Giáo viên: Nguyễn Thị Cẩm Nhung chuyên đề bất phương trình.
I.Lý do chọn chuyên đề:
Trong chương trình phổ thông, sách giáo khoa lớp 10, Bất phương trình là
dạng toán tương đối khó đòi hỏi người giải phải sử dụng linh hoạt các kiến thức
đã học vào việc giải bài tập dạng này.Để giúp học sinh nắm rõ hơn về phương
pháp để giải bất phương trình.thì hôm nay tôi quyết định chọn chuyên đề:
“Phương pháp giải bất phương trình”.
II.Nội dung:
a. Dạng 1: Bất phương trình bậc nhất.
*Giải và biện luận dạng
0:ax b
+ <

0ax b
+ <
b
x
a
⇔ < −
.
+ Nếu a>0 thì
b
x
a
< −
.Tập nghiệm S=
( ; ).
b
a
−∞ −
+ Nếu a<0 thì

a

x b
≥ −
a
.
+Nếu a>0 thì
b
x
a
≥ −
. Tập nghiệm S=
; ).
b
a
− +∞[
+Nếu a<0 thì
b
x
a
≤ −
. Tập nghiệm S=
( ; .
b
a
−∞ − ]
+Nếu a=0 thì
0x b
≥ −
. Do đó:

x
x x
+
− + > +
(1)
b)
1 2 3
1 .
2 3 4 2
x x x x+ + +
+ + ≥ +
(2)
Giải:
a, (1)
4
2 3 3 3 9 5 4
5
x x x x x⇔ + − + > + ⇔ < − ⇔ < −
.
Vậy: S=
4
( ; ).
5
−∞ −
Trang 1
Giáo viên: Nguyễn Thị Cẩm Nhung chuyên đề bất phương trình.
b,
11
(2) 6 6 4 8 3 9 12 6 7 11 .
7


5)
2
5( 1) (7 ) .x x x x− − − <
6)
2 2 2 2
( 1) ( 3) 15 ( 4) .x x x x− + − + < + −

Ví dụ 2:
Giải và biện luận các bất phương trình:
a)
( ) 1.m x m x− ≤ −
b)
2
3 ( 3).x m m x+ ≥ +
Giải:
a)
( ) 1.m x m x− ≤ −
<=>
2
( 1) 1.m x m− ≤ −

( 1) ( 1)( 1).m x m m− ≤ − +
Nếu: m=1 thì
0 2x ≤
(đđúng). Tập nghiệm: S=R.
Nếu: m>1 thì
x ≤
m+1. Tập nghiệm: S=
(

Giải và biện luận các bất phương trình:
1)
6 2 3 .mx x m+ > +

2)
( 1) 3 4.x k x x+ + < +

3)
( 1) 3 4 1.a x a x+ + + ≥ +

4)
( ) 2(4 ).m x m x− > −

5)
( 1) 4 5.k x x− + ≥

6)
( 1) 2b x x− ≤ −
.
b. Dạng 2: Bất phương trình bậc hai.
Bất phương trình bậc hai
2
0ax bx c+ + >
(a
≠
0) được giải như sau:
Xét dấu tam thức:
2
( )f x ax bx c= + +
.

≠
2
b
a
−
.
+Xét
0∆ >
:
( )f x
luôn có hai nghiệm phân biệt
1 2
x x<
.

Do đó:

Nếu a<0 thì bất phương trình có 2 nghiệm
1 2
x x x< <
.
Nếu a>0 thì bất phương trình có nghiệm
1
x x<
hoặc
2
x x>
.

x

( ) ( ) ( ) ( )
P x P x P x P x
Q x Q x Q x Q x
< ≤ > ≥
Trong đó : tử thức, mẫu thức là tích một số nhị thức bậc nhất và
tam thức bậc hai.
-Lập bảng xét dấu vế trái rồi chọn miền nghiệm thích hợp với điều
kiện.
Ví dụ 1:
Giải bất phương trình:
a.
2
5 4 12 0x x− + + <
.
b.
2
2
9 14
0
5 4
x x
x x
− +
>
− +
Giải:
a, Tam thức bậc hai:
2
( ) 5 4 12.f x x x= − + +
có nhgiệm


2
9 14 0.x x− + =
2
7
x
x
=


=

. (Nghiệm tử)

2
1
4 4 0
4
x
x x
x
=

− + = ⇔

=

(Nghiệm mẫu).

x

5)
4 2
3 0x x− ≤
.
6)
2 2
( 3)( 6) ( 2)( 5 4)x x x x x x− + − > − + +
.
7)
3 2
2 2 0x x x+ − − >
.
8)
2
2
2 7 7
1
3 10
x x
x x
− + +
≤ −
− −
.
9)
2 2
1 1
.
5 4 7 10x x x x
<

− ≥
− + + +
.
Ví dụ 2:
Tìm m để phương trình sau:
2 2
( 6 16) ( 1) 5 0m m x m x+ − + + − =
có hai
nghiệm trái dấu.
Giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: a.c<0.

⇔
2
( 6 16)( 5) 0m m+ − − <
.

⇔
2
6 16 0m m+ − >
.

⇔
m<-8 hoặc m>2.
Vậy
( ; 8) (2; )m∈ −∞ − ∪ +∞
thì thỏa bài toán.
Bài tập:
1). Xác định m để:
a)

6 2 2 9 0x mx m m− + − + ≤
có 2 nghiệm dương phân biệt.
e)
2
5 0x x m− + ≤
có nghiệm.
2) Giải và biện luận các bất phương trình:
a)
2
1 (3 2) 3a x a x+ > − +
.
b)
2 2
2 ( 9) 3 4 0x m x m m+ − + + + ≥
.
c)
2
( 2) 2( 1) 0m x m x m− − − + >
.
d) ,
2
( 1) 2 0mx m x− + + ≥
.
Dạng 3: Một số bất phương trình quy về bậc hai:
* Bất phương trình chứa ẩn dưới căn thức:
Phá căn thức bằng cách:
- Đặt điều kiện và bình phương.
- Đặt ẩn phụ.
-Nhân lượng liên hiệp,…
- Dạng cơ bản:

2
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
≥


>

.
Chú ý:
- Biến đổi về bất phương trình tích.
- Dùng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Đặt ẩn phụ rồi chuyển phương trình thành hệ phương trình cơ bản.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

2
6 1.x x x+ − < −
(1)
Giải:
(1)
2
2 2
6 0
1 0
6 ( 1)
x x
x
x x x

b)
2
2 1 1 .x x− > −
c)
2
5 14 2 1.x x x− − ≥ −
d)
2
6 ( 3)( 2) 34 48x x x x− − ≤ − +
.
e)
2
2 4
1
3 10
x
x x
−
>
− −
.
f)
2 2
( 2) 4 4.x x x− + ≤ −
g)
2 2 2
2 2 3 4 5x x x x x x+ − + + − ≤ + −
.
* Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách

( ) 0
( ) 0, ( ) ( ).
g x
g x f x g x
≤


> ≥


( ) 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
g x
f x g x
g x f x g x
≥

≤ <=>

− ≤ ≤

.


( ) ( )
2 2
( ) 0g x
f x g x
≥

2 5 1
1 2 5.
x
x x x
x x x

≥ −



⇔ − − ≤ − + −


− + − ≤ +



.
Trang 6
Giáo viên: Nguyễn Thị Cẩm Nhung chuyên đề bất phương trình.

2
2
5
2
3 4 0
3 6 0.
x
x x
x x

+
≤
−
.
c)
2 3
1
3
x
x
−
≥
−
.
d)
2
4 4 2 1 5x x x+ − + ≥
.
e)
2 2
5 4 6 5x x x x− + ≤ + +
.
f)
2
5 4 12x x x+ > + −
.
g)
3
8 2x x− ≥ −
.