KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG

Số 12/5-2012
Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng
54

NG DNG PHNG PHP PHN T HU HN
XC NH S PHN B NHIT TRấN TIT DIN THẫP

Phm Th Ngc Thu
1Túm tt: Vit Nam, quy trỡnh thit k chng chỏy cho cụng trỡnh xõy dng bng
thộp ang c quan tõm mnh m. Trong bi bỏo ny, tỏc gi gii thiu bi toỏn
xỏc nh s phõn b nhit trờn tit din cu kin thộp chu lc trong khụng gian
chỏy ỏp dng phng phỏp phn t hu hn, õy l mt trong nhng bi toỏn ch
o ca quy trỡnh thit k k trờn. T kt qu thu c c
a bi toỏn, ta cú th kim
soỏt tc lan truyn nhit, tớnh toỏn kh nng chu lc cũn li ca cu kin ti
mt thi im nht nh trong quỏ trỡnh chỏy, cú ý ngha rt ln n hiu qu ca
cỏc cụng tỏc phũng chỏy cha chỏy.
T khúa: kt cu thộp, phn t hu hn, nhit
Summary: In Vietnam, the procedure for fire - resistant steel structural design is
strongly interested. In this paper, the author introduces the problem to determine
the temperature distribution on the steel cross-section in fire applying the finite
element method which is one of the main problems of the procedure described
above. From the results of the problem, we can control the speed of spread heat,
calculate bearing capacity of structures remaining at a given time during burning,
which is of great significance to the efficiency of the fire.
Keywords: steel structural, finite element method, temperature


55
2. Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào bài toán xác định phân bố nhiệt lượng
trên tiết diện thép
2.1 Phương trình vi phân dẫn nhiệt hai chiều [2]
Khảo sát một phân tố chịu nhiệt độ T có hệ số dẫn nhiệt k như hình 1, có độ dày t theo
phương z là hằng số, lượng nhiệt phát sinh trong phân tố là Q(W/m
3
).
Vì lượng nhiệt truyền vào vi phân thể tích cộng với lượng nhiệt phát sinh phải bằng
lượng nhiệt truyền ra, nên ta có:

Q
q
y

dx
q
q
x
x
x
∂
∂
+
dy
q
q
y
y

⎝
⎛
∂
∂
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=++
(1)
0Q
y
q
x
q
y
x
=−
∂
∂
+
∂
∂

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
→
(3)
Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả quá trình dẫn nhiệt 2 chiều. Trong
trường hợp này, phương trình được giải quyết với điều kiện đầu vào là nhiệt độ T = T
o
trên biên
xác định.
2.2 Giải bài toán sử dụng phần tử tứ giác
Khảo sát một phần tử tứ giác tổng quát như hình 2. Phần tử có 4 nút (1,2,3,4) lần lượt

bằng đơn vị tại nút i và bằng 0 tại các nút
còn lại [1]. Cụ thể N
1
= 1 tại nút 1; N
1
= 0 tại các nút 2, 3, 4
→ N
1
= (1-
ξ
)(1-
η
)/4 (5a)
Tương tự ta có:
N
2
= (1+
ξ
)(1-
η
)/4 (5b)
N
3
= (1+
ξ
)(1+
η
)/4 (5c)
N
4

x = N
1
x
1
+ N
2
x
2
+ N
3
x
3
+ N
4
x
4
(7a)
y = N
1
y
1
+ N
2
y
2
+ N
3
y
3
+ N

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
η
ξ
η
ξ
x
x
T
T

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
η
ξ
x
x

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
∂
∂
∂
∂
η
ξ
y
y
là ma trận Jacôbi, kết hợp các phương trình (5) và (7) ta có :
→
⎢
⎣

=
21
11
J
J

⎥
⎦
⎤
22
12
J
J
(9)
Từ (8) và (9) →
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂

⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
⎥
⎦
⎤
−
η
ξ
T
T
J
J
11
12
(10)
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 12/5-2012

57
Từ các phương trình (5) và (6), ta viết lại phương trình (10) dưới dạng:


T

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
⎥
⎦
⎤
−
4
1
4
1
J
J
11
12
ξ
η

4
1
4

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−
+
−
4
3
2
1
T
T
T
T
4
1
4
1
ξ
η
(11)
Đặt B =
⎢
⎣
⎡
−
21


4
1
4
1
ξ
η
+
−
−

4
1
4
1
ξ
η
+
+

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−
+
−
4

Ta sẽ sử dụng các biểu thức trên để xây dựng ma trận dẫn nhiệt của phần tử.
2.2.2 Xây dựng ma trận truyền nhiệt của phần tử
Quay lại phương trình (3), thực chất của việc giải phương trình này kết hợp với các điều
kiện đầu vào tương ứng dựa trên nguyên lý cực tiểu thế năng là cực tiểu hàm :

∫∫
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜

x
T
k
2
1
ΠΠΠ
+=−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
Π
(15)
Từ (12) →
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=
⎟

T
x
T
y
T
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
⎥
⎦
⎤
∂
∂
(16)
Thay vào (15)
∫∫∫

1
ee1
Tk'T
2
1
TdJddetBt'kB'T
2
1
dJddettBT'B'kT
2
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==→
∫∫∫∫
−−−−
ηξηξΠ
(19)
trong đó
ηξ
dJddetB'Bktk
1
1

2
1
ii
1
1
2
1
i
1
1
1
1
ηξφηηξφηξηξφ),(ww),(ww),(ww),(ww
2222121221211111
η
ξ
φ
η
ξ
φ
η
ξ
φ
η
ξ
φ
+

η
) = B’BdetJ, ta có thể viết:

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
3
1
,

⎜
⎜
⎝
⎛
−+
3
1
,
3
1
JdetB'B
3
1
,
3
1
JdetB'B
(22)
Ma trận dẫn nhiệt của cả hệ
∑
=
e
e
kK (23)
Xét
∫
−=−=
A
2
RTQTtdA

⎜
⎝
⎛
3
1
,
3
1
B
;
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
3
1
,
3
1
B
;
⎟
⎟
⎠
⎞

k
e

- Bước 4: Tính ma trận dẫn nhiệt của cả hệ
K
- Bước 5: Giải phương trình
KT
e
= R, từ đó xác định véctơ nhiệt độ tại nút T
e
trong cả hệ.
3. Ví dụ tính toán
Cho tiết diện chữ
I có kích thước và chịu tác động nhiệt độ như hình 3. Mặt trên có nhiệt
độ 20
o
C, mặt dưới có nhiệt độ 180
o
C, hai mặt trái và phải được giữ cách nhiệt. Xác định sự
phân bố nhiệt độ trên tiết diện biết hệ số dẫn nhiệt của thép k = 45 W/m
o
C.
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 12/5-2012

59
====
89,181
87,91
02,90
74,183
kkkk
6431
87,91
89,181
74,183
02,90
−
−

02,90
74,183
89,181
87,91
−
−

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−
−
74,183

−
−

50,17
50,32
25,1
25,16
−
−

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−
−
50,32
50,17
25,16
25,1⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

−
−
63,360
69,359
31,180
37,179

- Tính ma trận dẫn nhiệt của cả hệ
K
Hệ có 20 nút nên ma trận dẫn nhiệt của cả hệ
K có dạng K[20x20] là kết quả của bài toán
ghép nối các ma trận dẫn nhiệt phần tử k
i
:
∑
=
i
i
kK theo quy tắc thông thường của phương
pháp phần tử hữu hạn
- Giải phương trình
KT
e
= R
Ma trận
T
e
và R có dạng:
T
e

T
16
T
17
T
18
T
19
T
20
]’
R = [R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
7
R
8
R
9
R

7
= 180
o
C
+ T
12
= T
13
= T
14
= T
15
= 20
o
C
+ R
3
= R
4
= R
6
= R
8
= R
9
= R
10
= R
11
= R

= 20,32
o
C
T
11
= T
16
= 20,08
o
C; T
17
= T
18
= 126,56
o
C; T
19
= T
20
= 73,44
o
C

Hình 5. Sự phân bố nhiệt độ tại các nút trên mặt cắt A-A
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 12/5-2012

61

, Lulea tekniska universitet.
6. Richard D.Peacock, Walter W.Jones, Paul A.Reneke, Glenn P.Forney (2005),
CFAST-
Consolidated model of fire growth and smoke transport (Version 6)
, NIST special publication
1041.