BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 1. 01. 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Phản biện 3: PGS. TSKH. ĐỖ HỒNG TÂN
Viện Toán Học

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nước
họp tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
vào lúc giờ ngày tháng năm 2007
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
- Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của Giải tích,
với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912),
Banach (1922), Schauder (1930). Đây là một lý thuyết phong phú, đa dạng bao gồm
nhiều định lý điểm bất động của các ánh xạ như ánh xạ co, nén, ánh xạ không giãn,
ánh xạ tăng, v.v., cùng nhiều mở rộng của các nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ
đa trị, với sự phát triển không ngừng trong mối liên hệ chặt chẽ với nguyên lý biến
phân Ekland, lý thuyết KKM, lý thuyết bậc tôpô, v.v. Chính từ sự phát triển đó

Point Theory and Applications" năm 2007 của nhà xuất bản Springer.
Chính vì vậy, đề tài luận án của chúng tôi nghiên cứu là cần thiết và có ý nghĩa
về mặt lý thuyết và áp dụng.
1
Trong luận án này, chúng tôi áp dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lý
luận về tính compact thô ng dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm và các vấn đề liên
quan đến nghiệm cho ba bài toán thuộc lý thuyết phương trình tích phân, vi phân
và đạo hàm riêng sau đây: Bài toán liên quan đến phương trình tích phân phi tuyến
dạng Volterra; Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân hàm
cấp hai có đối số chậm; Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa
toán tử Kirchhoff trên màng tròn đơn vị.
Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chương chính (1-3), kết luận, danh
mục các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo. Kết quả chúng tôi
thu được cho ba bài toán nêu trên sẽ được trình bày lần lượt trong các chương 1, 2
và 3 với nội dung tóm tắt như sau:
Chương 1 trình bày một định lý điểm bất động kiểu Krasno sel’skii và định lý này
được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm
cận của phương trình tích phân dạng Volterra. Kết quả đạt được mạnh hơn những
kết quả trước đó, điều này được minh họa bởi một ví dụ, đồng thời vẫn còn đúng
trong trường hợp tổng quát. Mặt khác, tính compact, liên thông của tập nghiệm
của phương trình tích phân nói trên cũng được đề cập và một ví dụ được nêu ra về
phương trình có ít nhất hai nghiệm, khi đó sẽ có một lực lượng continuum của các
nghiệm chứa hai nghiệm này.
Trong chương 2, áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder và nguyên lý ánh
xạ co, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên
tục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phương trình vi phân hàm cấp hai có
đối số chậm. Cũng với phương pháp này, sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên
với điều kiện biên hỗn hợp và bài toán giá trị đầu cho phương trình đang xét cũng
được nghiên cứu. Đối với bài toán giá trị đầu, sự duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc
liên tục của nghiệm cũng được thiết lập và hơn nữa, với các điều kiện đã cho, tập

G(t, s, x(s))ds, t ∈ R
+
, (1.1.1)
ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|, R
+
= [0, ∞), q : R
+
→ E; f : R
+
×E →
E; G, V : ∆ ×E → E được giả sử là liên tục và ∆ = {(t, s) ∈ R
+
×R
+
, s ≤ t}. Đây
là bài toán tổng quát hoá các bài toán đã được nghiên cứu bởi Hoá-Schmitt (1994),
với f = 0, V (t, s, x) = V (s, x), và Avramescu-Vladimirescu (E. J. Diff. Equat., 2005,
126, 1-10), với E = R
d
và hàm V (t, s, x) tuyến tính theo biến thứ ba.
Chương 1 gồm 6 mục. Trong mục 1.2, một định lý điểm bất động kiểu Kras-
nosel’skii được chứng minh. Áp dụng định lý này, các mục 1.3, 1.4 nghiên cứu sự
tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Trong mục 1.5,
với giả thiết như ở mục 1.3, tập nghiệm của (1.1.1) được chứng tỏ là tập compact,
liên thông. Các ví dụ minh hoạ đã được nêu. Cuối cùng, trong mục 1.6, một sự mở
rộng của bài toán đang xét cũng được nghiên cứu. Chúng tôi chứng tỏ sự tồn tại
nghiệm của phương trình:
x(t) = q(t) + f(t, x(t), x(π(t))) +

t

→∞
|Cx|
n
|x|
n
= 0, ∀n ∈ N
∗
.
Khi đó U + C có điểm bất động.
1.3 Sự tồn tại nghiệm.
Giả sử X = C(R
+
; E) là không gian gồm tất cả các hàm liên tục từ R
+
vào E.
Trên X xét họ nửa chuẩn |x|
n
= sup
t∈[0,n]
{|x(t)|}, n ≥ 1. Khi đó (X, |x|
n
) là không
gian metric đầy đủ với metric d(x, y) =

∞
n=1
2
−n
|x−y|
n

{e
−h
n
(t−γ
n
)
|x(t)|},
γ
n
∈ (0, n) và h
n
> 0 là các số tuỳ ý. Hai họ nửa chuẩn |x|
n
, ||x||
n
là tương đương.
Ta thiết lập các g iả thiết sau:
(A
1
) Tồn tại hằng số L ∈ [0, 1) sao cho
|f(t, x) −f(t, y)| ≤ L|x −y|, ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R
+
.
(A
2
) Tồn tại hàm liên tục ω
1
: ∆ → R
+
thoả mãn

|G(t,s,x)|−ω
2
(t,s)
|x|
= 0,
đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuỳ ý của ∆.
Định lý 1.3.1. Giả sử (A
1
) − (A
4
) đúng. Khi đó phương trình (1.1.1) có ít nhất
một nghiệm trên [0, ∞).
1.4 Nghiệm ổn định tiệm cận.
Định nghĩa: Một hàm

ξ được gọi là một nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) nếu
với bất kỳ nghiệm x của (1.1.1), lim
t→∞
|x(t) −

ξ(t)| = 0.
Chú ý 1.1. (i) Trong định nghĩa trên, nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) không
nhất thiết là nghiệm của (1.1.1).
4
(ii) Nếu có một hàm

ξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1) thì mọi nghiệm x của
(1.1.1) đều là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1).
Trong mục này, giả sử (A
1


t
0
b(s)ds

t
0
2e
−

s
0
b(u)du
a
2
(s) ds = 0, (1.4.1)
ở đây
a(t) =
1
1 −L

t
0

ω
1
(t, s) + ω
4
(t, s)


)

+∞
0
|q(s)|
2
ds < +∞,

+∞
0
|f(s, 0)|
2
ds < +∞;
(H
2
) lim
t→∞

t
0
ω
3
(t, s)ds = 0,

+∞
0


s
0


+∞
0
g
2
i
(s)ds < +∞,

+∞
0
h
2
i
(s)ds < +∞.
Chú ý 1.3. Nếu g
i
: R
+
→ R
+
, i = 1, 4 liên tục đều thì H
3
(ii) : lim
t→∞
g
i
(t) = 0, được
suy ra từ H
3
(iii)

t
+ ζ
e
−2t
; f(t, x)(ζ) =
k
e
t
+ ζ
e
−2t
sin

π
2
(e
t
+ ζ)x(ζ)

;
V (t, s, x)(ζ) =
1
e
t
+ ζ
e
−2s
(e
s
+ ζ)|x(ζ)|; G(t, s, x)(ζ) =

2
(t, s) = 0, ω
3
(t, s) = ω
4
(t, s) =
1
2
e
−t
e
−2s
√
e
s
.
Hơn thế nữa, (H
1
) − (H
3
) đúng. Từ đó ta nhận được các kết quả như trong phát
biểu của hai định lý 1.3.1 và 1.4.1. Chẳng hạn, (1.1.1) có ít nhất một nghiệm là x,
với: x(t)(ζ) =
1
e
t
+ζ
, ∀ζ ∈ [0, 1], ∀t ∈ R
+
. Đây cũng chính là một nghiệm ổn định tiệm

6
Bổ đề 1.5.2. (Deimling, Nonlinear Functional Analysis, 1985) Giả sử E, F là các
không gian Banach, D là một tập con mở của E và f : D → F liên tục. Khi đó với
mỗi ε > 0, tồn tại một ánh xạ Lipschitz địa phương f
ε
: D → F sao cho
|f(x) − f
ε
(x)| < ε, ∀x ∈ D
và f
ε
(D) là tập con của bao lồi đóng của f(D).
Định lý 1.5.3. Giả sử (A
1
) −(A
4
) đúng. Khi đó tập hợp nghiệm của phương trình
(1.1.1) trên [0, ∞) khác rỗng, compact và liên thông.
Chú ý 1.5. Từ chứng minh của định lý 1.5.3 ta suy ra rằng nếu cho thêm giả thiết
G là Lipschitz địa phương thì (1.1.1) có duy nhất nghiệm.
Chú ý 1.6. Chúng tôi trình bày một ví dụ thoả các điều kiện của định lý 1.5.3 và
có ít nhất hai nghiệm, ở đây G không là Lipschitz địa phương. Trong trường hợp
này có một continuum các nghiệm khác nhau của (1.1.1) chứa hai nghiệm đã cho.
Ví dụ. Cho E = R. Xét phương trình (1.1.1), trong đó q(t) = 0; V (t, s, x) = −
3
2
x;
G(t, s, x) = x
1
3

.
Rõ ràng, (1.1.1) có các nghiệm x
1
, x
2
, với
x
1
(t) =


− e
−t
+
2
3

3
2
, nếu t > ln
3
2
,
0, nếu 0 ≤ t ≤ ln
3
2
,
và x
2
(t) = −x

f : R
+
×E ×E → E; G, V : ∆ ×E ×E → E là các hàm liên
tục và ∆ = {(t, s) ∈ R
+
×R
+
, s ≤ t}, đồng thời các hàm số π, σ, χ : R
+
→ R
+
cũng
là các hàm liên tục. Ta thành lập các giả thiết:
(I
1
) Tồn tại một hằng số L ∈ [0, 1) sao cho
|

f(t, x, u) −

f(t, y, v)| ≤
L
2

|x −y| + |u −v|

, ∀x, y, u, v ∈ E, ∀t ∈ R
+
.
(I

2
: ∆ → R
+
sao cho lim
|x|+|u|→∞
|G(t,s,x,u)|−ω
2
(t,s)
|x|+|u|
= 0,
đều theo (t, s) trên mỗi tập con bị chặn tuỳ ý của ∆.
(I
5
) 0 ≤ π(t) ≤ t, 0 ≤ σ(t) ≤ t, 0 ≤ χ(t) ≤ t, ∀t ∈ R
+
.
Định lý 1.6.1. Giả sử (I
1
) −(I
5
) đúng. Khi đó (1.6.1) có nghiệm trên [0, ∞).
Tiếp theo, ta xét sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.6.1) được định nghĩa
như trong mục 1.4. Ở đây, g iả sử (I
1
) −(I
5
) đúng và giả sử thêm
(I
6
) π(t) = t, ∀t ∈ R

t
0
p(s)ds

t
0
2e
−

s
0
p(u)du
e
2
(s) ds = 0, (1.6.2)
ở đây
p(t) =
2
(1 −L)
2

t
0

ω
1
(t, s) + ω
4
(t, s)
+ ω

3
(σ(t), s) + ω
3
(χ(t), s)

ds,
θ(t, s) =
1
1 −L

ω
1
(t, s) + ω
4
(t, s) + ω
1
(σ(t), s) + ω
4
(σ(t), s) + ω
1
(χ(t), s) + ω
4
(χ(t), s)

.
Khi đó tồn tại hàm ξ là nghiệm ổn định tiệm cận của (1.6.1). Hơn nữa mọi nghiệm
của (1.6.1) cũng là nghiệm ổn định tiệm cận.
Cuối cùng, ta cũng có kết quả sau đây về cấu trúc tập nghiệm của (1.6.1).
Định lý 1.6.3. Giả sử (I
1

(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, (2.1.1)
ở đây f : [0, 1] ×C × R → R là hàm liên tục, với một trong những điều kiện biên
u
0
= φ, u(1) = u(η), (2.1.2)
u
0
= φ, u(1) = α[u

(η) − u

(0)], (2.1.3)
hoặc với điều kiện đầu
u
0
= φ, u

(0) = 0, (2.1.4)
trong đó φ ∈ C, 0 < η < 1, α ∈ R.
Các bài toán này là sự tổng quát hoá bài toán ba điểm biên được nghiên cứu bởi
Ma (1998) và Sun (2004), trên cơ sở các bài toán ba điểm biên và hai điểm biên
được nghiên cứu bởi Ntouyas (1995) và Zhang (1995).
Chương 2 gồm có 5 mục. Mục 2.2 trình bày các ký hiệu và các kiến thức chuẩn bị.
Áp dụng định lý của Leray-Schauder "Nonlinear alternative", các định lý về sự tồn
tại nghiệm của bài toán ba điểm biên (2.1.1)-(2.1.2) được trình bày trong mục 2.3.
Ngoài ra, tính duy nhất nghiệm - dựa trên nguyên lý ánh xạ co và sự phụ thuộc
liên tục của nghiệm cũng được thiết lập. Các mục 2.4, 2.5 được xem như là một á p
dụng của các phương pháp đã sử dụng trong các chứng minh của mục 2.3, ở đây
chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.1.1) với điều kiện biên
hỗn hợp (2.1.3) hoặc với một điều kiện đầu (2.1 .4). Đối với bài toán giá trị đầu


1
0
(1−s)y(s)ds, t ∈ [0, 1].
Bổ đề 2.2.3. Cho tr ước η ∈ (0, 1) và α, β ∈ R. Giả sử y ∈ C[0, 1]. Khi đó bài toán
giá trị biên hỗn hợp
u

+ y(t) = 0, t ∈ (0, 1),
u(0) = 0, u(1) = α(u

(η) − u

(0)) + β,
có một nghiệm duy nhất được cho bởi:
u(t) = −

t
0
(t −s)y(s)ds −αt

η
0
y(s)ds + βt + t

1
0
(1 −s)y(s)ds, t ∈ [0, 1].
Bổ đề 2.2.4. Giả sử y ∈ C[0, 1]. Khi đó bài toán giá trị đầu
u

(η −s)p(s)ds < 1,
(H3)

1
0
[p(s) +q(s)]ds +
1
1−η

1
0
(1 −s)[p(s)+ q(s)]ds +
1
1−η

η
0
(η −s)[p(s)+ q(s)]ds < 1.
10
Khi đó bài toán giá trị biên (2.1 .1)-(2.1.2) có ít nhất một nghiệm.
Định lý 2.3.2. Cho f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục. Giả sử có các hàm số
không âm p, q, r ∈ L
1
[0, 1] và các hằng số thực k, l ∈ [0, 1] sao cho (H2) đúng và
(
˜
H1) |f(t, u, v )| ≤ p(t)u
k
+ q(t)|v|
l

=

1
0
q(s)ds +
1
1 −η

1
0
(1 −s)q(s)ds +
1
1 −η

η
0
(η −s)q(s)ds,
và Q(µ) =

0, 0 ≤ µ < 1,
1, µ = 1.
Khi đó bài toán giá trị biên (2.1.1) − (2.1 .2) có ít nhất một nghiệm.
Định lý 2.3.3. Giả sử f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục và thoả mãn điều
kiện Lipschitz trên [0, 1] × C × R như sau:
|f(t, u, v) −f(t, u, v)| ≤ θ(u − u + |v −v|),
với θ là hằng số không âm.
Nếu 2(1 +
2
1−η
)θ < 1, thì bài toán (2.1.1)-(2.1.2) có nghiệm duy nhất.

) −f(t, u, v, λ
2
)| ≤ L|λ
1
− λ
2
|, (2.3.4)
ở đây L là hằng số không âm.
Định lý 2.3.4. Giả sử f : [0, 1] × C × R × R → R là hàm liên tục. Nếu (2.3.2)
-(2.3.4) đúng thì nghiệm của bài toán (2.3.1) phụ thuộc liên tục vào λ.
11
2.4 Khảo sát bài toán giá trị biên "hỗn hợp" có đối số chậm (2.1.1)-(2.1.3).
Định lý 2.4.1. Cho f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục. Giả sử có các hàm
không âm p, q, r ∈ L
1
[0, 1] và các hằng số k, l ∈ [0, 1] sao cho
(M1) |f(t, u, v )| ≤ p(t)u
k
+ q(t)|v|
l
+ r(t), ∀(t, u, v) ∈ [0, 1] ×C × R,
(M2) 2

1
0
(1 −s)p(s)ds + |α|

η
0
p(s)ds < 1,

không âm p, q, r ∈ L
1
[0, 1] sao cho
(I1) |f(t, u, v )| ≤ p(t)u + q(t)|v| + r(t), ∀(t, u , v) ∈ [0, 1] × C × R,
(I2)

1
0
p(s)ds +

1
0
q(s)ds < 1.
Khi đó bài toán (2.1.1)-(2.1.4) có nghiệm.
Định lý 2.5.2. Cho f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục. Giả sử có các hàm
không âm p, q, r ∈ L
1
[0, 1] và các hằng số k, l ∈ [0, 1] sao cho
(Ĩ1) |f(t, u, v )| ≤ p(t)u
k
+ q(t)|v|
l
+ r(t), ∀(t, u, v) ∈ [0, 1] ×C × R,
(Ĩ2) Q(k)

1
0
p(s)ds + Q(l)

1


θ(u − u + |v − v|), (2.5.2)
12
ở đây

θ là hằng số không âm thỏa mãn
2

θ < 1; (2.5.3)
|f(t, u, v, λ
1
) −f(t, u, v, λ
2
)| ≤

L|λ
1
− λ
2
|, (2.5.4)
với

L là hằng số không âm, các giá trị λ
1
, λ
2
là tuỳ ý.
Định lý 2.5.4. Giả sử f : [0, 1]×C ×R×R → R là hàm liên tục. Nếu (2.5 .2)-(2.5.4)
đúng thì nghiệm của bài toán (2.5.1) phụ thuộc liên tục vào tham số λ.
Mệnh đề 2.5.5. Giả sử f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục và Lipschitz địa

+ q(t)|v|
l
+ r(t), ∀(t, u, v) ∈ [0, 1] × C × R,
(Ĩ2) Q(k)

1
0
p(s)ds + Q(l)

1
0
q(s)ds < 1,
với Q(µ) được cho như trong định lý 2.3.2.
Khi đó bài toán (2.1.1)-(2.1.4) có nghiệm duy nhất.
Từ cá c kết quả này, ta đi đến định lý sau.
Định lý 2.5.7. Giả sử f : [0, 1] ×C ×R → R là hàm liên tục và thoả các điều kiện
(I1)-(I2) hoặc (Ĩ1)-(Ĩ2). Khi đó tập hợp nghiệm của bài toán giá trị đầu (2.1.1)-
(2.1.4) khác rỗng, compact và liên thông.
 Ta c ó lưu ý rằng, phương pháp điểm bấ t động và các kỹ thuật trong hai
chương 1 và 2 có thể vận dụng để khảo sát bài toán giá trị đầu cho phương trình
vi phân hàm cấp một có chậm. Chẳng hạn trong [N10], áp dụng định lý Schauder
và định lý ánh xạ co , sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự tồn tại nghiệm ổn định
tiệm cận của bài toán này được chứng minh. Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn cũng
được chỉ ra nhờ áp dụng hệ quả của định lý điểm bất động Schauder- Tycho noff
và một định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị. Mặt khác, tiếp tục áp dụng định
lý Krasnosel’skii -Perov, tính compact và liên thông của tập hợp nghiệm cũng được
xem xét.
13
Chương 3
ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO BÀI TOÁN HỖN HỢP CHO

||
2
0

(u
rr
+
1
r
u
r
)
= f(r, t, u, u
r
), 0 < r < 1, 0 < t < T,


lim
r→0
+
√
ru
r
(r, t)


< +∞, u
r
(1, t) + hu(1, t) = 0,
u(r, 0) = u

t
||
2
0
=
1

0
r|u
t
(r, t)|
2
dr và các hàm số B, f, u
0
, u
1
là cho trước. Đây là bài toán tổng quát
hoá của bài toán được nghiên cứu bởi Long [Electronic J. Diff. Equat., 2005, 138,
pp. 1-18], cũng là sự tiếp nối của các công trình liên quan đến phương trình sóng
của Long và các tác giả . Trong các chứng minh về tồn tại nghiệm của bài toán này,
một hệ quả của nguyên lý ánh xạ co sau đây được sử dụng:
Định lý Banach: (Deimling, Nonlinear Functional Analysis, 1985)
Cho (Ω, d) là một không gian metric đầy đủ và toán tử F : Ω → Ω. Nếu tồn tại
k ∈ (0, 1) và số tự nhiên m ≥ 1 sao cho d(F
m
x, F
m
y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ Ω thì
F có duy nhất một điểm bất động z và với mỗi x ∈ Ω cho trước, F
n


d
1
, trong đó b
0
> 0, p > 1,
và d
0
,

d
0
, d
1
,

d
1
≥ 0 là các hằng số cho trước. Ở đây, phương trình (3.1.1)
1
được liên
kết với một dãy quy nạp phi tuyến {u
m
}. Khi đó, sự hội tụ bậc hai của dãy {u
m
} về
nghiệm của (3.1.1) sẽ được nhận. Cuối cùng, với B ∈ C
N+1
(R
4

u
ε
(r, t) của bài toán (3.1.1), mà trong đó f được thay bởi f + εf
1
và B được thay
bởi B + εB
1
. Các kết quả trình bày ở đây được công bố trong [N5, N6] và gửi công
bố trong [N7].
3.2 Các không gian hàm và kết quả chuẩn bị.
Đặt Ω = (0, 1). Ta bỏ qua định nghĩa của không gian hàm thông dụng C
m
(Ω).
Với mỗi hàm v ∈ C
0
(Ω) ta định nghĩa v
0
=


1
0
rv
2
(r)dr

1/2
và định nghĩa V
0
là

0
và
 · 
1
có thể được định nghĩa lần lượt từ các tích vô hướng u, v =

1
0
ru(r)v(r)dr
và u, v + u

, v

. Khi đó V
0
và V
1
là các không gian Hilbert với các tích vô hướng
tương ứng như trên. Mặt khác, V
1
được nhúng liên tục và nằm trù mật trong V
0
.
Đồng nhất V
0
với V

0
(đối ngẫu của V
0

2
(1) ≥ v
2
0
,
(ii) |v(1)| ≤ K
1
v
1
,
(iii)
√
r |v(r)| ≤ K
2
v
1
, ∀r ∈ Ω.
Chú ý 3.1. Ta có lim
r→0
+
√
rv(r) = 0, ∀v ∈ V
1
, xem [Adams, Sobolev Spaces, 1975].
Mặt khác, với 0 < ε < 1, vì H
1
(ε, 1) → C
0
([ε, 1]) và
√

ru

(r)v

(r)dr, ∀u, v ∈ V
1
. (3.2.1)
Nhờ định lý Lax-Milgram, tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục A :
V
1
→ V

1
sao cho a(u, v) = Au, v với mọi u, v ∈ V
1
. Ta có các bổ đề sau.
Bổ đề 3.2.3. Dạng song tuyến tính đối xứng a(·, ·) định nghĩa bởi (3.2.1) là ánh xạ
liên tục trên V
1
× V
1
và là ánh xạ bức, nghĩa là với mọi u, v ∈ V
1
,
(i) |a(u, v)| ≤ C
1
u
1
v
1

≤ λ
j
↑ +∞ khi j → ∞,
(ii) a( w
j
, v) = λ
j
 w
j
, v với mọi v ∈ V
1
và j ∈ N.
Hơn nữa hệ {w
j
/

λ
j
} cũng là cơ sở trực chuẩn Hilbert của V
1
tương ứng với tích
vô hướng a(·, ·).
Mặt khác hàm w
j
cũng thoả mãn bài toán giá trị biên






j
dr
(r)




< +∞,
d w
j
dr
(1) + h w
j
(1) = 0.
Với mỗi v thuộc C
2
(Ω), ta đặt v
2
=

||v||
2
0
+ ||v

||
2
0
+ ||Av||
2

là compact.
Bổ đề 3.2.6. Với mọi v ∈ V
2
, ta có
(i) v


L
∞
(Ω)
≤
1
√
2
Av
0
,
(ii) v


0
≤

3
2
Av
0
,
(iii) v
2

2
1
v
0
.
Chứng minh bổ đề 3.2.4 có thể tìm thấy trong [Showalter, Hilbert space methods
for partial differential equations, Electronic J. Diff. Equat., Monograph 01, 1994],
bổ đề 3.2.3 dễ dàng chứng minh, còn các bổ đề còn lại có thể tìm thấy trong [Bình,
Định và Long, Ma th. Comp. Modelling, 34 (2001), pp. 541-556].
Với mỗi không gian Banach X, ta sẽ ký hiệu chuẩn trên X là ||.||
X
và X

là đối
ngẫu của X. Ký hiệu L
p
(0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian Banach gồm tất cả các
hàm đo được u : (0, T ) → X sa o cho
u
L
p
(0,T ;X)
=


T
0
u(t)
p
X

∂
2
u
∂t
2
(r, t),
∂u
∂r
(r, t),
∂
2
u
∂r
2
(r, t).
16
3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Trong mục này, bài toán (3.1.1) được xét với các giả thiết:
(H
1
) u
1
∈ V
1
và u
0
∈ V
2
,
(H

∞
(0, T ; V
2
) : ˙v ∈ L
∞
(0, T ; V
1
) và ¨v ∈ L
2
(0, T ; V
0
),
với v
L
∞
(0,T ;V
2
)
, ˙v
L
∞
(0,T ;V
1
)
, ¨v
L
2
(0,T ;V
0
)


¨u
m
(t), v + b
m
(t)a(u
m
(t), v) = F
m
(t), v, ∀v ∈ V
1
,
u
m
(0) = u
0
, ˙u
m
(0) = u
1
,
(3.3.2)
ở đây



b
m
(t) = B


m−1
(t)).
(3.3.3)
Khi đó ta có các định lý sau.
Định lý 3.3.1. Giả sử (H
1
) −(H
3
) đúng. Khi đó tồn tại hằng số M > 0 phụ thuộc
vào u
0
, u
1
, B, h và hằng số T > 0 phụ thuộc vào u
0
, u
1
, B, h, f, sao cho với u
0
≡ 0,
tồn tại một dãy quy nạp tuyến tính {u
m
} ⊂ W
1
(M, T ) xác định bởi (3.3.2) - (3.3.3).
Ý tưởng chứng minh định lý này dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin được giới
thiệu bởi Lions (Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-
linéaires, 1969), trước hết là thiết lập dãy xấp xỉ Ga lerkin {u
(k)
m

j
, (3.3.4)
17
trong đó c
(k)
mj
thoả mãn hệ phương trình vi phân tuyến tính






··
u
(k)
m
(t), w
j

+ b
m
(t)a

u
(k)
m
(t), w
j


0k
=
k

j=1
α
(k)
j
w
j
→ u
0
mạnh trong V
2
,
u
1k
=
k

j=1
β
(k)
j
w
j
→ u
1
mạnh trong V
1

1
(T ) = {v ∈ L
∞
(0, T ; V
1
) :
·
v ∈ L
∞
(0, T ; V
0
)}.
Hơn nữa, ta có ước lượng sau:
u
m
− u
L
∞
(0,T ;V
1
)
+



·
u
m
−
·

(Ω ×R
+
× R
2
). Kết quả thu được ở
trên không cần đến giả thiết f ∈ C
1
(Ω ×R
+
× R
2
).
Chú ý 3.3. Kết quả thu được cho thấy sự hội tụ và đánh giá sai số của dãy quy
nạp tuyến tính {u
m
} chỉ là cấp 1. Để tăng tốc độ hội tụ, chúng tôi sẽ tìm kiếm một
điều kiện đủ cho một bài toán kém tổng quát hơn, dĩ nhiên bằng mộ t thuật giải
tinh tế hơn với một dãy lặp được thiết lập kiểu khác theo cách trình bày dưới đây.
3.4 Sự hội tụ cấp hai với f = f(r, u), B = B(z).
Trong mục này, bài toán (3.1.1) được xét với f = f(r, u), B = B(z) và các điều
kiện như sau:
18
(H
4
) B ∈ C
1
(R
+
) sao cho tồn tại các hằng số b
0

p−1
+

d
1
, ∀z ≥ 0.
(H
5
) f ∈ C
2
(Ω ×R).
Với các hằng số M > 0 và T > 0 thích hợp sẽ được chọn sau, ta xây dựng dãy lặp
{u
m
} bởi quy tắc sau: Cho trước u
0
≡ 0, giả sử rằng
u
m−1
∈ W
1
(M, T ), (3.4.1)
và liên kết bài toán (3.1.1) với bài toán biến phân: Tìm u
m
∈ W
1
(M, T ) (m ≥ 1)
sao cho



(t) = B

∇u
m
(t)
2
0

,
F
m
(r, t) = f
m
(r, t, u
m
) = f(r, u
m−1
) + (u
m
− u
m−1
)
∂f
∂u
(r, u
m−1
),
(3.4.3)
với f
m

Định lý 3.4.2. Giả sử (H
1
), (H
4
) − (H
5
) đúng. Khi đó tồn tại các hằng số M > 0
và T > 0 sao cho
(i) Bài toán (3.1.1) có duy nhất một nghiệm yếu u ∈ W
1
(M, T ).
(ii) Mặt khác, dãy quy nạp phi tuyến {u
m
} xác định bởi (3.4.2), (3.4.3) hội tụ cấp
hai về nghiệm u của bài toán (3.1.1) mạnh trong không gian W
1
(T ) theo nghĩa
u
m
− u
W
1
(T )
≤ C u
m−1
− u
2
W
1
(T )

, trong đó

d
0
> 0 là một
hằng số cho trước.
3.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé.
Trong mục này, ngoài giả thiết (H
1
) −(H
3
), ta thành lập thêm các giả thiết sau
(H
6
) B
1
∈ C
1
(R
4
+
) với tính chất B
1
(t, ξ, η, λ) ≥ 0 với mọi t, ξ, η , λ ≥ 0,
(H
7
) f
1
thoả giả thiết (H
3



u
tt
− B
ε
(t, u
2
0
, u
r

2
0
, u
t

2
0
)

u
rr
+
1
r
u
r

= F

F
ε
(r, t, u, u
r
) = f(r, t, u, u
r
) + εf
1
(r, t, u, u
r
),
B
ε

t, u
2
0
, u
r

2
0
, u
t

2
0

= B



.
Định lý 3.5.1. Với các giả thiết (H
1
) − (H
3
), (H
6
), (H
7
), tồn tại các hằng số
M > 0 và T > 0 sao cho với mỗi ε, |ε| ≤ 1, bài toán (P
ε
) có duy nhất một nghiệm
yếu u
ε
∈ W
1
(M, T ) thoả mãn một đánh giá tiệm cận
u
ε
− u
0

L
∞
(0,T ;V
1
)
+

yếu u
ε
của bài toán (P
ε
). Ta sử dụng thêm các ký hiệu:
f[u] = f(r, t, u, u
r
), B[u] = B(t, ||u(t)||
2
0
, ||u
r
(t)||
2
0
, ||
·
u(t)||
2
0
);
f = f(r, t, u, u
r
), D
1
f = ∂f/∂r, D
3
f = ∂f/∂u, D
4
f = ∂f/∂u

(H
9
) f ∈ C
N+1
(
Ω ×R
+
× R
2
), f
1
∈ C
N
(Ω ×R
+
× R
2
).
20
Gọi u
0
∈ W
1
(M, T ) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (P
0
) ứng với ε = 0. Giả sử
u
1
, u
2

F
i
[u
i
], 0 < r < 1, 0 < t < T,




lim
r→0
+
√
ru
ir
(r, t)




< +∞, u
ir
(1, t) + hu
i
(1, t) = 0,
u
i
(r, 0) =
·
u

0
], ρ
0
[B] = B[u
0
] và π
i
[f] = π
i
[f, u
0
, u
1
, , u
i
], ρ
i
[B] = ρ
i
[B, u
0
, u
1
, , u
i
],
1 ≤ i ≤ N được định nghĩa theo công thức quy nạp sau:
π
i
[f] =

j=0
(i −k −j){ρ
k
[D
2
B] u
j
, u
i−k−j

+ ρ
k
[D
3
B]

u
jr
, (u
i−k−j
)
r

+ ρ
k
[D
4
B]

·













··
v + B
ε
[v + U]Av = F
ε
[v + U] − F
ε
[U]
−(B
ε
[v + U] − B
ε
[U] ) AU + E
ε
(r, t), 0 < r < 1, 0 < t < T,




]) AU −
N

i=1
ε
i

F
i
[u
i
]. (3.5.6)
Khi đó ta có hai bổ đề sau.
21
Bổ đề 3.5.2. Các hàm π
i
[f], ρ
i
[B], 0 ≤ i ≤ N định nghĩa như trên thoả
π
i
[f] =
1
i!
∂
i
∂ε
i
(f[U])



K sao cho
E
ε

L
∞
(0,T ;V
0
)
≤

K |ε|
N+1
, (3.5.9)
ở đây

K là hằng số hoàn toàn được xác định.
Ngoài ra, dễ dàng chứng minh được:
Bổ đề 3.5.4. Cho dãy {ζ
m
} thoả mãn
ζ
m
≤ σζ
m−1
+ δ với mọi m ≥ 1, ζ
0
= 0, (3.5.10)
trong đó 0 ≤ σ < 1, δ ≥ 0 là các hằng số cho trước. Khi đó

ε
i
·
u
i
||
L
∞
(0,T ;V
0
)
+ ||u
ε
−
N

i=0
ε
i
u
i
||
L
∞
(0,T ;V
1
)
≤ C
T
|ε|

lý luận về tính compact thông dụng để khảo sát các bài toán thuộc lý thuyết phương
trình vi phân, tích phân và đạo hàm riêng. Đó là phương trình tích phân phi tuyến
dạng Volterra ở chương 1, bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi
phân hàm cấp hai có đối số chậm ở chương 2 và ở chương 3 là bài toán hỗn hợp cho
phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff trên màng tròn đơn vị.
Những kết quả mới thu được trong luận án bao gồm:
1. - Chứng minh một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii.
- Áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii ở trên để chứng minh sự tồn
tại nghiệm và hơn nữa là sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích
phân phi tuyến dạng Volterra sau đây
x(t) = q(t) + f(t, x(t)) +

t
0
V (t, s, x(s))ds
+

t
0
G(t, s, x(s))ds, t ∈ R
+
.
- Chứng tỏ tập nghiệm của phương trình tích phân đang xét là tập compact, liên
thông.
- Minh họa các kết quả thu được qua các ví dụ.
- Cho các điều kiện để nhận được sự tồn tại nghiệm, s ự tồn tại nghiệm ổn định
tiệm cận và tính compact, liên thông của tập nghiệm của phương trình tích phân
phi tuyến dạng Volterra trong trường hợp tổng quát hơn như sau
x(t) = q(t) + f(t, x(t), x(π(t))) +


, u

(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1,
u
0
= φ, u(1) = α[u

(η) − u

(0)],
với φ ∈ C, 0 < η < 1, α ∈ R.
- Chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục
23