Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Mục Lục:






 !"#$%
&#!&'()!(*+,-%.
$/!0.1
2!&'!33!34$
5!&'!3!678-2
%890:;!<=>!?(0==@!<=5.
:ABCDCEF.G$
HIJ$$$
ABKBLMCNOPQ$2
-Các từ viết tắt:
sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN)
- Điều kiện xác định: (ĐKXĐ)


1
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ .
CRSTCUKANVCWXCABKYCZS[\]W^B_`aWbKTB\M`BXM
cBBd\eM_fNdSACgMf_C^QWhCRNKcBBPBfaYCi
QZSAC`BMMfWbWF\Bd\eMCjkCKlMCR
STCUNbBNbBSm\nKAW`BCFNAocBWNNdCQp\KMT
CRNCnBp\qBSACCBhCgMf
7rBKQ^BsABCQCRSTCU\to\\BPBBduF

* PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA
HI!<=
‡
ˆ ‰ 4
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 4
ˆ ‰ ˆ ‰
 
     
   
≥


= ⇔ ≥


=

‡

ˆ ‰ 4
ˆ ‰ ˆ ‰
ˆ ‰ ˆ ‰
 
   
   
≥

= ⇔

=



=

5‡
Š


ˆ ‰ 4
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰
ˆ ‰ ˆ ‰


 
    
   
≥

= ⇔ ∈

=

%‡
Š
   
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰
 
        
+ +
= ⇔ = ∈

 
$
⇔ =
Bài 2:BPBCR
 $ 4 − + =
!\t
 $ 4 − + =

 $ ⇔ + =



4
 $
4
 $ 4
4
$

$

 

 




≥


Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
  4
 4
2     ˆ  ‰ˆ ‰


    

− ≥

⇔ − ≥


+ = − + − + − −




   $ 

  

≤

⇔


+ = − +




 

−

≤ ≤
−


≤ ≤
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
=

 
+ =



= −


Bài 4:BPBCR

 $ 2 4 − − − =
!H

 4


=


− =


⇔ ⇔
−

=

− + =


H•CFˆ‰SAˆ‰CWF\„Œ
Bài 5.BPBCR
$ $  − = +
HD:O
4 $≤ ≤
OBWtCWb\QCW
$ 
$ $ 4  + + − =
$
$
 4 4 
$ $ $ $
 
−
 
⇔ + = ⇔ =


=
+ + = −




Bài 7.BPBCR_M
( ) ( )


$
$
 $ 1   $ $     + + = + +
HD:C
( )
$
$ $
 $ 4   ⇔ + − = ⇔ =
Bài 8.BPBSAsBLKMDCR

„ 2 „ N− = −
!\t

„ 2 „ N− = −
⇔
   
„ N „ N
„ 2 „ 2„N N N„ ˆN 2‰ 4
≥ ≥

••MN“4N

•2’N

⇔N

•2⇔N’G
tNK^B
G•MN’GQy\4“N’CR\tNVCBLN

N 2
„
N
+
=
G•MG“N’4Qy\N‘CRSTBLN
Bài 9.BPBSAsBLKMDCRS”BNKACN_`
! −=− $

"#$%&'()!$*+++,
!\t

   
„ N „ N
„ $ „ N
„ $ „ N N„ N„ ˆN $‰ 4
≥ ≥
 
− = − ⇔ ⇔
 


•$⇔N’
$−
tNK^B
G  •M 
4 N $≤ ≤
 Qy\ 
N $≤ −
    CR  \t  NVC  BLN

N $
„
N
+
=
G•M
$ N 4− < ≤
Qy\
N $>
CRSTBLN
Bài 10.BPBSAsBLKMDC‚QCN_`NCR
„ „ N N− = −
!BXMOBL„•4
G•MN“4CRSTBLN
G•MNŒ4CRCiCA
„ˆ „ ‰ 4− =
⇒\tBBLN„

Œ4a„


5‡
„ $ 5 „ + = − −

.‡
„ „  „ 2 „ 1 4− − − − + + =
•‡
 5 4 − − =
4‡

5   4

 − + =
‡
1
$  $
%
− + =
$‡
% . • $ + = −
2‡
$   $ + + − =

5
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Bài 2BPBCR
‰

  − = −
s‰
 $ 4 − + =

   − =
‚‡
5 $
$ 1 . 2  
$ 
  − − − + − = −
\‡
$ . 2 4 − + =
–‰
 
ˆ $‰ 4    + − = − −
PHƯƠNG PHÁP 2:ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
I-KIẾN THỨC:
8…gv—W˜Ce\_M

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ˆ ‰ 4‰
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰
ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ˆ ‰ 4‰
     
       
     
= ≥

= ⇔ = ⇔

= − <


II-BÀI TẬP:
Bài 1: BPBCR


+ + + + − = + −


ˆŠ‰
yC  f  Œ 
„ +
 ˆf  •  4‰ ⇒   CRˆŠ‰ Wb  \Q  Ci  CA
f  ™ f $™  ™ f ™+ + − = −
G•M4’f“f••$GfŒGf⇔fŒGˆKQ^B‰
G•M’f’$f••$GfŒfG⇔fŒ$

6
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
G•Mf‘$f••fG$ŒfGˆSTBLN‰
”BfŒ$⇔„•Œ1⇔„Œ•ˆCQPNb‰Df„Œ•
Bài 3:BPBCR
  5  $  5 .    − + − + + + − =
!H
5

 ≥

 5   5   5 %  5 1 2   ⇔ − + − + + − + − + =

 5   5 $ 2 ⇔ − + + − + =

 5 5⇔ − =

5

BPB\\CR_M
‡

  5 + + =
‡
2 2 $ − + =
$‡

% 1    − + = −
2‡
2 2 5   + + = +
5‡
 
  2 2 2   − + + + + =
%‡
  2 2 4   − + − − + =
.‡
  
% 1  • •       
− + + + + = − +
•‡
 
2 2 % 1    − + + − + =

1‡
       + − + − − =
 4‡
$  2 2 2    − − − + − − =
‡
%    %     

$
   


   
+
+ − + − − =
4‡

2 2   − + = −
‡
ˆ ‰ 2 2   %  1    
− + − − + − − − + =
‡
• %  2 + − − =
PHƯƠNG PHÁP 3:ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
 `BS”BBXMCRSTSTCšaWhBPB\ZC\tChWyC
( )
  =
SA\ZYWBXMOBL\]

•MCRsWMCiCACR

7
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
\eNVCsB•

•MCpC\tChBPBWF\CRWtC‚Q



5
2


−
=
fSAQC\tCR_M
2 
 2 
4 5 %
 ˆ 5‰   • . 4
% 2
 
    
− +
− − − = ⇔ − − + =
 
ˆ  .‰ˆ  ‰ 4   ⇔ + − − − =
CRNWF\s`BLNKA
a $a2
  •   $ = − ± = ±
Q
4
≥
d\šD\\BC[
 $
  a   $ = − + = +
jWtCRNWF\\\BLN\]CRK
   $ vaø  = − = +

jWtCCRNWF\\\BC[\]
 .


−
=
Bài 4 BPBCR_M
( )
(
)

442    = + − −
HD:H
4 ≤ ≤
yC
2 = −
CRCRCiCA
( )
( )


  44 4  42 2 2 2 − + − = ⇔ = ⇔ =

8
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Bài 5.BPBCR_M


 $    





−
a\t
$
 4 + − = ⇔
 5


 
±
= ⇔ =
Bài 7.BPBCR
 
$  •  . .    + + + + + =
!yCfŒ

. . + +
•
42 ≥
CR\tg^$f

•f5Œ4
5
$

2
2
−

 
43 3 
α β
+ + =
ˆ‰s—\\
Ÿ•C
4
≠
CRCiCA

4
3 3
 
α β
   
+ + =
 ÷  ÷
   

4 =
C…C{\CB•
=\CcF_M\ WSXWF\ˆ‰

( ) ( ) ( ) ( )
 4 5  67   5  7 + =

 
3  !3 
α β
+ = +

Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
( ) ( ) ( )
2  2    
            + + = + + − = + + − +
( ) ( )
2  
        + = − + + +
( ) ( )
2  
2           + = − + + +
!bfC^QoCRSTCšg^CdS}gv
 2
2   2   − + = +
h\tNVCCRW~a\ZCPB\pL_`asa\_Q\Q
CRsD\B

44 6 + − =
BPB›BLNW~œ
Bài 1. BPBCR
( )
 $
  5  + = +
HD:yC

$
 ˆ 4‰ •  ˆ ‰

3  3    = + ≥ = − + ≥

CRCiCA

( ) ( ) ( )
2  2    
            + + = + + − = + + − +
SB•C
( ) ( ) ( ) ( )
   
  $         
α β
+ + + − + = − + + − +
¢kCS•CBS”BˆŠ‰CWF\
( ) ( ) ( ) ( )
   
$  %  $         − + + + − + = − + + − +
yC
 
$ $
 • 
2 2
3   3    
   
= + + ≥ = − + ≥
 ÷  ÷
   
CRCiCA$M•%SŒ
$ 3
$3 
⇒ =
jWlfC_|CRNWF\„
Bài 3:BPBCR_M
 $



+ = ⇔

=

WF\
2 % = ±
Bài 4.BPBCR
( )
$
$ 
$   % 4   − + + − =
!D„•CyC
2 = +
CsB•CCdSXCRCMkCsD\
$W`BS”B„SAf

10
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
$  $ $  $
$  % 4 $  4

 2
  2   2 2
 2
=

− + − = ⇔ − + = ⇔



•S

‰
⇔
( ) ( )
$ $ 43  3 − − =
$
$
3 
 3
=

⇔

=

•MMŒ$S
 
 $  1 4 • 4    ⇔ + = − + ⇔ − + =
ˆSTBLN‰
•MSŒ$M
 
5 $$
 $  4 • 4
5 $$

    




= −


OBWtCRCiCA
 
$3  3 + = −
fˆM•S‰ˆMS‰Œ
( ) ( )
3  3 + −
Bài 2.BPBCR_M
 
   $ 2     + + − = + +
!O


 ≥
:RS•C\t
( )
( )
( )
( )
( )
( )
   
                  + − = + ⇔ + − = + − −
\tChWyC


 


 5  5
  
 
3    
+ +
= ⇔ + = −
Bài 3.BPBCR
 
5 2 1 4 5     − + − − − = +
!O
5 ≥
=MfhS•sRCWF\
( )
( )
 
 5  5 4     − + = − − +

11
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Nhận xét : HTC¢C^B_`
a
α β
Wh
( )
( )
 
 5  4     
α β
− + = − − + +

( ) ( )
 $  $  4   + − + − + =
HBCBhSAZCpC_|WF\oCRSTCšOTCNCc
\ZCAQaWVOt\]CRg^AfvCMV\SAQCRC}\
NAC„MkCC
jWt\ZCN”BWBCRN\\BPBCRg^Af
BPBWF\ChBL•M\\S}gv_M
Bài 1.BPBCR
(
)
  
$       + − + = + +
!yC

 = +
•
 ≥
aC\t
( )

$
 $ $ 4


   
 
=

− + − + = ⇔



= −

Bài 3:BPBCR
( )
 
$  $    + + = + +
!yC

•   = + ≥
CRCiCAC

ˆ„•$‰C•$„Œ4

⇔
ˆC„‰ˆC$‰Œ4

$
 

=

⇔

=

•MCŒ„

 ⇔ + =
ˆTKY‰

  $ $  5 5        = − − + − − + − −
!H
 ≤
yC
 • 4
$ • 
5 • $
3  3
  
:  :

= − ≥


= − ≥


= − ≥


aC\t
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )





$ $

 
$ 
  $

4 
6  
  
;  

= −


= − −


= + +


= − +


aOBWtC\t
   

4 6  ;

4 6  ;
+ = +

⇔ = −


− = −

− = −

jWtC\t

2s

Œs
⇔
ˆs‰ˆ•s‰Œ4

 
4 6
4 6
=

⇔

= −

•MŒs
 

2 5   
$
    ⇔ + + = − + ⇔ =
ˆCQPNb‰
•MŒs

$ 
2
2
2
2
          + − + − = − + + −
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
 yC
( ) ( )
a3   
α β
= =
SACRNN`B•MLBo
( )

α
SA
( )

β
CjWtCRN
WF\LC‚QMaS
Bài 1. BPBCR
(
)
$ $
$ $
$5 $5 $4   − + − =
!yC

yC
2
2
 
4  a4  
 3
3 
 

− − =

⇒ ≤ ≤ − ≤ ≤ −

=


WSXLCR_M
2
2

 2
2
2





 
 

 
+ − + =
 ÷
 
aCjWtCRN

¢BCf
SAQCRNBLN\]CR
Bài 3. BPBCR_M
5  % + + − =
!BXMOBL
 ≥
yC
a 5 ˆ 4a 5‰4  6  4 6= − = + − ≥ ≥
CRCWSXLCR
_M


5
ˆ ‰ˆ ‰ 4  4 
5
4 6
4 6 4 6 4 6 4 6
6 4

+ =

⇒ + − + = ⇒ − + = ⇒ = −

− =

ˆ ‰ 4 
4
 2
2 2 •
ˆ ‰ 
ˆ ‰
$
$
3  3
3 
3 
3 
3
3 


+ = +
+ =
 
⇔
 
 
+ − =
− − + + =
 ÷
 

 

Bài 5. BPBCR

=
=
⇔
=+−⇒
$
5
4%15•




”BCŒ5
⇒
„Œ2
”BCŒ$
⇒
„Œ52•
Bài 6. BPBCR
$  $ 
  $   + − + + + =
ˆ‰
!”BWBXMOBL
$  $ 
 4  4   + − ≥ ⇒ + + >
yC
$ 
$ 


3  

 
 
+ =


− =


+ =  + = =


⇔ ⇔ ⇔
  
+ − = − = =





+ − =

⇔

+ + =



+ − =
⇔


Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
!BXMOBL

 
 4
4 
4
4





 − ≤ ≤
− ≥

⇔ ⇔ ≤ ≤
 
≥
≥


ˆŠ‰
”BWBXMOBLˆŠ‰aWyC
3 =
•
 −=
$

aS”BM•4a

2 2
2 



     

 
 


$
$




$
$
      


$
$
% %5
2
   4
    
1 •
1




+ =
+ =



⇔ ⇔
 
 
 
+ − = + − − =
 





+ =
+ =


 
⇔ ⇔
 
 
 
− − =
− − =









+

=




⇒
MSASKABLN\]CR






=
+
+−
=
−
+−
‰ˆ4

= 22
QWt






=
=
∨
=
=




2
23
2
23

16
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
RM•4dC\p
$
$

1.


=⇒ 
DfCRWb\Q\tBLNgMfkC

$

1.

1









−+=
Bài 8. BPBCR
25%25•
22
=−++ 
!”BWBXMOBL








aS”BM•4aS•4
8Mf



−=
+=

3
5%2
5•
2
2
CRWb\QCWS”BL
( )










≥≥
=−+
=+
⇔
≥≥

=∨=
=
⇔
≥
=+−
=
⇒





≥≥
=−−
=
4
1$
2
4
4•.$
2
4a4
•
2




9
99

=
∨
=
=

$
$


3

3
8Mf
2 2
2 2
• 5  • 5 $
%2 5 $ %2 5 
 
 
 
+ = + =
 
∨
 
− = − =
 
 
• 5  • 5 •
%2 5 • %2 5 
 




=


5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II
 bfWBCRNM¢`\\]osABCQBPBCRs—\\
WSXLW`B„eKQ^B
 „•CNVCLCRW`B„eKQ^B_M
( )
( )


  ˆ‰
  ˆ‰
 2
2 

+ = +


+ = +



SBL\BPBLAfCRWBP
:lfBcC_|sB•LCACRs—\\WyC
( )
2  =

2 4 6
α β
+ = +
aOBWtC\t
CR
( )

4
 4 6 6
β
α β
α α
+ = + + −
C{\QsD\\Q
( )


4
 4 6 6
β
α β
α α
+ = + + −
tNK^BCRCc\Qg”Bg^OBCBhCPBSB•CSXg^
( )
§ §


 ( 4  6
α β γ


ˆ ‰     − − = −
yC
  2 − = −
CRCWSXL_M


 ˆ ‰
 ˆ ‰
  2
2 2 

− = −


− = −


jBS•\]CRCWF\
ˆ ‰ˆ ‰ 4 2  2− + =
BPBCCRNWF\BLN\]CRKA
  = +
Cách 2:yC
   4− = +
 
    4 4
⇒ − = + +

18
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ

CWF\LCR_M


ˆ $‰ 2 5
ˆ ‰ˆ ‰ 4
ˆ $‰ 2 5
 2
 2  2
2 

− = +

⇒ − + − =

− = +


”B
 $ 2 5  $ 2   = ⇒ − = + ⇒ = +
”B
 4    2 5 2 2   + − = ⇔ = − ⇔ − − = +
ˆSTBLN‰
H•CKMDBLN\]CRKA
 $ = +
Bài 3:BPBCR

5 5 − + =
!H
5 ≥ −
C


+
>

!yC
2 1
•

 4
+
= +

 
2 1

•

 4 4
+
⇒ = + +
=p


4 =
CWF\
 
2 1  
. .
• 2 


I-KIẾN THỨC:

19
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:
=QBsV_`ˆas‰aˆ„af‰CRC\tˆ„•sf‰


   
ˆ ‰ˆ ‰4 6  2≤ + +
kM©©Œªª„Pf
4 6
 2
⇔ =

2.Bất đẳng thức côsi:
‰”BB_`as
≥
4CRC\t

4 6
46
+
≥
kM©©Œªª„Pf
4 6⇔ =

s‰”Bs_`asa\
≥
4CRC\t

 
 

 



4 4 4
4 4 4

+ + +
≥
kM©©Œªª„Pf
 


4 4 4⇔ = = =
3.GTLN,GTNN của biểu thức:
‡#ŒN•–

ˆ„‰
≥
N
5 !
<5 !
⇒ ≥
⇒ =
kM§§Œ§§„Pf
⇔
–ˆ„‰Œ4

7VC_`CRWF\C^QCjgkMs—\]skCW˜Ce\
ˆ‰
ˆ‰
5 !
7 !
≥


≤


•MgkMs—iˆ‰SAˆ‰\uW^CWF\C^B
4

CR
4

KABLN\]
CR
5 7=
\t
   + + − ≤
kMs—OBSA\šOB
4 =
SA

 




 =

= ⇔

=


 •MCWQC”\WF\BLNCRSBL\guskCW˜Ce\g¡gA
a\tBXMsABBLNKASTCšSBL\WQBLNOTWF\aC
SmguskCW˜Ce\WhWBWF\
II-BÀI TẬP:
Bài 1.BPBCR
 
1

 

+ = +
+
!O
4 ≥
\t
( )
 

  
   1

 


(
)

  
$  1  5%  − + + =
3gvskCW˜Ce\:MB\Q„OB
(
)
( )
( ) ( )

    
$ $  $ $ $  $ . $ $ $ $ 24 % 4    
− + + ≤ + − + + = −
3gvskCW˜Ce\=T_B
( )

 
%
4 % 4 %2

 
 
− ≤ =
 ÷
 
kMs—


 

$« 
2
$ • 24 • 2 2 4   − − + − + =
!\eNB
2
• 2 2 $ + ≤ +
SA
( ) ( )

$ 
$ • 24 4 $ $ $     − − + ≥ ⇔ − + ≥ +
Bài 4:BPBCR

. 5  $•   − + − = − +
!\t

Œˆ
. 5 − + −
‰

≤
ˆ•‰ˆ.„•„5‰Œ2
d4“
≤

7yCO\Œ„

„•$•Œ•ˆ„%‰



⇔ ≤
jˆ‰SAˆ$‰\t„ŒC•SAQˆ‰CQPNbDf„Œ
Bài 6:BPBCR
„ 2„ 

„
2„ 
−
+ =
−
!BXMOBL

„
2
>
3gvskCW˜Ce\\T_BC\t
„ 2„  „ 2„ 
 
„ „
2„  2„ 
− −
+ ≥ × =
− −

‚QBPCB•CgkMs—„PfOBSA\šOB
„ 2„ 
„
2„ 
−
=


„  5„  $„ − = − + −
⇔
„  •„ $  ˆ5„ ‰ˆ$„ ‰− = − + − −
⇔
 .„  ˆ5„ ‰ˆ$„ ‰− = − −
•CBKMTKANVC_`lNS”B„•aS•PBgS”B„•⇒CR
STBLN
Bài 8:BPBCR
  
$„ %„ . 5„ 4„ 2 2 „ „+ + + + + = − −
ˆ‰
!\tˆ‰⇔
  
2 1
$ „ „  5 „ „  ˆ„ „ ‰ 5
$ 5
   
+ + + + + + + = − + + +
 ÷  ÷
   
⇔
  
$ˆ„ ‰ 2 5ˆ„ ‰ 1 5 ˆ„ ‰+ + + + + = − +
\t•CB•
2 1  $ 5+ = + =
kM›Œœ„Pf⇔„ŒG
•PB’5kM›Œœ„Pf⇔„ŒG
DfCRWb\Q\tNVCBLN„ŒG


•
„ −
‘

•
$
Œ
• $+
“
• $+
„  „   
% %
  $
„   
> ⇒ + > +
+ < + =
+ +
DfCRWb\Q\tNVCBLNgMfkCKA„Œ
Bài 10:BPBCR
% •
%
$ „  „
+ =
− −
!H„“:—\\C…aCCkf„Œ
$

KABLN\]CR
\\eNBWtKABLNgMfkCDCSDf”B„“
$

( )
    2 2
 $ $2  
2 5

 

− +
+ + + ×××+ =
+
− +
!H
2 ≤
ˆ‰
\t
 
 

2 5


− = −
+
− +

2 2 ⇔ − = −
ˆŠ‰
\tˆŠ‰Œ
2 4 2 − ≥ ⇒ ≥
ˆ‰

2 2 2
   •   + − + − − = +

$ 5 • •   − + − = − +
Bài 2:BPB\\CR_M
‡

„• %„Œ „ •„•2

‡

2 % 4 .   − + − = − +
$‡

%  % $   − + + = − +
2‡
 2 $ − + + =

23
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
8…gv\\C}\kC\]AN_`WhBPBCRKAg^CQO•M‚
CMV\
\t$”gv_MWlf
Hướng 1{\BLC‚Q\\s”\
7=>*=MfhCRSXg^
ˆ ‰  0=
7=>,Ÿ•CAN_`
ˆ ‰2  =
7=>?D„•C

ˆ ‰ ˆ ‰   =
7=>?Df
4

KABLNgMfkC\]CR
Hướng 3{\BLC‚Q\\s”\
7=>*=MfhCRSXg^
ˆ ‰ ˆ ‰ 3  =
7=>,Ÿ•CAN_`
ˆ ‰2  =
aguKDKMDO˜W[AN_`WWBLM
7=>?HBWt
ˆ ‰ ˆ ‰ 3   3 = ⇔ =
Ví dụ: BPBCR
( )
(
)
(
)
 
   2 2 2 $  1 $ 4    + + + + + + + =
!C
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
 
     $ $  $ $   $       ⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = −
Ÿ•CAN_`


 $  
− = + −
‚‰
  $ 
− + + =
s‰
$
 2 5  
− = − − +
g‰
 $
     
= − + −
–‰

  $ 2  
− + + = −
PHƯƠNG PHÁP 6:

24
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
7VC_`CRSTCšC\tChžNWF\BLN
4

SDf
CRKMTWSXWF\g^C}\
( )
( )

 
 
   

   


   
− − −
⇔ =
− − +
−
⇔ =
− − +
•M„
≥
C\t
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
$
 
$

   $

  
   
  
    

⇒ − = − +


− + + = −

BPBˆ2‰CCRNWF\„
=H
•  ≤ − ≥
•M„
≥
C\B\PBS•\Q

CWF\
( ) ( )
    + + − =
:RBS•_MWtBPBCRCCRNWF\„
•M„
≤
yCCŒ„
⇒ ≥
fSAQCRCWF\
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )


  
  
    
    
− − + + − − − = −