Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 1

I. bi:
Cho khung chu lc nh hỡnh v sau:

Hỡnh 1.
Bit: E = 210 GPa, A = 4x10
-2
m
2
, I = 4x10
-4
m
4
.
Yờu cu:
- Kho sỏt bin dng, phn lc, ni lc, ng sut phỏt sinh trong kt cu
ca h.
- Tớnh tn s dao ng v vộc t mode ca h.
II. C s lý thuyt:
Cỏc phn t khung phng c thit k nhm chng li bin dng un v bin
dng dc trc. Nh vy, s t hp ca phn t dm v phn t thanh bin dng dc
trc cú th c s dng phõn tớch bi toỏn khung phng m ú ngi ta gi s
rng: cỏc nh hng chng un v bin dng dc trc l c lp vi nhau. Tuy nhiờn,
gi thuyt ny ch ỳng trong khuụn kh lý thuyt chuyn v bộ.

Hỡnh 2 - Phn t khung phng.
Xột phn t khung phng c mụ t nh hỡnh 2.
Nu gi

32
0 0 0 0
12 6 12 6
0
/2
/2
4 6 2
0
/12
/2
00
/2
12 6
/12
4
s
t
t
s
t
t
EA EA
LL
EI EI EI EI
d q L
L L L L
d q L
EI EI EI
d q L
L L L












(1)k d r
(Lu ý rng ti phõn b q
s
, q
t
c quy c l dng khi cựng chiu vi cỏc
trc a phng).
Mi quan h gia cỏc bc t do trong h ta a phng v h ta ton
cc:
1
1
2
1
3
1
4

d






























(4)
T
l
d T d
Kt hp (1), (2) v (4) ta cú:



(5)
(6)
TT
k T d r
T k T d T r


Trong ú T
Tr
l vộc t ti trng nỳt chuyn t h ta a phng n
ton cc. Vy trong h ton cc phng trỡnh phn t cú th vit di dng:


(7)k d r
Trong ú:





u
s L s
N
LL






Chuyn v ngang:
2
3 2 3 2 2 3 3 2
3
3 2 2 2 3 2
5
6
2 3 2 3 2
( ) 1 , 0 (10)
d
d
s s s s s s s s
v s s s L
d
L L L L L L L L
d


f s EA s L
ds

Lc ct:
()
( ) ; 0 (12)
d M s
V s s L
ds

Mụ men:
2
2
()
( ) ; 0 (13)
d v s
M s EI s L
ds

Ma trn khi lng ca phn t cho bi toỏn n hi tng quỏt c xỏc nh
theo cụng thc sau:

(14)
T
V
m N N dV






2
1
2
21
1
21
(15)
12
6
x
T
Vx
xx
x x x x
AL
L
m N N dV A dx
xx
LL
L





















Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 5

p dng cụng thc (14) ta cú:


32
32
32
3 2 3 2 2 3 3 2
2
3 2 2 2 3 2

ss
LL
ss
LL
LL
L L L
AL
L
sym L






















L
TT
V
LL
L L L
AL
m N N dV A N N ds
L
sym L















V ma trn khi lng ca phn t khung trong h ta ton cc:

(18)


Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 6

III. Cỏc bc tớnh toỏn:
1) Ri rc húa h khung:
Chia h khung lm 4 phn t, mi phn t cú hai nỳt v c ỏnh s nh hỡnh
v 6.

Hỡnh 6.
Thụng tin v phn t:

S hiu phn t
(1)
(2)
(3)
(4)
Nỳt u
1
2
3
4
Nỳt cui
3
5
4
5

Thụng tin v nỳt:

Các ràng buộc: tất cả các bậc tự do tại nút 1 và nút 2 đều bằng không do hai nút
này bị ngàm.
Thông tin về tải trọng:

Nút
Bậc tự do
Giá trị
3
7
2 kN
4
11
-4 kN

2) Xây dựng và lắp ghép các phương trình phần tử:
E = 210 GPa = 21x10
7
kN/m
2
,
A = 4x10
-2
m
2
,
I = 4x10
-4
m
4
.

cos 0
10
10 0
sin 1
10
x
x
xx
l
L
yy
m
L




   


   

Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 8

Cỏc phng trỡnh ca phn t 1 trong h ta a phng: 1






















Ma trn chuyn trc [T
1
]:
1
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0















Ma trn cng ca phn t 1 trong h ta ton cc:
1 1 1 1
1008 0 -5040 -1008 0 -5040
0 840000 0 0 -840000 0
-5040 0 33600 5040 0 16800
-1008 0 5040 1008 0 5040
0 -840000 0 0 840000 0
-5040 0 16800 5040 0 33600
T
l
k T k T

























Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 9

Cỏc ma trn ton cc sau khi lp ghộp phn t 1: 1008 0 5040 0 0 0 1008 0 5040 0 0 0 0 0 0


















0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 0r

b) Cỏc phng trỡnh cho phn t 2:
L = 10 m,
EI = 84000 kN/m
2
,
EA = 8400000 kN, 2
00
l

m
L









Cỏc phng trỡnh ca phn t 2 trong h ta a phng: 2
2
2
4
5
6
13
14
15
840000 0 0 840000 0 0 0
1008 5040 0 1008 5040 0
33600 0 5040 16800 0
840000 0 0 0
1008 5040 0
33600 0
l







Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 10

Ma trn chuyn trc [T
2
]:
2
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
T











Ma trn cng ca phn t 2 trong h ta ton cc: 2 2 2 2
1008 0 -5040 -1008 0 -5040
0 840000 0 0 -840000 0
-5040 0 33600 5040 0 16800
-1008 0 5040 1008 0 5040
0 -840000 0 0 840000 0
-5040 0 16800 5040 0 33600
T
l
k T k T


























Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 11

Cỏc ma trn ton cc sau khi lp ghộp phn t 2: 1008 0 -5040 0 0 0 -1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0
0 840000 0 0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 0 0























0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 0r

c) Cỏc phng trỡnh cho phn t 3:
L = 5 m,
2EI = 168000 kN/m

sin 0
5
x
x
xx
l
L
yy
m
L









Cỏc phng trỡnh ca phn t 3 trong h ta a phng: 3
3
7
8
9
10
11
12












3
l
r






Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 12

Ma trn chuyn trc [T
3
]:
3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0












Ma trn cng ca phn t 3 trong h ta ton cc:

3 3 3 3
1680000 0 0 -1680000 0 0
0 16128 40320 0 -16128 40320
0 40320 134400 0 40320 67200
-1680000 0 0 1680000 0 0
0 -16128 40320 0 16128 40320
0 40320 67200 0 40320 134400
T
l
k T k T





u
v































1680000 0 0 0 0 0
0 -840000 0 0 0 0 0 856128 40320 0 16128 40320 0 0 0
-5040 0 16800 0 0 0 5040 40320 168000 0 40320 67200 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1680000 0 0 1680000 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 16128 40320 0 16128 40320 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 40320 67200 0 40320 134400 0 0 0
0 0 0 -1008 0 5





040 0 0 0 0 0 0 1008 0 5040
0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 0 0 0 840000 0
0 0 0 -5040 0 16800 0 0 0 0 0 0 5040 0 33600














Phn t
Node
Ta x
Ta y
(4)
4
5
10
5
15
10

Cỏc cosin ch phng:
21
21
15 5
cos 1
10
10 10
sin 0
10
x
x
xx
l
L
yy
m
L


k
d
d
d
d
d
d
sym




























Ma trn chuyn v ca [T
4
]:
4
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
T
T














Cỏc phng trỡnh ca phn t 4 trong h ton cc:

4
4
4
5
5
5
840000 0 0 840000 0 0 0
0 2016 10080 0 2016 10080 0
0 10080 67200 0 10080 33600 0
.
840000 0 0 840000 0 0 0
0 2016 10080 0 2016 10080 0
0 10080 33600 0 10080 67200 0
u
v
u
v










Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 15

Cỏc ma trn ton cc sau khi lp ghộp phn t 4: 1008 0 -5040 0 0 0 -1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0
0 840000 0 0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 0 0
-5040 0 33600 0 0 0 5040 0 16800 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0 -1008 0 -5040
0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 0 0 0 -840000 0
0 0 0 -5040 0 33600 0 0 0 0 0 0 5040 0 16800
-1008 0 5040 0 0 0 1681008 0 5040
k


1680000 0 0 0 0 0
0 -840000 0 0 0 0 0 856128 40320 0 16128 40320 0 0 0
-5040 0 16800 0 0 0 5040 40320 168000 0 40320 67200 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1680000 0 0 2520000 0 0 840000 0 0
0 0 0 0 0 0 0 16128 40320 0 18144 30240 0 2016 10080
0 0 0 0 0 0 0 40320 67200 0 30240 20160




0 0 10080 33600
0 0 0 -1008 0 5040 0 0 0 840000 0 0 841008 0 5040



0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 0r

3) Kh iu kin biờn:
iu kin biờn chớnh ca bi toỏn:

Node
Dof
Giỏ tr
1
1
0
2
0
3
0
2
4
0
5
0
6
0

Cỏc ma trn ton cc sau khi kh iu kin biờn chớnh: 1681008 0 5040 1680000 0 0 0 0 0
0 856128 40320 0 16128 40320 0 0 0



2 0 0 0 4 0 0 0 0r Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 16

4) Gii h phng trỡnh ton cc tỡm giỏ tr ca nỳt:
Ta cú phng trỡnh:

1
.k d r d k r



Vi [k]
-1
l ma trn nghch o ca ma trn [k] v bng:










3
3
3
4
3
4
4
5
5
5
0.6620 0.0004 0.0332 0.6617 0.0368 0.0110 0.6611 0.0004 0.0331
0.0004 0.0012 0.0001 0.0004 0.0008 0.0001 0.0004 0.0000 0.0001
0.0332 0.0001 0.0156 0.0331 0.03
10 .
u
v
u
v
u



0.6611 0.0004 0.0331 0.6614 0.0365 0.0110 0.6620 0.0004 0.0332
0.0004 0.0000 0.0001 0.0004 0.0004 0.0001 0.0004 0.0012 0.0001
0.0331 0.0001 0.0023 0.0331 0.0225 0.0052 0.0332 0.0001 0.0156

















2
0
0
0
.
4
0
0
































 
 
 
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0.0014710761 0.0000025083
0 0 0 1 0 0 0.0000025083 0.0014710761
0 0 0 0 0 1 0.0002146931 0.0002146931
d T d
     
     

     
     
  
   


   

   

  
   


     





    
    





Lực dọc:
7
()
( ) 8400000 ( 2.5083 10 ) 2.106972
d u s
f s EA x x
ds

    

Các hàm nội suy chuyển vị ngang:

 
 
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
2 3 2 3 2

7 3 5 2
0
0
( ) 0.002 0.03 1 0.01 0.2 0.03 0.002 0.01 0.1
0.0014710761
0.0002146931
7.95221 10 2.2663 10
v
d
d
v s N s s s s s s s s s
d
d
x s x s





   
       
   

   
   




Mômen uốn:


0 0 0 0.0014682204 0.0000022536 0.0000236592d

Chuyn v nỳt trong h ta a phng:
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0.0014682204 0.0000022536
0 0 0 1 0 0 0.0000022536 0.0014682204
0 0 0 0 0 1 0.0000236592 0.0000236592
d T d
















u s N x s
d











Lc dc:
7
()
( ) 8400000 ( 2.2536 10 ) 1.893024
d u s
f s EA x x
ds



Cỏc hm ni suy chuyn v ngang: 3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2

14
15
6 3 5 2
0
0
( ) 0.002 0.03 1 0.01 0.2 0.03 0.002 0.01 0.1
0.0014682204
0.0000236592
3.17303 10 4.64125 10
v
d
d
v s N s s s s s s s s s
d
d
x s x s















,
EA = 8400000 kN.
Chuyn v nỳt trong h ton cc:

0.0014710761 0.0000025083 0.0002146931 0.0014701242 0.0007997707 0.0000519555d

Chuyn v nỳt trong h ta a phng:
1 0 0 0 0 0 0.0014710761 0.0014710761
0 1 0 0 0 0 0.0000025083 0.0000025083
0 0 1 0 0 0 0.0002146931 0.0002146931

0 0 0 1 0 0 0.0014701242 0.001
0 0 0 0 1 0 0.0007997707
0 0 0 0 0 1 0.0000519555
d T d



















Chuyn v dc trc:

7
7
10
0.0014710761
( ) 1 0.0014710761 1.9038 10
0.0014701242
55
u
d
ss
u s N x s
d











s
s s s s s s s s s








Chuyn v ngang ( vừng): 8
9
3 2 3 2 2 3 3 2
11
12
6 3 7 2 4
0.0000025083
0.0002146931
( ) 0.016 0.12 1 0.04 0.4 0.12 0.016 0.04 0.2
0.0007997707
0.0000519555
2.09026 10 5.96834 10 2.146931 10
v
d

()
( ) 2 168000(1.254156 10 1.193668 10 ) 2.10698208 0.200536224
d v s
M s EI x s x s
ds



Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 20

Lc ct:
()
( ) 2.10698208
d M s
Vs
ds


d) Phn t 4:
L = 10 m,
2EI = 168000 kN/m
2
,
EA = 8400000 kN,
Chuyn v nỳt trong h ton cc:

0.0014701242 0.0007997707 0.0000519555 0.0014682204 0.0000022536 0.0000236592d


0.0000022536
0.0000236592











Cỏc hm ni suy chuyn v dc trc:

10
1
10 10 10 10
u
s L s s s s s
N
LL






Chuyn v dc trc:




Cỏc hm ni suy chuyn v ngang: 3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
2 3 2 3 2
1
2 3 2 3 2
1
10 10 10 10 10 10 10 10
0.002 0.03 1 0.01 0.2 0.03 0.002 0.01 0.1
v
s s s s s s s s
Ns
L L L L L L L L
s s s s s s s s
s
s s s s s s s s s



















4
.997707 10x


Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 21

Mụmen un:
2
55
2
()
( ) 2 168000( 1.1268 10 6.39014 10 ) 1.893024 10.7354352
d v s
M s EI x s x s
ds



0 0 0 -5040 0 33600 0 0 0 0 0 0 5040 0 16800
-1008 0 5040 0 0 0 1681008 0 5040 16 80000 0 0 0 0 0
0 -840000 0 0 0 0 0 856128 40320 0 16128 40320 0 0 0
-5040 0 16800 0 0 0 5040 40320 168000 0 40320 67200 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1680000 0 0 2520000 0 0 840000 0 0
0 0 0 0 0 0 0 16128 40320 0 18144 30240 0 2016 10080
0 0 0 0 0 0 0 40320 67200 0 30240 201600 0





0
0
0
0
0
0
0.0014710761
.
10080 33600
0 0 0 -1008 0 5040 0 0 0 840000 0 0 841008 0 5040
0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 2016 10080 0 842016 10080
0 0 0 -5040 0 16800 0 0 0 0 10080 33600 5040 10080 100800







0.0000025083 0
0.0002146931 0
0.0014701242 0
0.0007997707 4
0.0000519555 0
0.0014682204 0
0.0000022536 0
0.0000236592 0
R
R
R
R
R
R

























Gii h phng trỡnh trờn ta tỡm c phn lc nh sau:
1
2
3
4
5
6
0.4008 ( )
2.1070 ( )
3.8074 ( )
1.5992 ( )
1.8930 ( )
7.7973 ( )
R
m
R
m
R
kNm

NM
h
AI



Trong ú h l chiu cao ca tit din.
i vi tit din mt ct ngang l hỡnh ch nht thỡ ng sut ct ln nht (ti v
trớ trc trung hũa) c tớnh theo cụng thc sau:
3
2
Q
A



Gi s phn t cú tit din mt ct ngang l: bxd = 0.2x0.2 m
2
. Vỡ b = h nờn
ng sut ct trong thc t ln hn cụng thc tớnh trờn 13%. Do ú ta vit li cụng
thc tớnh ng sut ct nh sau:
Bµi tËp m«n ph-¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n GVHD: PGS.TS NguyÔn Hoµi S¬n

HV: TrÇn Nguyªn Ph-¬ng – MSHV: 1480813 – Líp XDC14B Trang 22

3
1.13 1.695
2
QQ
x

0
10
-2.107
0.201
0.401

Tại vị trí nút 1:
- Ứng suất uốn:
2
2.107 3.807
( / 2) 0.1 1004.425 ( / )
0.04 0.0004
NM
h kN m
AI

      

- Ứng suất cắt:
2
0.401
1.695 1.695 16.992 ( / )
0.04
Q
kN m
A

  

Tại vị trí nút 3:

m
4
.

Phần tử
Tọa độ x
Tọa độ y
Lực dọc (kN)
Mômen (kNm)
Lực cắt (kN)
(2)
2
15
0
-1.893
-7.797
1.599
5
15
10
-1.893
8.195
1.599

Tại vị trí nút 2:
- Ứng suất uốn:
2
1.893 7.797
( / 2) 0.1 1996.575 ( / )
0.04 0.0004


HV: TrÇn Nguyªn Ph-¬ng – MSHV: 1480813 – Líp XDC14B Trang 23

- Ứng suất cắt:
2
1.599
1.695 1.695 67.758 ( / )
0.04
Q
kN m
A

  

c) Phần tử 3:
A = 4x10
-2
m
2
,
I = 4x10
-4
m
4
.

Phần tử
Tọa độ x
Tọa độ y
Lực dọc (kN)

2.107
1.695 1.695 89.284 ( / )
0.04
Q
kN m
A

  

Tại vị trí nút 4:
- Ứng suất uốn:
2
1.599 10.334
( / 2) 0.1 2543.525( / )
0.04 0.0004
NM
h kN m
AI

     

- Ứng suất cắt:
2
2.107
1.695 1.695 89.284 ( / )
0.04
Q
kN m
A


-1.599
-8.195
-1.893

Tại vị trí nút 4:
- Ứng suất uốn:
2
1.599 10.735
( / 2) 0.1 2643.775 ( / )
0.04 0.0004
NM
h kN m
AI

     

- Ứng suất cắt:
2
( 1.893)
1.695 1.695 80.216 ( / )
0.04
Q
kN m
A


   

a) Phn t 1:
A = 4x10
-2
m
2
,
L = 10 m,

3
7.8 /kN m



Ma trn khi lng ca phn t 1 trong h ta a phng:

1
1.04 0 0 0.52 0 0
0 1.159 1.634 0 0.401 0.966
0 1.634 2.971 0 0.966 2.229
()
0.52 0 0 1.04 0 0
0 0.401 0.966 0 1.159 1.634
0 0.966 2.229 0 1.634 2.971
l
m kN


















Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn

HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 25

Ma trn khi lng ca h khung khi lp ghộp phn t 1:



















b) Phn t 2:
A = 4x10
-2
m
2
,
L = 10 m,

3
7.8 /kN m