ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Hữu Đạt

ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
KHÔNG TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Hữu Đạt

ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
KHÔNG TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS Hoàng Quốc Toàn
Khoa Toán - Cơ - Tin, Đại học KHTN, ĐHQG Hà Nội


học Quốc gia Hà Nội, đã dạy bảo, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tác
giả hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới những người thân, gia đình, ban
bè đồng nghiệp, đã luôn động viên, ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện
thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn.

Hà Nội, năm 2014
Học viên
Vũ Hữu Đạt

ii


Bảng ký hiệu
Rn là không gian thực n chiều.
Ω là miền bị chặn có biên trơn trong Rn .
∂Ω là biên của Ω.
α = (α1 , ..., αn ), αi ∈ N(i = 1, ..., n) được gọi là đa chỉ số.
|α| = α1 + ... + αn được gọi là cấp của đa chỉ số α.
u X chuẩn của u ∈ X, X là không gian Hilbert.
u, v : tích trong của u và v trong không gian Hilbert.
∂ |α| u
Dα u = α1 α2
.
∂x1 ∂x2 ...∂xαnn
Dk u = {Dα u : |α| = k}.
∂u
∂u ∂u
;

u W01,p = ∇u Lp (Ω) .
1 1
W −1;q (Ω)không gian đối ngẫu của W01,p (Ω), + = 1.
p q
1,p
1
H0 (Ω) : không gian hàm W0 (Ω) với p = 2.
H −1 (Ω) : không gian W −1,q (Ω) với p = q = 2.

iii


Mục lục
1 Cơ
1.1
1.2
1.3

sở toán học
Sự hội tụ yếu trong không gian Banach . . . . . . . . .
Sự hội tụ đơn điệu và hội tụ trội . . . . . . . . . . . . .
Không gian Holder và Không gian Sobolev . . . . . . .
1.3.1 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . .
1.4 Toán tử −∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Một số định lý điểm bất động cơ bản . . . . . . . . . .
1.5.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . .
1.5.2 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng yếu . .
1.5.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng mạnh .

1
1
2
3
3
4
6
7
12
13
15
16
18
21

23
23

28

32


MỤC LỤC

2.4

Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho
bài toán Neumann đối với một lớp phương trình elliptic
cấp 2 phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i) Nếu un → u thì un

u;

ii) Một dãy hội tụ yếu thì bị chặn.
iii) Nếu un

u thì ||u|| ≤ lim inf ||un ||.
n→∞

Định lý 1.1.3.
Cho X là không gian Banach phản xạ và dãy {un } bị chặn trong X. Khi
đó tồn tại một dãy con {unk } của {un } và u ∈ X sao cho dãy {unk } hội
tụ yếu đến u trong X.
Nhận xét 1.1.4.
1


Chương 1. Cơ sở toán học

1. Mọi dãy bị chặn trong không gian Hilbert đều chứa dãy con hội tụ
yếu.
1 1
+ = 1. Một phiếm hàm
p q
tuyến tính f trên Lp (Ω) có thể biểu diễn dưới dạng

2. Xét X = Lp (Ω), ta có X ∗ = Lq (Ω) với

f gdx, ∀g ∈ Lq (Ω)


Định lý 1.2.1. Bổ đề Fatou
Giả sử {fm } là khả tổng, không âm và fm −→ f h.k.n. Khi đó
f dx ≤ lim inf

fm dx

m→∞

Rn

Rn

2


Chương 1. Cơ sở toán học

Định lý 1.2.2. Định lý hội tụ đơn điệu
Giả sử dãy hàm {fm } là đo được và không giảm. Khi đó nếu f1 ≥ 0 hoặc
f1 khả tổng thì
fm dx

lim fm dx = lim

m→∞

m→∞
Rn


Ω

iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ của u : Ω −→ R là
[u]C0γ (Ω) =

|u(x) − u(y)|
|x − y|γ
x,y∈Ω,x=y
sup
3


Chương 1. Cơ sở toán học

và chuẩn Holder bậc γ của u : Ω −→ R là
||u||C0γ (Ω) = ||u||C(Ω) + [u]C0γ (Ω)
Định nghĩa 1.3.2.
Không gian C k,γ (Ω) gồm tất cả các hàm u : Ω −→ R sao cho các đạo
hàm riêng cấp k của u bị chặn và liên tục Holder bậc γ. Tức là
||Dα u||C(Ω) +

C k,γ (Ω) = {u ∈ C kγ (Ω) :
|α|≤k

[Dα u]C 0,γ (Ω) < ∞}
|α|=k

Định lý 1.3.3.
Không gian Holder C k,γ (Ω) là không gian Banach với chuẩn C k,γ (Ω).
Định nghĩa 1.3.4.

ess sup |Dα u|
với p = ∞


|α|≤k

Ω

4


Chương 1. Cơ sở toán học

ii) Cho dãy {un }, u ∈ W k,p (Ω). Khi đó {un } gọi là hội tụ đến u trong
W k,p (Ω) nếu
lim ||un − u||W k,p (Ω) = 0
n→∞

Kí hiệu un −→ u trong W k,p (Ω).
Định lý 1.3.8.
i) Với mỗi k = 1, 2, ... và 1 ≤ p < ∞, không gian Sobolev W k,p (Ω) là
không gian Banach.
ii) Không gian Sobolev W k,p (Ω) là không gian phản xạ khi và chỉ khi
1 < p < ∞. Hơn nữa khi đó W k,p (Ω) là không gian Hilbert với tích
vô hướng xác định bởi
Dα uDα vdx

(u, v)W k,p (Ω) =
|α|≤k Ω


Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz, k ∈ N, 1 ≤ p < ∞.
Khi đó:
np
thì ta có
i) Nếu k.p < n, 1 ≤ q ≤
n − kp
W k,p (Ω) → Lp (Ω)
np
và phép nhúng là compact nếu q

∂Ω

Toán tử −∆

Ta kí hiệu −∆ là toán tử:
−∆ : Ho1 (Ω) −→ H −1 (Ω)

(1.1)

xác định theo công thức:
(−∆u, v) = ( u,

v), ∀u, v ∈ Ho1 (Ω) (1.2)

Ta chú ý rằng với ∀u, v ∈ C 2 (Ω) thì
u(x)

(−∆u, v) =

v(x)dx

Ω
n

∂u
∂v
(x).
(x)dx
∂xi
i=1 Ω ∂xi

Từ đó suy ra :∆u =
2 là toán tử Laplace
i=1 ∂xi
Cho λ1 ∈ R xác định bởi
n

| u(x)|2 dx
λ1 =

Ω

inf

|u(x)|2 dx

u∈H 1 (Ω),u=0
Ω

7


Chương 1. Cơ sở toán học

| u(x)|2 dx :

Hay λ1 = inf
Ω

|u(x)|2 dx = 1, u ∈ H 1 (Ω)
Ω


là toán tử xác định dương, tự liên hợp và compact (do phép nhúng
Ho1 (Ω) → L2 (Ω) là compact). Áp dụng định lý Courant Fischer suy ra
toán tử A có dãy vectơ riêng {ui } trong Ho1 (Ω), tương ứng với dãy các
giá trị riêng {µi } đơn điệu giảm khi i −→ +∞, nghĩa là:
µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µi ≥ · · · > 0, µi −→ 0(i −→ +∞)
và µ1 = max (Au, u) : ||u| |Ho1 (Ω) = 1, u ∈ Ho1 (Ω) .
Nếu với mỗi λ có một hàm u = 0, u ∈ Ho1 (Ω) sao cho:
u(x)
Ω

u(x)v(x)dx, v ∈ Ho1 (Ω)

v(x)dx = λ

(1.4)

Ω

thì λ là một giá trị riêng và u là một hàm riêng tương ứng của bài toán
giá trị riêng

 −∆u(x) = λu(x) trong Ω
(1.5)
u=
0
trên ∂Ω
khi đó 1.4 tương ứng với bài toán giá trị riêng µ = Au trong đó µ =
Do đó giá trị riêng của bài toán (2.5) là một dãy tăng
0 < λ1 < λ2 ≤ · · · ≤ λi ≤ . . .


∀u ∈ H01 (Ω)

Ω

Hay
||u||L2 (Ω) ≤

1
||u| |H01 (Ω) ,
λ1

∀u ∈ H01 (Ω)

1
Và √ là hằng số nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên nên nó là
λ1
hằng số nhúng tốt nhất của phép nhúng H01 (Ω) → L2 (Ω).
Định lý 1.4.1.
Toán tử −∆ : H01 (Ω) → H −1 (Ω) là ánh xạ 1 − 1 lên.
Chứng minh.
Theo định nghĩa toán tử −∆ ta có:
(∆u, u) = (Du, Du) = ||Du||2L2 (Ω) ≥ k||u||2L2 (Ω) , ∀u ∈ H01 (Ω).
Do đó
k||u||2L2 (Ω) ≤ (−∆u, u) ≥ ||∆u||H −1 (Ω) .||u||H 1 (Ω) .
Suy ra
||u||H 1 (Ω) ≤ C||∆u||H −1 (Ω) , ∀u ∈ H01 (Ω)

(1.6)


Ký hiệu T : H −1 (Ω) → H01 (Ω) là toán tử nghịch đảo của toán tử −∆.
Giả sử u, v ∈ H01 (Ω). Ta đặt
Φ = −∆u, ψ = −∆v.
Ta có
(T (Φ), ψ) = (T (−∆u), −∆v) = (u, −∆v)
= (Du, Dv) = (−∆u, v)
= (Φ, T ψ), ∀Φ, ψ ∈ L2 (Ω).
Điều này chứng tỏ hạn chế của toán tử T trên không gian L2 (Ω) là toán
tử liên hợp, tức là:
T = T∗
Mặt khác phép nhúng H01 (Ω) → L2 (Ω) là compact nên toán tử T hạn
chế trên L2 (Ω)
T : L2 (Ω) → H01 (Ω) → L2 (Ω)
10


Chương 1. Cơ sở toán học

là toán tử compact, tự liên hợp trong L2 (Ω). Ngoài ra ta có
(T ψ, ψ) = (u, −∆u) ≥ k||u||2H01 (Ω)
. Suy ra (T ψ, ψ) ≥ 0, ∀ψ ∈ H −1 (Ω)
Do đó hạn chế của toán tử T trong L2 (Ω) là toán tử tự liên hợp, compact,
xác định dương. Suy ra, trong L2 (Ω) tồn tại một cơ sở trực giao đếm
được gồm toàn các hàm riêng {uj }∞
j=1 của T tương ứng với các giá trị
∞
riêng {µj }j=1 trong đó µj > 0 và giảm dần về 0 khi j → ∞. Tức là
T uj = µj uj , µj → 0 khi j → ∞.

(1.7)



Chương 1. Cơ sở toán học

Ta sẽ chứng minh ||T ||L2 (Ω) = µ1 . Thật vậy ta có:
||T ||L2 (Ω) = sup , u = 0 → ||T u||L2 (Ω) ≤ ||T ||L2 (Ω) .||u||L2 (Ω) .
u∈L2 (Ω)

Với u ∈ L2 (Ω), θ =

(u, uj )uj , ta có:
j

Tu =

(u, uj )T uj =
j

µj (u, uj )uj
j

Suy ra:
||T u||2L2 (Ω) =

µ2j |(u, uj )|2 ≤ µ21
j

|(u, uj )|2
j


Trong rất nhiều trường hợp quan trọng, việc giải một phương trình được
12


Chương 1. Cơ sở toán học

quy về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn
nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X, y là một
phần tử cố định của X thì nghiệm của phương trình Sx = y chính là
điểm bất động của ánh xạ T xác định bởi T x = Sx + x − y, ∀x ∈ X, Sau
đây ta sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động.

1.5.1

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi
nhất là nguyên lý ánh xạ co Banach. Trước khi phát biểu nguyên lý nổi
tiếng này, chúng ta sẽ định nghĩa ánh xạ co:
Định nghĩa 1.5.1.
Một ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, ρ)
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho:
ρ(T x, T y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X

Như vậy ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển
nhiên là liên tục
Định lý 1.5.2. Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)
Cho (X,d) là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ co trong
X. Khi đó tồn tại x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗
Ngoài ra, ∀x0 ∈ X ta có T n x0 → x∗ khi n → ∞.


αn
d(y, T y)
...)d(y, T y) =
1−α

Vì α < 1 nên αn → 0, n → ∞ điều này chỉ ra rằng {T n y} là dãy Cauchy.
Do d là đầy đủ vì thế T n y → x∗ với x∗ ∈ X
Vì T liên tục, ta có T n+1 y = T (T n y) → T x∗
Nhưng {T n+1 y} là dãy con {T n y} nên T x∗ = x, tức là T có điểm bất
động x∗ . Ta thấy rằng mỗi y ∈ X, giới hạn của dãy {T n y} tồn tại và
có một điểm bất động, mà T có nhiều nhất một điểm bất động nên mọi
dãy {T n y} đều hội tụ đến cùng một điểm.
Ta thấy rằng từ
d(T n y, T n+p y) ≤

αn
d(y, T y), ∀p > 0
1−α

αn
d(y, T y). Sai số của
n→∞
1−α
bước lặp thứ n khi xuất phát từ y ∈ X được hoàn toàn xác định bởi
hằng số co α và khoảng cách ban đầu d(y, T y).
Nguyên lý ánh xạ co Banach có một dạng địa phương hữu ích liên quan
đến hình cầu mở B trong một không gian mêtric đầy đủ X và một ánh
xạ co từ B → X sao cho nó không dịch chuyển tâm hình cầu quá xa.
Định lý được chứng minh.

sao cho
Thật vậy, giả sử ngược lại tồn tại hàm trơn w thỏa mãn (1.10) và (1.11).
Gọi w là ánh xạ đồng nhất trên B, w(x) = x, ∀x ∈ B
Theo (1.11) ta có w = w, ∀x ∈ ∂B. Vì định thức hàm Laragang vô hiệu
nên:
detBwdx =
detB wdx = |B| = 0
(1.12)
B

B

Mặt khác, từ (1.10) ta có |w|2 = 1. Bằng cách lấy đạo hàm 2 vế ta có
(Dw)T w = 0

(1.13)

Vì |w| = 1 nên từ (1.13) suy ra 0 là một giá trị riêng của (Dw)T với mỗi
x ∈ B. Do đó detBw = 0 trong B. Điều này mâu thuẫn với (1.12).
Vậy không tồn tại hàm trơn w thỏa mãn (1.10) và (1.11)
2. Tiếp theo ta chỉ ra rằng không có hàm liên tục nào thỏa mãn (1.10)
và (1.11).
Thật vậy, giả sử ngược lại tồn tại hàm w thỏa mãn (1.10) và (1.11) liên
tục. Khi đó thác triển liên tục w bằng cách đặt
w(x) = x, ∀x ∈ Rn \B
Chú ý rằng w(x) = 0, ∀x ∈ Rn . Cố định ε đủ nhỏ sao cho w1 = ηε − w
thỏa mãn w1 (x) = 0, ∀x ∈ Rn
Vì ηε (y) chỉ phụ thuộc vào y nên dễ dàng thấy rằng w1 (x) = x nếu
2w1
x ∈ Rn \B[0, 2] khi đó đặt w2 =

Nếu X có tính chất điểm bất động và Y đồng phôi với X thì Y cũng có
tính chất điểm bất động.
Chứng minh. (bổ đề)
Giả thiết g là ánh xạ liên tục bất kỳ từ Y vào Y . Ta chứng minh g có
điểm bất động.
Giả sử h là phép đồng phôi từ X vào Y . Khi đó h−1 ◦ g ◦ h : X → X là
ánh xạ liên tục.
Vì X có tính chất điểm bất động nên ∃x0 ∈ X sao cho h−1 ◦ g ◦ h(x0 ) =
x0 ⇒ g ◦ h(x0 ) = h(x0 ) hay g(y) = y với y = h(x0 ). Suy ra g có điểm
bất động
Bổ đề được chứng minh.
Chứng minh. (định lý)

16


Chương 1. Cơ sở toán học

+) Vì C ∈ Rn bị chặn nên C ⊂ B ∗ là hình cầu đóng nào đó, B ∗ đồng phôi
với B = B[0, 1] ⊂ Rn .B có tính chất điểm bất động (theo nguyên lý
Brouwer dạng yếu) nên theo bổ đề, B ∗ cũng có tính chất điểm bất
động.
+) Vì C lồi, đóng, bị chặn nên với mọi x ∈ Rn , x − C lồi đóng bị chặn
trong Rn mà Rn là không gian Hilbert nên tồn tại duy nhất y ∈ C
sao cho ||x − y|| = inf{||x − u||, u ∈ C}. Đặt P x = y
+) Ta chứng minh P là ánh xạ không dãn. Lấy z cố định ∈ C. Ta xác
định hàm ψ : [0, 1] → R+ bởi:
ψ(t) = ||x − (1 − t)y − tz||2 = ||x − y||2 + 2t(y − x, z − y) + t2 ||y − z||2
Ta có
ψ(0) = ||x − y||2 ≤ ψ(t), ∀t ∈ [0, 1]



Chương 1. Cơ sở toán học

Định lý được chứng minh.

1.5.4

Định lý điểm bất động Schauder

Định lý 1.5.8. Định lý xấp xỉ các toán tử compact
Giả sử X, Y là các không gian Banach, M là một tập con bị chặn của
X. T : X → Y là ánh xạ đã cho. Khi đó T là compact khi và chỉ khi các
điều kiện sau thỏa mãn:
Với mỗi n ∈ N tồn tại một toán tử compact Pn : M → Y sao cho:
sup ||T (x) − Pn (x)|| ≤ 1/n
x∈M

và
dim(span{Pn (M )}) < ∞
Trước khi chứng minh ta nhớ lại tính chất sau của các tập compact
tương đối trong không gian Banach.
Giả sử M ⊂ X, X là một không gian Banach. Tập các điểm x1 , x2 , . . . , xn ∈
M được gọi là một − lưới cho tập M, nếu với mọi x ∈ M, tìm được xi
sao cho ||x − xi || < . Dễ thấy tập các điểm {xi : i = 1, . . . , n} là một
− lưới cho tập M khi và chỉ khi
min ||x − xi || < . với mỗi x ∈ M
i

Tính chất 1.5.9.