Bất phơng trình
Giải bất ph ơng trình không chứa tham số
Muốn giải một bất phơng trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách:
a) Đa vế trái của bất phơng trình (vế phải của bất phơng trình là 0) về dạng tích, thơng của
các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tơng tự nh ở mụcI).
b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tơng tự nh ở mục I) để đa về bất phơng trình bậc hai
quen thuộc.
Ví dụ 1:
Giải các bất phơng trình sau

9 5
)
2
a x
x
+p

5
) 6b x
x
+ p
Giải:
)a

2 2 2
9 5 5 9 2 9 10
0 0
2 2 2
x x x x
BPT
x x x


(*) 0 0VT + +P
Xem bảng xét dấu ta có nghiệm của bpt là:
5
(0;2) ( ; )
2
x +
)b

2
6 5
0
x x
BPT
x
+
p

(**)
Xét
2
6 5 0 1; 5x x x x + = = =
Mẫu
0 0x x
= =
Ta có bảng xét dấu:
2
0 1 5
0 * *
5 6 * 0 0

Cách 2:Xét nghiệm của đa thức
4 3 2
( ) 8 3 32 4g x x x x x= +
, nếu có nghiệm hữu tỷ
p
x p
q
=
là
ớc (kể cả âm ) của
4;q
là ớc của
1


nghiệm hữ tỷ nếu có của
( )g x
chỉ có thể là
2; 4
. Dùng
lợc đồ Hoocne ta thấy
2x =
, và khi đó chia
( )g x
cho
( ) ( )
2 2x x +
ta đợc
( ) ( )
( )

Vậy nghiệm của
(
]
)
: ; 2 4 15;2 4 15;BPT x

+ +


Ví dụ2:
Giải bất phơng trình

4 4
( 3) ( 5) 4 (1)x x+ + +
Giải:
Đặt
3 5
4 4
2
t x x x t
+
= + = + =
(1)
trở thành:
( ) ( )
4 4
1 1 4t t + +

4 2
6 1 0t t +




+

Vậy nghiệm của bpt đã cho là
4 10 3; 4 10 3x x + +
Ví dụ 3:
Giải bất phơng trình sau

4 3 2
2 21 74 105 50 0x x x x + + p

(2)
Giải:
Thấy
0x =
không thoả mãn
(2)BPT
2
0x f
, chia hai vế
(2)BPT
cho
2 2
2
25 5
0 (2) 2 21 74 0x x x
x x






+


p
p
1
5
(0;2) ( ; )
2
( ;0) (1;5)
VD
x
x

+






5
(1;2) ( ;5)
2
x
Kết luận nghiệm của BPT là

2
' 144 14 2 8
144 112 14 16 2
32 14 16 2
1 4
f
m m
m m m
m m m
m m
= + +
= + + +
=
= +
Chọn
m
sao cho:
' 0
14 2 0
f
m
=



+

f
chọn
1m =

x
x x
x
x
+ + + +
+ +
+




+






+ +


f
f
f
f
Vậy nghiệm của
BPT
đã cho là:
( ) ( )
( )

(4''')
Xét
( ) ( )
2
2 4
9 2 1 4.9
a
t t t = +
( )
( )
2
2
9 4 4 1 9 2 1t t t= + + = +
, vậy
(4''')VT
có hai nghiệm đối với ẩn
a
là:
2 2
1
;
3 3
t t t t
a a
+ + +
= =

( ) ( )
2 2
2 2

a a
a x x
+
p p1
* (4 '')
12
a x R

II.Bất phơng trình chứa tham số, vấn đề tập nghiệm của
bất phơng trình
Cơ sở lý thuyết:
*
2
0ax bx c+ + f

( 0)a
vô nghiệm
2
0,ax bx c x R + +

0
0a






E
cho trớc có thể là:
( )
[
) ( ) ( )
; ; ; ; ; ; ;

+ +
)
Ví dụ1: Cho tam thức:

( ) ( )
2
( ) 1 2 1 2 1f x m x m x m= + +
Xác định
m
sao cho:
)a
Bất phơng trình
( ) 0f x p
vô nghiệm;
)b
Bất phơng trình
( ) 0f x
có nghiệm.
Giải:
1
)* 1: ( ) 4 1 0
4
a m f x x x= + fp p


f
f
)b
Để xác định
m
sao cho bất phơng trình
( ) 0f x
có nghiệm , ta giải bài toán:''Xác định
m

sao cho
( ) 0f x
vô nghiệm''
*
1
1: ( ) 0 4 1 0
4
m f x x x= +
Vậy
1m =
không thích hợp.
*
1:m
Ta có:
( ) 0f x
vônghiệm
( ) 0,f x x R p

2

( ) 0f x
có nghiệm là
0m
Bài tập t ơng tự : Với những giá trị nào của
m
thì :

2
2
3 5
1 6,
2 1
x mx
x R
x x
+

+
p

(1)
H ớng dẫn:
Để ý thấy
2
2 1 0x x + f
do
2 0
9 0
a =


có nghiệm với
1 0, 0
9 0, 0
f
g
x R








f p
f
Đáp số:
0 5m p
Ví dụ 2:Cho bất phơng trình:
2
3 4 0mx x m + + p

(2)
)a
Tìm
m
để bất phơng trình
(2)
đợc thoả mãn với
0x f

ữ

, không thoả mãn
(*)
+
0m p
:
( ) ( ) ( )
9 4 4 2 1 2 9m m m m = + = +
Xét dấu

và
a
:
1
0
9
: (*)
0
2
TH m X R
a



=


p
p

p
2 1
(*) 0x x

0
9
0 4
2
0
P m
S









.
Tổng hợp các kết quả trên, ta đợc:
4m
.
Cách giải 2: Phơng pháp hàm số:
Đối với học sinh đã đợc học kiến thức về khảo sát hàm số thì phơng pháp giải này là khá
hiệu quả ( Nếu nh việc cô lập đợc tham số từ bất phơng trình đã cho là đơn giản).
Cơ sở lý thuyết:
Giả sử hàm số
( )y f x=


.
*
( ) , ( )
x D
BPT f x m x D Max f x m


Trở lại bài toán ta có:
( )
2
(2) 1 3 4m x x + p

2
3 4
1
x
m
x


+
p
(do
2
1 0,x x R+ f
)
Yêu cầu bài toán
2
3 4

x


= +
+ +

= =

+
= +


Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
2
3 4
, 0;
1
x
y x
x

= +
+
nh sau:
0 3
' 0
1
4 0
2

x m y
x

+ =
+
p
(***)
Tơng tự nh câu
)a
ta có
1
4
2
y p
( )
, 0;x +
1
(***)
2
m p
.
Bài tập t ơng tự : Xác định
m
để bất phơng trình :
2 2
) 2 1 0a x x m +
,
[ ]
1; 2x
2

o
a b c
p q














= =


f
f
Chú ý: Trong
(*)
quy ớc mẫu thức bằng
0
thì tử thức cũng bằng
0
Bài tập áp dụng: Tìm
m

Giải:
Viết lại
2 2 4 2
1
( ) ( ) 2( 1) 6 4f x f a a x a x x x= = +
( )
2
' 2 1
a
x = = +
2 2
1 1 2
( ) 0 2 , 2 2f a a x x a x x = = + =
( ) ( )
1 1 2
( )f a a a a a =

( ) ( )
2 2
2 2 2 ( )x x a x x a f x= + =
Gọi
2 2
( ) 2 2 ; ( ) 2h x x x a g x x x a= = +
Ta thấy
( ) 0,
1 2
( ) 0,
( ) 0,
1 2
h x x R



Đáp số:
3a
Bài tập t ơng tự : Tìm
a
để
( )f x =
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
2 4 5 3 1 2 0,x x a x a x a a x R + + + + +
H ớng dẫn :
Viết lại
( ) ( )
2 2
1
( ) ( ) 2 2 2 1f x f a x x a x x a= = = + +
Yêu cầu bài toán
0
7 3
0
7 3
4 2
5
4 2
1 2
3
2 1
h
g


+