TrườngTHPTChuyên LươngvănChánh Gv ChâuChíTrung
2
MỤCLỤC
IPhầnmởđầu Trang3
IINộidungđềtài
ChươngI :Cơsởlýluậnliênquantớiđềtàinghiêncứu Trang3
1_.Cơsởpháplý Trang3
2_.Cơsởlýluận
§1. TìmhàmsốbằngcáhsửdụngphươngphápchứngminhquinạpTrang4
§2. Tìmhàmsốbằngcáchlàmchặthaiđầuchậncủahàmsố Trang6
§3 Tìmhàmsốbằngcáchsửdụngphépthaycácgiátrịđặcbiệt Trang9
§4 Tìmhàmsốbằngcáchsửdụnggiớihạndãysố Trang10
§5 Tìmhàmsốbằngcáchsửdụngđịnhnghĩađạohàm Trang12
§6 Mộtsốbàitậpápdụng Trang14
3_.Cơsởthựctiễn Trang15
ChươngII :Thựctrạngcủađềtàinghiêncứu Trang16
ChươngIII:Biệnpháp,giảiphápchủyếuđểthựchiệnđềtài Trang16
IIIKếtluậnkiếnnghị Trang17
Tàiliệuthamkhảo Trang20
www.laisac.page.tl
ChuyênĐề:
B
B
B
Ấ
Ấ
Ấ
T
T
T
P

H
H
H
H
H
À
À
À
M
M
M
ChâuChíTrung
GVTHPTC huyênLươngVănChánh
TrườngTHPTChuyên LươngvănChánh Gv ChâuChíTrung
3
IPHẦNMỞĐẦU
1.Lýdoch ọnđềtài
Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các nước cũng như nước ta , các bài toán về
phươngtrìnhhàmvàbấtphươngtrìnhhàmthườngđượcnhắcđếnvàlàmộttrongcácbàitoán
quenthuộcnhưnglạicónhiềunhiềuhướngđểthựchiệnlờigiải.Đãcónhiềuchuyênđềđề
cậpđếnphươngphápgiảicácbàitoánphươngtrìnhvàbấtphươngtrìnhhàmnhưngvẫncòn
nhiềuđiềukhálýthúkhinghiêncứuvềloạitoánnày.Bàiviếtnàychúngtôiđềcậpđếnmột
sốcáchgiảibàitoánBẤTPHƯƠNGTRÌNHHÀM.
2.Mụcđíchnghiêncứu
BàiviếtnghiêncứumộtsốcáchgiảikháccủabàitoànBấtphươngtrìnhhàmnhằmlàm
đadạngthêmcáccáchgiải,giúpviệcgiảibàitoáncónhiềuhướngđểgiảiquyết,làmcho
việcgiảiloạitoánnàycócơsởđểđịnhhướngviệcchọnlựaphươngpháp.
3.Đốitượngvàphạmvinghiêncứu
NộidungđềtàitậptrungnghiêncứulớpcácbàitoánBẤTPHƯƠNGTRÌNHHÀMđã
thitrongcáckỳthihọcsinhgiỏicáccấp,vàđâylàbàitoántrọngđiểmtrongkỳthiquốcgia.

BÀITOÁN1 (IMO– 1977)
Chohàmsố
* *
:f N N ®
thỏamãn:
( )
*
( ) ( 1) ,f f n f n n N < + " Î
(1)
Chứngminhrằng:
*
( ) ,f n n n N = " Î
LỜIGIẢI
Trướchếttachứngminhbằngquinạprằng:
*
0 0 0
( ) , , vàf N n N n N N n ³ " Î ³
(1.2)
Vớin=1thì(1.2) đúng.
Giảsử(1.2)đúngđếnn=k:
*
0 0 0
( ) , , vàf N n N k N N k ³ " Î ³ (1.3)
Với
0 0
1 1N k N k ³ + Û - ³
,theo(1.3)thì:
0
( 1)f N k - ³
.

( )
( 1) ( ) ( )f n f f n f n + > ³ :nhưvậy flàhàmtăngthậtsựtrên N
*
Dođótừ
( )
( 1) ( ) 1 ( )f n f f n n f n + > Þ + > (1.5)
Từ(1.4)và(1.5)tacóđượcđiềuphảichứngminh:
*
( ) ,f n n n N = " Î
BÀITOÁN2: Tìmhàm
* *
:f N N ® saocho:
*
, 2 : ( 1) ( ) ,
k
k N k f n f n n N $ Î ³ + > " Î
(2)
với
( )
( )
( ) ( )
k
f n f f f n =
với klần f.
LỜIGIẢI
Tasửdụngquinạptheonđểchứngminhrằng:
*
( ) , và ,f m n m n m n N ³ " ³ Î (2.1)
Vớin=1:tacó
*

( ) ( )
2 2
f x f y x y
f x y
+ +
æ ö
³ + -
ç ÷
è ø
, ,x y R " Î (3)
LỜIGIẢI
Tathay y=0vào(3)thì được: ( ) 2 (0) 2
2
x
f x x f f
æ ö
³ - +
ç ÷
è ø
(3.1)
Tasửdụngquinạptheosốtựnhiên nđểchứngminhrằng:
( )
( ) 2 2 1 (0) 2
2
n n
n
x
f x nx f f
æ ö
³ - - +

n n
x x
f x f f
+
+
æ ö æ ö
³ - +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Từđótacó:
( )
( )
1
1
( ) 2 2 1 (0) 2
2
2 2 1 (0) 2 2 (0) 2
2
n n
n
n n n
n
x
f x nx f f
x
nx f x f f
+
+
æ ö
³ - - +

n
f n f f
æ ö
³ - - +
ç ÷
è ø
Suyra:
1 (2 1) (0) 2 (1)
2 2
n
n n
f n f
f
- - +
æ ö
£
ç ÷
è ø
(3.4)
Tươngtựkhichox= – 1tacũngcó:
1 (2 1) (0) 2 ( 1)
2 2
n
n n
f n f
f
- - - + -
æ ö
£
ç ÷

ítngcaphngphỏpldavocỏciukincabtphngtrỡnhhmcabi xõydng
btngthc :
( ) ( ) ( )
k k
a g x f x a g x Ê Ê ,
f
x D " ẻ v 1
k
a khi k đ đ +Ơ
BITON4
Tỡmttccỏchm
[
)
[
)
: 1 1f +Ơ đ +Ơ thamón iukin:
4.1)
1
( ) 2( 1)
2
x
f x x
+
Ê Ê +
vimix 1.
4.2)
2
. ( 1) ( ) 1x f x f x + = -
vimix 1.
LIGII:

Hay:
[ ]
( )
2
2 2
( 1)
( ) 2 1
2
x
f x x
+
< < +
(4.5)
Lycnbchaihaivca(4.5)tacú:
1
( 1) ( ) 2( 1)
2
x f x x + < < +
(4.6)
pdng(4.6) vcỏchlpluntrờnkln,tac:
1/2
1/2
1
( 1) ( ) 2 ( 1)
2
k
k
x f x x + < < +
Cho
k đ +Ơ


,
*
n N " ẻ
(5.2)
Vỡ
1
0,
2
x
ổ ử
ẻ
ỗ ữ
ố ứ
vfliờntcnờn:
2 1 2
lim (2 ) . . ( ) (0)
n
n n
n n
x x f x f
đ+Ơ
- -
ộ ự
=
ở ỷ
=0 (5.3)
T(5.2)v(5.3)cho
1
( ) 0 , 0,

-
ổ ử
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ị Ê Ê Ê
(5.5)
M
1
2
1
1
2
lim 0
2
n
n
n
n
f x
x
đ+Ơ
-
ổ ử
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
=
nờnt(5.5)tacú :
( )

( ) 2 . ( ) 0
n n
n
f x x f x
-
=
Doú
1
( ) 0 , ,1
2
f x x
ộ ử
" ẻ
ữ
ờ
ở ứ
(5.8)
Theo(5.6)v(5.8)tac
1
( ) 0 , ,1
2
f x x
ộ ử
= " ẻ
ữ
ờ
ở ứ
(5.9)
Túmli : ( ) 0 , [0,1)f x x = " ẻ
Vỡhmfliờntctrờn

ử
ỗ
ố
ổ
bngquynp.
2)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) , , 0,1f x y f x f y f x x y x y + + " + ẻ suyra f khụnggimtrờn
[ ]
0,1
3)
[ ]
0,1x " ẻ
,chn
1
2 2
1
1 1 1 1 1
log , log 1 2 2
2 2
k k
k k
k k k x
x x x
+
+
ộ ự
= Ê < + Ê < < Ê
ờ ỳ
ở ỷ

. ( )
( ) ( ) 0 ( ) ( )
( )
y f x y
f x f x y f x f x y
f x
+
- + > ị > + ,vimix,y>0.
iutrờnchngt f(x)lhmgimtrờnR
+
.
Cngt(7) chota:
[ ]
2
( ) . ( ) ( ). ( ) . ( )f x y f x f x y f x y y f x + + + +
Hay:
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) . ( )f x f x y f x y f x y y f x + - + +
Suyra:
. ( )
( ) ( )
( )
y f x
f x f x y
f x y
- +
+
,vimix,y>0.(7.1)
Trong(7.1)ln ltthayxbi
i

n n
+
+
ổ ử
+ - + >
ỗ ữ
ố ứ
+ +
vi
0 ,i n =
,n ẻ N
*
.
Choinhnlnltcỏcgiỏtr0,1,2,n vcngnbtngthccúc,tacú:
1
( ) ( 1)
2
f x f x - + .(7.2)
Thayxbi x j + vi
0 ,j m =
vim ẻ N
*
vo(5.2)vcngvtheov:
Tac: ( ) ( )
2
m
f x f x m - + > ,vim ẻ N
*
.


=
- Ê + - - Ê ẻ ẻ
ồ
(8)
Xỏcnh f(x).
LIGII:
T(1)tacú:
[ ]
1
1
1 ( ) ( ) 1
n
k
k
a f x ky f x ky
-
=
- Ê + - - Ê
ồ
Hay:
[ ]
1
1
1 ( ) ( ) 1
n
k
k
a f x ky f x ky
-
=

Màtacó
2
0 khi
n
n
a
® ® +¥ nên ( ) ( )f u f v = vớimọi u, v .
Dođó ( ) cf x = (hằngsố) , thửlại điềukiệnbàitoánthỏamãn.
Vậytacó: ( ) cf x = (chằngsố)
3–TÌMHÀMSỐBẰNGCÁCHSỬDỤNGPHÉP THAYCÁCGIÁTRỊĐẶCBIỆT
Tathườnggặpmộtsốbàitoánvềphươngtrìnhvàbấtphươngtrìnhhàmđượcgiảitheokỷthuật
làđổibiếnhoặcđặthàmphụđểquivềcácphươngtrìnhvàbấtphươngtrìnhhàmCauchy…quen
thuộc .Phầnnàycũngnhắclạikỷthuậtthườngdùngđóđểtìmcách xâydựngbấtđẳngthứcđểxác
địnhnghiệmcủabàitoán.
BÀITOÁN9 (APMO94)
Tìmtấtcảhàmsố :f R R ® thỏamãn đồngthờicácđiềukiện:
9.1) ( 1) 1 ; (1) 1f f - = - =
9.2)
( )
( ) (0) , 0;1f x f x £ " Î
9.3) ( ) ( ) ( ) , ,f x y f x f y x y R + ³ + " Î
9.4) ( ) ( ) ( ) 1 , ,f x y f x f y x y R + £ + + " Î
LỜIGIẢI
Thayy=1vào(9.3)vàtheo(9.1)tacó: ( 1) ( ) (1) ( ) 1,f x f x f f x x R + ³ + = + " Î
Thayxvàybởi
1x +
và 1 - vào(9.3)vàtheo(9.1)tacó
( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1,f x f x f f x x R ³ + + - = + - " Î
Suyra:
( 1) ( ) 1f x f x + = +

+ + + + + ³ + + " Î
ì
í
=
î
Choy=z=0thì: 2 ( ) 3 ( ) ( ) 0g x g x g x ³ Û £
Choz= –ythì: ( ) 2 ( )g x y g x y + ³ -
Chox=yvàotrênthì (2 ) 2 (0) 0 ( ) 0g x g g x ³ = Û ³
TrngTHPTChuyờn LngvnChỏnh Gv ChõuChớTrung
10
Ttrờntacúc: ( ) 0 ,g x x R = " ẻ
Vyhmstỡm c: ( ) (0) ( )f x f f x a = = , "x ẻ R.
BITON11 (Flander 99)
Tỡmcỏchm , :f g R R đ thamón:
2 ( ) ( ) ( ) , (11.1)
( ). ( ) 1 (11.2)
f x g x f y y x y R
f x g x x x R
- = - " ẻ
ỡ
ớ
+ " ẻ
ợ
LIGII
Trong(11.1),chox=ythỡcú ( ) ( )g x f x x = + (11.3)
Khiú(11.1)trthnh: ( ) ( ) , ,f x x f y y x y R - = - " ẻ (11.4)
Trong(11.2) choy=0tac: ( ) (0)f x x f x a = + = + vi a= f(0).
Tútacngsuyc: ( ) 2g x x a = + .
Taphixỏcnha.
Th ( ) v ( ) 2f x x a g x x a = + = + vo(b)tac: ( )(2 ) 1 ,x a x a x x R + + + " ẻ

f f k N
=
-
- Ê " ẻ
ồ
(12)
LIGII:
Trong(11)thay
2
i
m n = =
Tac
( ) ( )
1
2
2 2 (2 ) 2 (2 ) 1
2
i
i i i i i
i
f f f f
+
+ - Ê ị - Ê
Talicú
1 ,i k " =
thỡ
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 1
2 (2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) 2 (2 )
k i k k k k k i i

vimi
x R ẻ
(13)
Tỡmsthcalnnhtcú: ( )f x a vimi x R ẻ .
TrngTHPTChuyờn LngvnChỏnh Gv ChõuChớTrung
11
LIGII:
Gistntisathamón iukinbitoỏn,xộthmhng
( )f x k =
,
x R ẻ
.
Thayvo(13):
9 4
3 3 1
4 3
k k k k - - = =
Vỡhmhng
4
( )
3
f x = thamón(1)nờntacú
4
3
a .
Taschngtrng:mihm f (x)xỏcnhtrờnRthamón(1)thỡluụnluụntha:
4
( )
3
f x .

9
f x
Bỡnhphng(13.1)vrỳtgntac:
2
4 4 64
( )
3 9 27
f x f x
ổ ử
ổ ử
+
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ố ứ
(13.2)
Trong(13.3) thayxbi
3
4
x
,tac:
( )
2
4 64 3
( )
9 27 4
f x f x
ổ ử
+
ỗ ữ

x R ẻ
v
*
n N ẻ
Mtkhỏcdóys
( )
n
a ldóytngvbchntrờnnờncúgiihn
t lim
n
n
a
a

đ+Ơ
= ,tatỡm c
4
3

a
= .
Doú:
4
( )
3
f x
vimi
x R ẻ
.
Vysthcalnnhtphitỡml

(3 )
2
x
f x =
,
( )
(2) ( )
2
x
f f f x = =
Tathy ( )
2
x
f x = tha iukin(14)nờn ( ) F
2
x
f x = ẻ
Khiú ( ) .f x x
a
.
2
x
x
a
,suyra
1
2

a
Ê

,
3 3
n
n
a
a a
+
+
= =
,
Sdngquinptachngminh:
( )
n
f x a x
vimi
x R ẻ
v
*
n N ẻ
T(14)tacú
( )
2 2
1
(3 ) 2 (2 ) .2 (2 1) .3
k k k k
f x f x x a f x x a x x a x a x
+
+ + + = + =
Mtkhỏcdóys
( )

0
/
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x
f x
x x
đ
-
=
-
BITON15
Tỡmttchms :f R R đ thamón ngthicỏciukin:
0
15.1) ( ) ( ) ( ) , ,
( )
15.2) lim ( 0) ,
x
f x y f x f y x y R
f x
a a x R
x
đ
+ Ê + " ẻ
= ạ ẻ
LIGII:
Tiukin (15.1) tacú:

a a
x
đ
= ạ
Nuh<0thỡ:
( ) ( ) ( ) ( )f h f x h f x f h
h h h
- + -

-
Nờncngcú
0
( ) ( )
lim
h
f x h f h
a
h
-
đ
+ -
=
Nhvy: f(x)tntiohm
/
( )f x a =
Tachm: ( )f x ax b = + ( a, bhngs)
BITON16
Tỡmhms :f R R đ thamón iukinsau:
2
( ) ( ) , , , 3

2
lim 0, và 3
x y
k
x y k N k
®
-
- = Î ³ nên
/
( ) ( )
lim 0 ( ) 0 ,
x y
f x f y
f y y R
x y
®
-
= Þ = " Î
-
Tađược: ( ) c, x Rf x = " Î (chằngsố),thửlạithấyđúng.
BÀITOÁN17
Chohàmsố :f R R ® thỏamãn:
( )
2
( ) ( )f x f q m x q - £ - ,
*
, vàm N q Z x R Î " Î " Î
(17)
Chứngtỏf làhàmhằng
LỜIGIẢI

0
0
( ) ( )
0
f x f x
x x
-
®
-
hay
/
0 0
( ) 0 ,f x x = "
Do fliêntụcvà
/
0 0
( ) 0 ,f x x = "
nên ( )f x C = (hàmhằng).
BÀITOÁN18
Tìmcáchàmsố , :f g R R ® thoảmãn điềukiện
2
( ) ( ) ( )( ) ; ,
a
f y f x g x x y M x y x y R
+
- - - £ - " Î
và M,alàcácsốdương. (18)
LỜIGIẢI
Giảsửcócáchàmsố , :f g R R ® thoảđiềukiện.
Trong(18),thayđổivaitròcủa yx, tacó:

( ) 0; suy ra ( ) (const);g x x R g x c x R = " Î = " Î
Thay cxg =)( vào(14)vàlàmtươngtựnhưtrên,tacó:
yxRyxyxMc
yx
yfxf
a
¹ Î " - £ -
-
-
,,;2
)()(
và dcxxfcxf + = Þ = )()(' .
TrngTHPTChuyờn LngvnChỏnh Gv ChõuChớTrung
14
Thli dcxxfcxg + = = )()( thyỳng.
BITP
1.Tỡmhms
* *
:f N N đ
thamóncỏc iukin :
[ ]
*
*
1) (1) 1
2) (2 ) 6 ( )
3) 3 ( ). (2 1) (2 ). 3 ( ) 1
f
f n f n n N
f n f n f n f n n N
=

f x g x x
- = -
ỡ
ớ
+
ợ
,vimix,y ẻ R
6. Tỡmttccỏchm
[
)
[
)
: 1 1f +Ơ đ +Ơ thamón iukin:
a) ( ) 2( 1)f x x Ê + vimix 1.
b)
2
. ( 1) ( ) 1x f x f x + = -
vimix 1.
7. Tỡmcỏchms :f R R
+
đ cútớnhchttng(thts)thamón:
a)
1
( )f x
x
> -
b)
1
( ). ( ) 1f x f f x
x

xfxf
xfxf
"
ợ
ớ
ỡ
+ +
+ Ê +
)2(2)()2(
)1(3)()3(
Chngminh
xxfxg - = )()(
lhmstunhon.
11.Chohms :f R R đ thamón
a) ( ) ( ) ,f x f y x y x y - < - " ạ
b)
2011 2011
( (2012 )) 2012f f f
ộ ự
=
ở ỷ
.
Tỡmgiỏtr f(2012
2011
).
TrườngTHPTChuyên LươngvănChánh Gv ChâuChíTrung
15
Chương1. Thựctrạ ngcủaSKKN.
1.1. Phạmvinghiêncứu.
ChuyênđềnàyđượcsoạntừcácsáchvềchuyênđềbồidưỡngHSG,cácđềthi

kỹnăngtựhọc.Chỉcókhảnăngtựhọcthìcácemmớilĩnhhộiđượchếtkiếnthứccó
tính chất phức tạpvàcũng tự tham khảođượctài liệu cóliênqua ntừnhiều nguồn
trongđócótàiliệucủa thầycôđưacho.Chínhvậ ymỗigiáoviênchúngtanênthường
xuyên viết chuyên đề,đó là nguồn tài liệu quý giá phục vụ cho việc giảng dạy, bồi
dưỡngvàlà nguồntạiliệuthamkhảotốtchohọcsinh.
TuyHòa,ngày29tháng03năm2011
Ngườiviết
ChâuchíTrung
TrườngTHPTChuyên LươngvănChánh Gv ChâuChíTrung
17
PHẦNĐÁNHGIÁSÁNGKIẾN
CỦAHỘIĐỒNGKHOAHỌCCẤPTỔ
TIÊUCHUẨN TIÊUCHÍĐÁNH GIÁ ĐIỂM
ĐẠT
1 Cóđốitượngnghiêncứumới
2 Cógiảiphápmớivàsángtạođểnânghiệuquảcông
vụ
ĐẶTVẤNĐỀ
3 Cóđềxuấthướngnghiêncứumới
LỢIÍCH
4 CóchứngcứchothấySKKNtạohiệuquảcaohơn,
đángtin,đángkhen(PhânbiệtSKchưaápdụngvới
SKđãápdụng)
5 Có phương pháp nghiên cứu , cải tiến phù hợp với
nghiệpvụvàtổchứchiệncócủađơnvị(NĐ20CP/
08.2.1965)
KHOAHỌC
6 Đạtlogic,nộidungvănbảnSKKNdễhiểu
KHẢTHI
7 CóthểápdụngSKKNchonhiềungười, ởnhiềunơi

8 Hìnhthứcvănbảntheoquiđịnhcủacáccấpquảnlý
thiđuađãqui định
TỔNGCỘNG:
XẾPLOẠI:
TPTuyHoàngày...tháng...năm2011
Hiệutrưởng
TrườngTHPTChuyên LươngvănChánh Gv ChâuChíTrung
19
PHẦNĐÁNHGIÁSÁNGKIẾN
CỦAHỘIĐ ỒNGKHOA HỌCCẤPNGÀNHGDĐTPHÚYÊN
TIÊUCHUẨN TIÊUCHÍĐÁNH GIÁ ĐIỂM
ĐẠT
1 Cóđốitượngnghiêncứumới
2 Cógiảiphápmớivàsángtạođểnânghiệuquảcông
vụ
ĐẶTVẤNĐỀ
3 Cóđềxuấthướngnghiêncứumới
LỢIÍCH
4 CóchứngcứchothấySKKNtạohiệuquảcaohơn,
đángtin,đángkhen(PhânbiệtSKchưaápdụngvới
SKđãápdụng).
5 Có phương pháp nghiên cứu , cải tiến phù hợp với
nghiệpvụvàtổchứchiệncócủađơnvị(NĐ20CP/
08.2.1965)
KHOAHỌC
6 Đạtlogic,nộidungvănbảnSKKNdễhiểu
KHẢTHI
7 CóthểápdụngSKKNchonhiềungười, ởnhiềunơi
HỢPLỆ
8 Hìnhthứcvănbảntheoquiđịnhcủacáccấpquảnlý