Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 1
BÀI 3: BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Để giải bất phương trình chứa căn thức người đều quy về việc giải bất phương
trình không chứa căn thức (đặc biệt là quy về bất phương trình bậc hai).
Để làm điều đó, người ta thường dùng các phương pháp cơ bản như: Đặt ẩn phụ,
nhân liên hợp hoặc biến đổi tương đương để làm mất các căn thức có mặt trong bất
phương trình chứa căn thức ban đầu.
Cần lƣu ý các dạng cơ bản sau của bất phƣơng trình chứa căn thức:
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
gx
fx
f x g x
gx
f x g x
( ) 0gx
,
( ) 0fx
, bpt
nào đơn giản thì ta làm).
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
gx
f x g x f x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
gx
f x g x f x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
fx
f x g x
f x g x
2
2
2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
gx
gx
gx
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 2
2
2
2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
gx
2
22
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
gx
gx
f x g x
f x g x
g x f x g x
2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x f x g x
f x g x
2
2
2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x f x g x
f x g x
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
0
0
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
f g h f h g
f g h f h g
f g h f h g
f g h f h g
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Bài 1(ĐHKTrúc-1977): Giải bất phương trình:
4 1 1xx
Bài giải:
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 3
Ta có:
1 4 1 4
4 1 1
4 2 2 1 1 1
xx
.
Bài 2(Khối.A-TP.HCM-1983): Giải bất phương trình:
1 4 2 1xx
x
xx
x
xx
2
;0
1
1
0
2
2
20
x
x
x
x
x
x
2 2 2
2 2 2
2 10
4 4 2 6 4 10 0 0 10
x x x
x
x x x x x x x
.
x
x
xx
x
xx
x
xx
x x x
; 3 5;
3 5;7
3 5;
3;7
7
7
x
x
2
2
2 2 2
2
2
3 2 0
4 3 0
3 2 4 3 2 5 4
5 4 0
2 1 ( 2)( 3) ( 1)(2 11)
xx
xx
x x x x x x
xx
x x x x x
24 97 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x x x x x
x
x
x
x x x
x
x
.
Bài 6(ĐH Dược.HN-2000):
Giải bất phương trình:
2 2 2
8 15 2 15 4 18 18x x x x x x
22
2
2
2
24
;3 5;
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 6
g
f g h
h
f g h f g
0
0
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
0
0
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
Bài 7(ĐH An Ninh-TP.HCM-1997): Giải bất phương trình:
3 2 8 7x x x
Đáp số:
4;5 6;7x
.
Bài 10(ĐH Mỹ Thuật-1998): Giải bất phương trình:
7 1 3 18 2 7x x x
Đáp số:
9x
Bài 11(ĐH Dân lập Tôn Đức Thắng-1998):
Giải bất phương trình:
3 1 2x x x
Đáp số:
2 21
3
x
Bài 12(ĐH An Ninh-1999): Giải bất phương trình:
5 1 4 1 3x x x Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 7
Đáp số:
1
4
x
9 9 0
22
x x x
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy
9 3 5 9 3 5
;
22
x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 16: Giải bất phương trình:
12 3 2 1x x x
Bài giải:
Điều kiện:
12 0
3 0 3
2 1 0
x
xx
x
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 8
Đáp số:
37
; 3;
2
x
.
Bài 18(ĐH Quốc gia-HN-1997): Giải bất phương trình:
2
6 5 8 2x x x
Đáp số:
3;5x
.
Đáp số:
7
1;
2
x
.
Bài 22(TK-D-2005): Giải bất phương trình:
2
8 6 1 4 1 0x x x
Đáp số:
11
;
42
x
.
Bài 23: Giải bất phương trình:
2
4 2 2 2
2
2
1
1
1
1
2 1 1 1 1 1 1
; 2 1;
11
0;1
11
x
x
x
x
x x x x x x x
x
xx
x
xx
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 9
1
1
1
x
xx
x
.
Bài 26(Học viện quân y-2000): Giải bất phương trình:
4 1 2xx
Bài giải:
Điều kiện:
10
xx
5 13x
Vậy
5 13;1x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 27(ĐH Sư phạm Quy Nhơn-2000):
Giải bất phương trình:
5 4 5 4 4xx
Đáp số:
0;1x
Bài 28(ĐH Hàng hải-2000): Giải bất phương trình:
11
42
xx
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
.
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 10
Bài 29: Giải bất phương trình:
11x x x
(*)
Bài giải:
+) Điều kiện:
11x
+) TH1: Xét với
1 0 1 1x x x
, khi đó:
10
2
2
2 2 2 2 2 2 2
(*) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 4 1
x
x x x x x x x x x
2
2
4 3 0
1
; 1 3;
2
2 3 1 0
xx
x
xx
.
+) Với
1x
thỏa mãn bất phương trình (*).
+) Với
1
2
1
;1
2
x
thỏa mãn bất phương trình đã cho. DẠNG TOÁN: DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG
Bài 1(A-2004): Giải bất phương trình:
2
2( 16)
7
3
33
x
x
x
xx
Bài giải:
xx
.
Bài 2: Giải bất phương trình:
3
2
Bài 3(D-2002): Giải bất phương trình:
22
( 3 ) 2 3 2 0x x x x
Bài giải:
Ta có bpt
2
2
( ;0] [3; )
30
1
( ; ] [3; )
Bài giải:
Ta có:
2
2
4
2 2 2
22
1;1
1;1
1 1 2
4
1 1 1 2
2(1 1 )
16
16
x
x
x
xx
x
x
x x x
xx
22
1;1 1;1
0
00
1;1 \ 0
00
1 (1 ) 1
1 1 1 2 1 1 1
8 256 8 256
16 16 16
xx
x
xx
x
xx
x x x x
x
x x x
xx
24
2
0
1;1 \ 0
0
1;1
1;1 \ 0
10 0
8 32
x
x
x
x
x
xx
x
; 2 2;x
.
Ta có:
2
2 2 2
2
3
43
( 3) 4 9 ( 3) 4 ( 3) 0
3
43
x
xx
x x x x x x
x
xx
3
13
3
6
30
6
6 13 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Bài giải:
Điều kiện:
;2 \ 0x
.
Ta có:
2
2
0
0
4 11 7 0
2 3 2 0 2
2 4 3 2 2 3
20
3 2 0
02
3 2 0
2 3 2
4 11 7 0
x
x
xx
x x x
x x x x
x
1
1
xx
x
Bài giải:
Điều kiện:
2
51 2 0
1 2 13; 1 2 13 \ 1
10
xx
x
x
.
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
Đáp số:
94
1;0 ;
73
x
.
Bài 9(ĐH Giao thông vận tải-1998):
Giải bất phương trình:
22
3 6 4 2 2x x x x
Bài giải:
Ta có:
2
22
32
2
2 2 0
1 3 1 3
3 6 4 2 2
( 4 3 14) 0
.
Bài 10(ĐH Huế-1999): Giải bất phương trình:
22
66
2 5 4
x x x x
xx
Bài giải:
Ta thấy:
2;3x
thỏa mãn bất phương trinh.
Ta có:
2
22
2
60
6 6 1
60
2;3
2; 1
5
; 4 ; 1
2
x
x
x
.
Vậy
2; 1 3x
là miền giá trị cần tìm.
x x x x
xx
3;4
2;4
9
2; 11;
2
x
x
x
x
x
x
x x x x x x
xx
x
x x x
.
Bài 13: Giải bất phương trình:
22
1 1 2
xx
x x x
.
Ta có:
2 6 3
2 2 4 2
1 1 2 1 4
2 2 1 2x x x x x x
x x x x x
3
3
3
3
3
6 3 6
3
2
20
5
2
20
4
5
1 4 4
4
x
x
x
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy
3
5
4
x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 14: Giải bất phương trình:
2
2
4 1 2 10 1 3 2x x x
(*)
Bài giải:
+) Điều kiện:
3
2
x
+) Ta có:
2
2
2 2 2
22
thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Bài 15: Giải bất phương trình:
2
1
1 1 2
4
x x x
(*)
Bài giải:
+) Điều kiện:
11x Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 17
+) Ta có:
2 2 4 2 2 4
11
(*) 2 2 1 4 1 2 1 1 0
16 16
x x x x x x
1
1
10
xx
xx
x
x
x
+) Ta có:
2
2
2
5 8 2 3 1
2 3 2 2 3 1
x x x x x
xx
xx
xx
2
30
3 1 0
13
5
13
13
13
x
Bài 1(ĐH Sư phạm Quy Nhơn-1998): Giải bất phương trình:
2
2
94
32
51
x
x
x
Bài giải:
Điều kiện:
55
;;
55
x
.
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
2
2
3
2
2
2
x
x
x
xx
x
Kết hợp với điều kiện ta có:
2 5 5 5
;;
3 5 5 2
x
là miền giá trị cần tìm.
DẠNG TOÁN: DÙNG ẨN PHỤ
.
Ta thấy:
2
2
13
1 2( 1) 1 2 0,
22
x x x x
.
Suy ra bpt
22
1 2( 1) 2( 1) 1 0x x x x x x x x
(*)
Do
0x
không thỏa mãn bất phương trình nên ta có:
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 19
(*)
2
1 1 5 3 5
1 1 0
22
x x x x x
x
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:
35
2
x
.
N.Xét: Ta có thể dùng kiến thức bất đẳng thức Bunhiacovsky để giải bài toán trên.
Bất đẳng thức Bunhiacovsky:
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ab cd a c b d
Dấu “=” xảy ra
ac
bd
Cách 2: Điều kiện:
2
2
0
22
1 2( 1) 2( 1) 1x x x x x x x x
(1)
Mặt khác:
cov
2
22
(1 ) (1 1) (1 ) 2( 1)
Bunhia sky
x x x x x x
(2)
Từ (1) và (2) bất phương trình xảy ra
2
1 2( 1)x x x x
.
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 20
Hơn nữa để (2) xảy ra
1 5 3 5
1 1 0
22
.
Ta thấy:
2
2
13
1 2( 1) 1 2 0,
22
x x x x
.
Suy ra bpt
22
1 2( 1) 2( 1) 1x x x x x x x x
2
2
2
2
35
15
10
0
35
0
1 5 3 5
2
22
10
x
xx
xx
.
Vậy bất phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất:
35
2
x
2
22
0
1
( ) 2
2
ab
ax
I a b a b
a b a b
bx
2
0
0
0
Bài 2(Trung tâm đào tạo và bồi dưỡng cán bộ y tế-TP.HCM-1993):
Giải bất phương trình:
51
5 2 4
2
2
xx
x
x
Bài giải:
Điều kiện:
0x
.
Ta có:
5 1 1 1
5 2 4 2 5 4 0
24
22
x x x x
xx
xx
t
t t t
.
Suy ra:
0
2 2 3
0 0 2
1
22
2 2 4 1 0
3
2
22
2
2
2
x
xx
x x x
x
x
x
Page 22
Bài 3(ĐH Thái Nguyên-2000): Giải bất phương trình:
31
3 2 7
2
2
xx
x
x
Đáp số:
33
0;4 7 4 7;
22
x
.
Bài 4: Giải bất phương trình:
2
1 4 1 3x x x x
(*)
Bài giải:
+) Điều kiện:
2
4 1 0
1 1 1
2 2 2
cauchy
t x t x x t
xx
x
, khi đó:
2
22
2
2
30
3
60
5
23
(1) 6 3 6 3
30
2
5
2
63
t
t
t
t
t t t t t
t
Suy ra:
1
1
15
2
2 5 2 0
4
2
4
2
x
x
x x x
x
x
x
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 23
Điều kiện:
0;4x
.
Ta có:
22
( 4) 4 ( 2) 2 (4 ) (4 ) 1 2 0x x x x x x x x x
(*)
Đặt:
(4 )( 0)t x x t
, ta có:
2 3 2 2
(*) ( 1) 2 0 2 0 ( 1)( 2 2) 0 1t t t t t t t t
.
Suy ra:
2
(4 ) 1 4 1 0 2 3;2 3x x x x x
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy
2 3;2 3x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 6(ĐH An ninh-2000):
Giải bất phương trình:
7
2 7 7 2 7 6
tx
xx
.
Suy ra:
6
13
7
tt
. Khi đó ta có bất phương trình:
2
13
13 13 13 7 7 7 6 13
182 0
t
t x x
tt
là miền giá trị cần tìm.
Bài 7: Giải bất phương trình:
2
1 3 3 2 2x x x x
Bài giải:
Điều kiện:
2
10
1
3 2 2 0
x
x
xx
.
Đặt:
x
uv
xx
3
25 33
1 4( 3)
8
4 25 37 0
25 33
8
xx
xx
x
x x x
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
xx
xx
x
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 25
Điều kiện:
x
.
Ta có:
2 2 2
( 1)( 4) 5 5 28 5 28 5 5 28 24 0x x x x x x x x
(*)
Đặt
2
5 28 0t x x
, ta có:
0
2 2 2
(*) 5 24 0 0 8 0 5 28 8 5 36 0 9 4
t
t t t x x x x x
.
Vậy
9;4x
x x x
x
x
xx
(*)
Đặt
2
2
0
1
x
t
x
, ta có:
2
2
2 4 2
2
2
25
1225 25 25
9
(*) 2 0 144 625 625 0
25
144 12 12
x
x
x
Vậy
55
1; ;
Copyright: Tài liệu đại học ©