ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN VIẾT CHIẾN
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH
HIỆU ỨNG BIẾN ĐỔI PHA
CỦA CHẤT BỊ HÚT BÁM
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY CHUẨN
Hà Nội – Năm 2015
Mục lục
Mở đầu 2
1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính . . . . 12
1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L
2
. . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Phương trình tiến hóa tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất
bị hút bám với điều kiện biên Neumann. 24
2.1 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc
của TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải
đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả luận văn
Nguyễn Viết Chiến
3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả liên
quan đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt thường được sử
dụng khi nghiên cứu các bài toán của phương trình vi phân đạo hàm riêng. Cuối
cùng, ta trình bày bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa tựa tuyến tính.
Chứng minh chi tiết các kết quả này có thể xem trong [5].
1.1 Những không gian hàm cơ bản
1.1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các không gian Banach, và tập mở Ω ⊂ X . Ta
có định nghĩa các không gian hàm cơ bản sau.
R
n
=

C([a, b]; X) =

f : [a, b] → X : f liên tục trên [a, b]

.
C
m
([a, b]; X) =

f : [a, b] → X : f khả vi liên tục đến cấp m

.
L(X, Y ) =

f : X → Y : f tuyến tính liên tục

.
L
p
(Ω) =

f đo được trên Ω :

Ω
|f(x)|
p
dx < +∞

, p ≥ 1.
L


u : [a, b] → X : u bị chặn trên [a, b]

. Khi đó B ([a, b] ; X)
là không gian Banach với chuẩn
u
B
= sup
a≤t≤b
u(t) , ∀u ∈ B ([a, b] ; X) .
b) Cho η > 0, không gian B
−η
{a}
((a, b] ; X) =

u : (a, b] → X : (t − a)
η
u ∈ B ((a, b] ; X)

.
Không gian trên được trang bị chuẩn
u
B
−η
{a}
= sup
a<t≤b
(t − a)
η
u(t) =

:= sup
x∈Ω
|u(x)|.
c) Cho m = 0, 1, 2, và số mũ σ thỏa 0 < σ < 1, không gian
C
m,σ
([a, b] , X) =

u ∈ C
m
([a, b] , X) : u
(m)
(t) liên tục H¨older bậc σ

.
Không gian trên được trang bị chuẩn
u
C
m,σ
= u
C
m
+ sup
a≤s<t≤b


u
(m)
(t) − u
(m)

([a, b] ; X) .
Không gian hàm liên tục H¨older có trọng F
β,σ
((a, b]; X).
Cho (X, .) là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β < 1. Không gian
F
β,σ
((a, b]; X) gồm các hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau:
5
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
(1) Khi β < 1, (t − a)
1−β
F (t) có giới hạn khi t → a.
(2) F là hàm liên tục H¨older với số mũ σ và trọng (s − a)
1−β+σ
, nghĩa là
sup
a≤s<t≤b
(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
= sup
a≤t≤b
sup
a≤s<t
(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)

σ
là một không gian Banach.
Sau đây, ta sẽ định nghĩa lớp không gian Sobolev. Trước tiên, chúng ta tìm
hiểu khái niệm "đạo hàm yếu" của một phần tử thuộc không gian L
1
loc
(Ω).
Định nghĩa 1.4. Với một hàm u ∈ L
1
loc
(Ω), ta nói rằng v ∈ L
1
loc
(Ω) là đạo hàm
yếu của u ứng với biến x
j
, ký hiệu v = D
j
u, nếu

Ω
vφ dx = −

Ω
u
∂φ
∂x
j
dx,
với mọi φ ∈ C

u : D
α
u ∈ L
p
(Ω), với mọi 0 ≤ |α| ≤ k

,
với chuẩn
u
W
k,p
=



0≤|α|≤k
D
α
u
p
L
p


1/p
.
6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Không gian Sobolev W
k,p

k
=



0≤|α|≤k
D
α
u
2
L
2


1
2
.
Tiếp tục, ta định nghĩa không gian H
s
p
(Ω) với s là một số không âm. Khi Ω = R
n
H
s
p
(R
n
) =

u ∈ S(R

(R
n
) là không gian
Banach với chuẩn
u
H
s
p
= F
−1
[(1 + |ξ|
2
)
s/2
Fu
L
p
, u ∈ H
s
p
(R
n
).
Hơn nữa, khi s = k thì H
k
p
(R
n
) = H
s

(Ω) là không gian Banach với chuẩn
u
H
s
p
(Ω)
= inf
U∈H
s
p
(R
n
),U
|Ω
=u
U
H
s
p
(R
n
)
.
1.1.2 Định lý nhúng
Định lý 1.1 (Định lí 1.36 [5]). Giả sử Ω là R
n
, R
n
+
hoặc một miền bị chặn với

p
thì
H
s
p
(Ω) ⊂







C(R
n
)(tương ứng C(R
n
+
)) khi Ω = R
n
(tương ứng R
n
+
),
C(Ω) khi Ω bị chặn .
(1.3)
Khi Ω bị chặn, phép nhúng là liên tục.
Từ Định lý 1.1, Định lý 1.37 [5] và bất đẳng thức H¨older trong không gian
L
p

(Ω). (1.4)
Khi 0 ≤ s < 1, H
s
(Ω) ⊂ L
p
(Ω), 1/p = (1 − s)/2 ta có ước lượng
u
L
p
≤ Cu
H
s
, u ∈ H
s
(Ω) ∩ L
p
(Ω) . (1.5)
Khi s = 1, H
1
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) với 2 < q < ∞ thỏa mãn
u
L
q
≤ C
p,q
u
1−(p/q)
H

1+θ
≤ C
θ
u
H
1+θ
v
H
1+θ
, u, v ∈ H
1+θ
(Ω). (1.8)
1.2 Toán tử quạt
1.2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.6. Cho X, Y là không gian Banach với chuẩn ., A : D(A) ⊂
X → Y . D(A) được gọi là miền xác định của toán tử A.
8
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X.
• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử
đóng, tức là
G
A
= {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng.
Định nghĩa 1.7. Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong
không gian Banach X. Kí hiệu
• Tập giải ρ(A) =

λ ∈ C : (λ − A)
−1

ω
{σ(A) ⊂ Σ
ω
}
được gọi là góc của A. Khi đó với mọi ω
A
< ω ≤ π luôn tồn tại M
ω
> 1 sao cho


(λ − A)
−1


≤
M
ω
|λ|
, ∀λ /∈ Σ
ω
.
a) Hàm mũ sinh bởi toán tử quạt
Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc ω
A
<
π
2
và với góc
ω

Chúng ta định nghĩa họ các toán tử tuyến tính bị chặn e
−tA
bởi tích phân
Dunford trong không gian L(X) như sau
e
−tA
=
1
2πi

Γ
e
−tλ
(λ − A)
−1
dλ, 0 < t < ∞.
Trong đó Γ là đường cong vô hạn thuộc ρ(A), bao quanh σ(A) theo hướng ngược
chiều kim đồng hồ. Ở đây, ta có thể lấy Γ = Γ
−
∪ Γ
+
, trong đó, Γ
±
: λ =
re
±iω
, 0 ≤ r < ∞ định hướng từ ∞e
iω
tới 0 và từ 0 tới ∞e
−iω

M
|λ|
≤


e
−tλ


M
r
. Mà


e
−tλ


=


e
−tr(cosω±isinω)


=


e
−trcosω


A
e
−tA
= e
−(t+t

)A
.
Từ đó, ta mở rộng toán tử e
−tA
thành e
−zA
được cho bởi công thức
e
−zA
=
1
2πi

Γ
e
−zλ
(λ − A)
−1
dλ, z ∈ Σ
π
2
−ω
.

z ∈
¯
Σ
φ
− {0}, toán tử e
−zA
hội tụ mạnh về 1 trên X khi z → 0.
b) Lũy thừa phân số của toán tử quạt
Cho (X, .) là một không gian Banach, A là một toán tử quạt trong X với
góc 0 ≤ ω
A
< π. Với mỗi số nguyên n ∈ Z, toán tử A
n
được định nghĩa như sau.
Khi n > 0 thì A
n
là một toán tử đóng, xác định trù mật trong X, khi n < 0 thì
A
n
= (A
−1
)
−n
= (A
−n
)
−1
là một toán tử bị chặn của X, và khi n = 0 thì A
0
= 1

: λ = ρe
±iω
, δ ≤ ρ < ∞, và Γ
0
: λ = δe
iϕ
, −ω ≤ ϕ ≤ ω,
10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
trong đó ω
A
< ω < π và 0 < δ < A
−1

−1
. Hơn nữa, Γ định hướng từ ∞e
iω
tới
δe
iω
, từ δe
iω
tới δe
−iω
và từ δe
−iω
tới ∞e
−iω
. Do


−z
như sau.
• Với bất kỳ 0 < φ <
π
2
, khi z → 0 với z ∈ Σ
φ
− {0}, A
−z
hội tụ mạnh tới 1
trong X.
• Hàm A
−z
nhận giá trị trong L(X) là một nửa nhóm giải tích xác định trong
nửa mặt phẳng {z ∈ C; Rez > 0}.
• A
−z
là khả nghịch với mỗi Rez > 0 và nghịch đảo của nó A
z
là một toán tử
tuyến tính đơn trị của X và được định nghĩa là: A
z
= (A
−z
)
−1
, Rez > 0. Do
D(A
z
) trù mật trong X nên A


= A
x

A
x
= A
x+x

với −∞ < x, x

< ∞.
Đặc biệt, với 0 < θ < 1, A
θ
là một toán tử quạt của X với góc ≤ θω
A
. Và A
θ
thỏa
mãn bất đẳng thức năng lượng sau
A
θ
U ≤ CAU
θ
U
1−θ
, U ∈ D(A). (1.14)
và với 0 ≤ α < β < γ ≤ 1, ta có




, 0 ≤ θ ≤ 1.
Khi đó, D
θ
(A) là không gian định chuẩn với chuẩn
U
D
θ
(A)
= sup
0<ρ<∞
ρ
θ
A(ρ + A)
−1
U.
11
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.2 (Định lý 2.24 [5])). Với mọi 0 < θ < 1, A
θ
là toán tử quạt của X
với miền xác định D(A
θ
) ⊂ D
θ
(A), và thỏa mãn đánh giá
U
D
θ
(A)

θ
e
−tA
 ≤ Ct
−θ
, 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞, (1.17)
và
[e
−tA
− 1]A
−θ
 ≤ Ct
θ
, 0 < t < ∞, 0 < θ ≤ 1. (1.18)
1.2.2 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính
a) Bộ ba không gian
Cho X, Y là hai không gian Banach với chuẩn tương ứng là .
X
và .
Y
. Một
hàm giá trị phức ., . xác định trên không gian tích X × Y được gọi là một dạng
song tuyến tính trên X × Y nếu thỏa mãn

αF + β
˜
F , G

= α F, G + β


G
Y
≤1
| F, G |, F ∈ X,
G
X
= sup
F 
X
≤1
| F, G |, G ∈ Y.
Khi đó Y được gọi là một không gian liên hợp của X với tích đối ngẫu ., .. Nếu
Y là liên hợp của X với tích đối ngẫu ., .
X×Y
thì X là liên hợp của Y với tích
đối ngẫu G, F
Y ×X
= F, G
X×Y
. Khi đó ta nói hai không gian X và Y là một
cặp liên hợp với tích đối ngẫu ., ..
12
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Cho Z và X là hai không gian Hilbert với tích ((., .)) và (., .) và chuẩn . và |.|
tương ứng, Z ⊂ X là nhúng liên tục và trù mật. Giả sử rằng tồn tại một không
gian Banach Z
∗
trang bị chuẩn .
∗
thỏa mãn

= ., .
Z×Z
∗
. Giả sử a(U, V ) là
một hàm giá trị phức với (U, V ) ∈ Z × Z thỏa mãn
a(αU + β
˜
U, V ) = αa(U, V ) + βa(
˜
U, V ), α, β ∈ C, U,
˜
U, V ∈ Z,
a(U, αV + β
˜
V ) = αa(U, V ) + βa(U,
˜
V ), α, β ∈ C, U, V,
˜
V ∈ Z.
Khi a(U, V ) thỏa mãn điều kiện
|a(U, V )| ≤ MUV , U, V ∈ Z, (1.19)
với M là hằng số, ta nói a(U, V ) là dạng nửa song tuyến tính liên tục.
Xét dạng nửa song tuyến tính a(U, V ) xác định trên Z × Z (viết ngắn gọn là
trên Z). Với mỗi U ∈ Z, tồn tại duy nhất Φ ∈ Z
∗
sao cho a(U, V ) = Φ, V  với
mọi V ∈ Z. Khi đó A : U → Φ là một toán tử tuyến tính từ Z vào Z
∗
. Toán tử
A này được gọi là toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính a(U, V ). Vì vậy

|X
và A
|Z
. Khi đó, toán tử A,
A
|X
, và A
|Z
là các toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong Z
∗
, X và Z
tương ứng.
Với mỗi Re λ ≤ 0, xét dạng nửa song tuyến tính
a(U, V ) − λ(U, V ), U, V ∈ Z,
thỏa mãn điều kiện liên tục và điều kiện bức trên Z. Do đó A là một phép đẳng
cấu từ Z vào Z
∗
. Hơn nữa, ta có những đánh giá sau đây:
|λ|(λ − A)
−1
Φ
∗
≤ (Mδ
−1
+ 1)Φ
∗
, Φ ∈ Z
∗
,
|λ||(λ − A)

2
.
1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L
2
Cho miền Ω ⊂ R
n
. Xét dạng song tuyến tính xác định trên H
1
(Ω)
a(u, v) =
n

i,j=1

Ω
a
ij
(x)D
i
uD
j
vdx +

Ω
c(x)u
vdx, u, v ∈ H
1
(Ω). (1.22)
Ở đây a
ij

(Ω) và c(x) ≥ c
0
> 0, hầu khắp nơi x ∈ Ω. (1.25)
Rõ ràng a(u, v) thỏa mãn (1.19) với M = max


i,j
a
ij

L
∞
, c
L
∞

. Ngoài ra,
từ (1.22) ta suy ra
Re a(u, v) =
n

i,j=1

Ω
a
ij
(x)[(Re D
i
u)(Re D
j

∗
và một toán tử A liên
kết với (1.22). Vì
n

i,j=1

Ω
a
ij
(x)D
i
uD
j
vdx =

−
n

i,j=1
D
j
[a
ij
(x)D
i
u], v

H
1∗

, c
L
∞
, δ, c
0
.
Điều này nghĩa là A là toán tử quạt của H
1
(Ω)
∗
, L
2
(Ω), H
1
(Ω) tương ứng, với góc
nhỏ hơn
π
2
.
Khi đó A, A tương ứng là các toán tử quạt của H
1
(Ω)
∗
, L
2
(Ω), với các góc <
π
2
.
Chú ý. Khi a

quạt liên kết với a(., .) và hạn chế của A trong L
2
(Ω) là A = A
|L
2
. Giả sử (1.23),
(1.24), (1.25) được thỏa mãn và a
ij
(x) ∈ C
1
(Ω), 1 ≤ i, j ≤ n. Khi đó
D(A
θ
) =



H
2θ
(Ω) , khi 0 ≤ θ <
3
4
,
H
2θ
N
(Ω) =

u ∈ H
2θ

7
4
, ta có kết quả sau
D(A
θ
) =



H
2θ
N
=

u ∈ H
2
N
(Ω); ∆u ∈ H
2(θ−1)
(Ω)

, khi 1 ≤ θ <
7
4
,
H
2θ
N
2
=

Z
≤ R} , 0 < R < ∞.
Giả sử Y , W là hai không gian Banach thỏa W ⊂ Z ⊂ Y ⊂ X. Tiếp theo, ta giả
thiết toán tử A(U) như sau. Với mỗi U ∈ K, A(U) là toán tử quạt trong X với
góc ω
A(U)
<
π
2
, và miền xác định của nó là D(A(U )). Phổ của toán tử A(U) nằm
trong miền
σ(A(U)) ⊂ Σ
ω
= {λ ∈ C : |arg λ| < ω} , U ∈ K, (1.28)
với 0 < ω <
π
2
, và giải thức thỏa mãn đánh giá


(λ − A(U))
−1


L(X)
≤ M/|λ|, λ /∈ Σ
ω
, U ∈ K, (1.29)
với hằng số M ≥ 1. Ta cũng giả thiết D(A(U)) phụ thuộc U ∈ K, nhưng luôn tồn
tại số mũ 0 < v ≤ 1 thỏa












˜
U


Y
≤ D
1


D(A(U)
α
)
˜
U


X
;
˜


˜
U


W
≤ D
3


D(A(U)
η
)
˜
U


X
;
˜
U ∈ D(A(U)
η
); U ∈ K
(1.32)
D
i
> 0 (i = 1, 2, 3) là các hằng số.
Cuối cùng, ta giả sử
F ∈ F
β,σ

F,U
0

; Z

∩ C
β−α

0, T
F,U
0

; Y

∩ C
1

0, T
F,U
0

; X

,
A(U)
β
U ∈ C

0, T
F,U




C
+




dU
dt




F
β,σ
+ A(U)U
F
β,σ
≤ C
F,U
0
, (1.36)
với và hằng số C
F,U
0
> 0 chỉ phụ thuộc vào F và U
0
.

(1.38)
17
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
với ϕ(.) là hàm liên tục tăng. Đặc biệt khi V = 0, ta có
F (U)
X
≤ F (0)
X
+ ϕ (U
Z
) (1 + U
Z
) U
W
, U ∈ W. (1.39)
Với các giả thiết như trên, ta có kết quả sau.
Định lý 1.7. Cho bài toán Cauchy (1.37) thỏa mãn các điều kiện (1.28), (1.29),
(1.30), (1.31), (1.32), (1.38). Cho giá trị ban đầu U
0
∈ D(A(U
0
)
γ
), với β < γ ≤ 1,
0 < σ < min {β − α + v − 1 , 1 − η}. Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm địa phương
U trên [0, T
U
0
] trong không gian


(1.40)
với T
U
0
> 0 chỉ phụ thuộc vào


A(U
0
)
γ
U
0


X
. Hơn nữa, U thỏa mãn đánh giá


A(U)
γ
U


C
+





.
Chứng minh.
Ta định nghĩa các hàm:
ω
F
(t) = sup
0≤s<t
s
1−β+σ
F (t) − F (s)
X
(t − s)
σ
, (1.42)
ω
U
0
(t) = sup
0≤s≤t




e
−sA(U
0
)
− 1

A(U

β−1
s
1−β
F
s



X
. (1.44)
Bước 1 . Với mỗi 0 < S ≤ T , ta đặt không gian Banach
W(S) = B
−ρ
{0}
((0, S] ; W ) ∩ B ((0, S] ; Z) ∩ C
µ
{0}
([0, S] ; Y )
với số mũ µ và ρ thỏa 1 − v + σ < µ < γ − α , 1 − σ − γ < ρ < 1 − γ. Từ đó, ta suy
ra
η − γ < 1 − σ − γ < ρ < 1 − γ < 1 − µ − α. (1.45)
Thêm nữa, ta đặt tập con đóng khác rỗng F(S) của W(S) như sau
F(S) =

U ∈ W (S) : U(0) = U
0
, sup
0≤t≤S
U(t)
Z

Ở đây, k là số mũ thỏa
0 < k < σ + 1 − γ − ρ, (1.46)
và R
1
là hằng số thỏa U
0

Z
< R
1
< R.
Bước 2 . Xây dựng ánh xạ Ψ. Ta có
ω
U
0
(t) ≤ sup
0≤s≤t




e
−sA(U
0
)
− 1

A
β−γ
A(U

(t)
X
≤ t
1−γ
F (0)
X
+ ϕ(R
1
)(1 + R
1
)
1−γ−ρ
, 0 < t ≤ S.
Từ đó, F
V
(t) là một hàm liên tục trên X thỏa lim
t→0
t
1−γ
F
V
(t) = 0. Tương tự,
ω
F
V
(t) = sup
0≤s<1
s
1−γ+σ
F

ω
F
V
(t) = 0. Từ đó, F
V
∈ F
γ,σ
((0, S] ; X) với đánh giá
F
V
(t)
F
γ,σ
≤ CS
1+σ−k−γ−ρ
. (1.47)
Tương tự ta cũng có
ω
F
V
,U
0
(t) ≤ Ct
1+σ−k−γ−ρ
+ ω
U
0
(t).
Do vậy, với mỗi V ∈ F(S) thì F
V

V

F
γ,σ
và


A(U
0
)
γ
U
0


X
. Từ đó, ta đặt
inf
V ∈F(S)
T
F
V
,U
0
=
˜
T
U
0
> 0. Cũng từ Định lý 1.3, ta suy ra nghiệm địa phương U

A(U(t)) như sau



U
U
(t, r)U
U
(r, s) = U
U
(t, s), 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤
˜
T
U
0
,
U
U
(s, s) = 1, 0 ≤ s ≤
˜
T
U
0
.
Từ đó, ta có kết quả
U(t) = U
U
(t, 0) +
t


 + U
0

γ

, 0 ≤ t ≤ S.
Ở đây, U
0

γ
được định nghĩa là


A(U
0
)
γ
U
0


X
. Nên với S > 0 đủ nhỏ, ta có
sup
V ∈F(S)
sup
0≤t≤S
{Ψ(V )} (t)
Z
≤ R

t
ρ
U(t)
W
≤ D
3
t
ρ


A
U
(t)
η
U(t)


X
≤ Ct
ρ+β−η

F
V

F
γ,σ
+ U
0

γ

− 1

A
U
(s)
−(η+σ)
× A
U
(s)
η+σ
U(s) +
t

s
U
U
(t, τ)F
V
(τ)dτ, 0 ≤ s < t ≤ S.
Từ (1.18) (chú ý rằng η < v ), ta có



A
U
(t)
η

U
U

A
U
(s)
−(η+σ)



L(X)
≤ C(t − s)
σ
.
20
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Tiếp theo, ta có
t

s


A
U
(t)
η
U
U
(t, τ)


L(X)
τ

σ
t
−γ−η−σ
.
Từ đó, theo (1.32), ta suy ra
U(t) − U(s)
W
≤ C

F
V

F
γ,σ
+ U
0

γ

(t − s)
σ
t
−γ−η−σ
. (1.52)
Vì vậy, nếu S > 0 đủ nhỏ thì
sup
0<s<t≤S
s
ρ+σ
U(t) − U(s)

V

F
γ,σ
+ U
0

γ

≤ 1.
Như vậy, với S > 0 đủ nhỏ, Ψ là ánh xạ đi từ F(S) vào chính nó.
Bước 4 . Ta chứng minh Ψ là ánh xạ co đi từ F(S) vào W(S), với S > 0 đủ
nhỏ. Cho V
i
∈ F(S), ta đặt U
i
= Ψ(V
i
), i = 1, 2. Từ (1.50), ta có
U
1
(t) − U
2
(t) = [U
U
1
(t, 0) − U
U
2
(t, 0)] U




A
U
1
(t)
θ
[U
U
1
(t, 0) − U
U
2
(t, 0)] U
0



X
≤ C
θ
t
γ−θ+µ+v−1
U
0

γ
U
1

1
(s)ds




X
≤ C
θ
t
γ−θ+µ+v−1
U
1
− U
2

C
µ
{0}
([0,S];Y )
.
(1.54)
21
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Nhờ (1.38), ta cũng có




A

[s
ρ
V
1
(s) − V
2
(s)
W
+ V
1
(s) − V
2
(s)
Z
] ds
≤ C
θ
t
−θ−ρ+1

V
1
(s) − V
2
(s)
B
−ρ
{0}
((0,S];W )
+ V

2

C
µ
{0}
([0,S];Y )
+CS
1−µ−α−ρ

V
1
− V
2

B
−ρ
{0}
((0,S];W )
+ V
1
− V
2

B([0,S];Z)

,
0 < t ≤ S.
(1.56)
Tương tự chọn θ = β ta cũng có
U

2

B
−ρ
{0}
((0,S];W )
+ V
1
− V
2

B([0,S];Z)

,
0 < t ≤ S.
(1.57)
Cuối cùng, chọn θ = η, ta được
t
ρ
U
1
(t) − U
2
(t)
W
≤ C

U
0



B([0,S];Z)

,
0 < t ≤ S.
(1.58)
Từ đó, cộng vế với vế các đánh giá (1.56),(1.57) và (1.58), ta có
U
1
(t) − U
2
(t)
W(S)
≤ C

U
0

γ
+ 1

S
µ+v−1
U
1
− U
2

C
µ

1
(t) − V
2
(t)
F(S)
. Điều
này có nghĩa Ψ là ánh xạ co từ F(S) vào W(S).
22
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Bước 5 . Chứng minh tồn tại nghiệm địa phương. Đặt T
U
0
= S > 0 đủ nhỏ
sao cho Ψ : F(S) → W(S) là ánh xạ co. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm bất động
U ∈ F(S) của Ψ thỏa
U(t) = U
U
(t, 0)U
0
+
t

0
U
U
(t, s)F
U
(s)ds, 0 ≤ t ≤ T
U
0

. Thật vậy, ta có U
˜
U
(t, s)là toán tử tiến hóa tương ứng với họ toán
tử A
˜
U
(t) = A(
˜
U(t)), 0 ≤ t ≤ T
˜
U
được cho bởi công thức
˜
U(t) = U
˜
U
(t, 0)U
0
+
t

0
U
˜
U
(t, s)F (s)ds, 0 ≤ t ≤ T
˜
U
.

S : U(t) =
˜
U(t), ∀0 ≤ t ≤ S

,
và giả sử
˜
S < T
U
0
. Từ đó, ta có U(S) =
˜
U(
˜
S). Lặp lại suy luận tương tự
như trên với thời điểm ban đầu
˜
S và giá trị ban đầu U(S) =
˜
U(
˜
S), ta suy ra
U(
˜
S + τ) =
˜
U(
˜
S + τ) với hằng số τ > 0. Như vậy, sau hữu hạn bước, ta được
U(t) =












∂u
∂t
= a∆u − µ∇. [u(1 − u)∇χ(ρ)] − fe
−αχ(ρ)
u
−gu + h(1 − u) trong Ω × ( 0, ∞),
∂ρ
∂t
= b∆ρ + dρ(ρ + u − 1)(1 − ρ) − v(ρ −
1
2
) trong Ω × ( 0, ∞),
∂u
∂n
=
∂ρ
∂n
= 0 trong ∂Ω × ( 0, ∞),
u( x, 0) = u