng tâm, do đó ta
có:

l
v
mPT
2
cos =

11
Suy ra
l
mv
mgT
2
cos +=

Thay v từ (1) vào ta tính đợc:
)cos2cos3(cos2cos3
00

== mgmgmgT
(2)
Từ công thức (2) ta tính đợc lực căng T đạt giá trị cực đại khi

= 0 tức là khi con lắc
đi qua vị trí cận bằng. Khi đó

NmgT 12,3)cos23(
0

0
60=
m

.
Bài tập ví dụ 2: Một con lắc đơn gồm một quả cầu có khối lợng 40g (coi là chất
điểm) treo vào một sợi dây không dãn dài 2m. Kéo con lắc lệch ra khỏi vị trí cân
bằng một góc 30
0
rồi buông không có vận tốc đầu.
a) Tính vận tốc của quả cầu và lực căng của dây treo khi con lắc đi qua vị trí cân
bằng.
b) Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng thì dây treo bị đứt. Hỏi quả cầu chạm đất cách vị
trí cân bằng bao xa (tính theo phơng ngang), biết rằng vị trí cân bằng của quả cầu ở
cách mặt đất 1m.Bỏ qua ma sát và lấy g = 9,81m/s
2
.
Giải:
( )
N
l
v
gmT
l
mv
mgT
smv
mgl
mv
496,0

Quả cầu chạm đất cách vị trí cân bằng: s = v.t

1,03m
12
Bài tập áp dụng: Một con lắc đơn gồm một quả cầu có khối lợng 100g treo vào
một sợi dây không giãn dài 80cm.
a) Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng đến vị trí có li độ góc
0
0
30=

rồi buông ra
không có vận tốc đầu. Tính động năng và vận tốc của quả cầu khi con lắc qua vị trí
cân bằng.
b) Khi tới vị trí cân bằng sợi dây treo đụng vào một cái đinh nằm dới điểm treo con
lắc trên phơng thảng đứng và cách điểm treo một đoạn bằng 40cm. Hãy mô tả chuyển
động của con lắc ở hai bên vị trí cân bằng. Tính tỉ số lực căng dây treo cũng với vị trí
biên ở hai bên vị trí cân bằng.
c) Tính chu kì của con lắc trong chuyển động nói trên khi biên độ góc nhỏ.
Bỏ qua ma sát và lấy g = 9,80m/s
2
Phơng pháp giải:
1. Khi không có ma sát (đề bài nói rõ là bỏ qua ma sát) ta áp dụng định luật bảo
toàn cơ năng cho chuyển động của quả cầu ( cần lu ý rằng, ở đây ngoài trọng
lực quả cầu còn chịu tác dụng của lực căng
T

của sợi dây, nhng vì quả cầu
chuyể động trên cung tròn nên công của lực căng bằng không).
2. Để tính thế năng của quả cầu, ta lấy mốc thế năng tại vị trí cân bằng của quả

P

của trọng lực vuông góc với dây treo thì có tác dụng gây nên chuyển động có
gia tốc của quả cầu trên cung tròn, nó có tác dụng kéo con lắc trở về vị trí
cân bằng.
5. Nếu có ma sát thì dao động của con lắc sẽ tắt dần (cơ năng của con lắc sẽ
không còn đợc bảo toàn).
6. Khi tính toán bằng số, cần chú ý quy đổi đơn vị các đại lợng cho trong đề về
các đơn vị SI.
Sông Công, tháng 3 năm 2011
Ngời viết
13
Bïi ThÞ Thu Hêng

14