TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y =
1
x
x −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với
đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1).
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
3 2
cos cos
2 1 sin .
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
2. Giải hệ phương trình:
2
2 2
( ) 4 1

.
Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện
3ab bc ca
+ + =
, ta có:
2 2 2
1 1 1
1
2 2 2a b c
+ + ≤
+ + +
Câu VI: (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD.
Điểm M
1
(0; )
3
thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B
biết B có hoành độ dương.
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :
1
: 4
1 2
x t
d y t
z t
=


= −

2 . 8z z z z+ + =
và
2z z+ =
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:……………………………………………… SBD:………………
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
I-1
(1 điểm)
TXĐ : D = R\{1}
y’ =
2
1
0
( 1)x
− <
−
0,25
lim ( ) lim ( ) 1
x x
f x f x
→+∞ →−∞
= =
nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

0,25
Đồ thị :
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng
0,25
I-2
(1 điểm)
Với
0
1x ≠
, tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x
0
;
0
0
1
x
x −
) có phương trình :
0,25
0
0
2
0 0
1
( )
( 1) 1
x
y x x
x x
= − − +

1
IM x
x
= −
−
uuur
0,25
Để (d) vuông góc IM điều kiện là :

0
0
2
0
0 0
0
1 1
. 0 1.( 1) 0
2
( 1) 1
x
u IM x
x
x x
=

= ⇔ − − + = ⇔

=
− −


x
x
= −

⇔

= −

(thoả mãn điều kiện) 0,25
2
2
2
x k
x m
π
π
π π

= − +

⇔

= +


( )
,k m ∈Z
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
2
2

( ) 2 7
y
x y
x y xy x
x
x x y y x
y
x y
x

+
+ + =


+ + + =

⇔
 
+ − − =
+


+ − =


0,25
Đặt
2
1
,

x y x y x y
= =
  
+ = + = + − =

⇔ ⇔ ⇔
  

= − =
+ = = − = −

  
.
0,25
+) Với
5, 9v u= − =
ta có hệ:
2
1 9
5
y x
x y

+ =

+ = −

, hệ này vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
( ; ) (2;1), ( ; ) (5; 2).x y x y= = −

1
2( )
3
t
t= − =
0,25
2(2 2)
3
−
=
0,25
IV
(1 điểm)
Gọi I là trung điểm A’B’ thì
' ' '
' ( ' ')
' AA'
C I A B
C I ABA B
C I
⊥

⇒ ⊥

⊥


suy ra góc giữa BC’ và mp(ABB’A’) chính
là góc
·

⇒


(1)
0,25
·
·
· ·
0
' ( ) '
' 90 AM BI
ABM BB I c g c suy ra AMB BIB
suy ra AMB B BI
= − − =
+ = ⇒ ⊥
V V
.
Mặt khác theo chứng minh trên C’I
⊥
AM nên AM
⊥
( ' )C BI

Suy ra (AMC)
⊥
( ' )C BI
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
(MAC) (NPQ)⊥
0,25

x x x x
+
= + − − = − + ≥
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
0,25
VI 1
(1 điểm)
Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’
thuộc AB, ta có :
'
'
2 4
2 5
N I N
N I N
x x x
y y y
= − =


= − = −

0,25
Phương trình đường thẳng AB:
4x + 3y – 1 = 0
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB:
2 2
4.2 3.1 1
2
4 3

Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)
0,25
A, B, C thẳng hàng và AB = BC
⇔
B là trung điểm của AC
( 1 5 ) 2
4 (1 2 ) 2.(2 3 )
1 2 ( 1 ) 2( 3 )
t v u
t v u
t v u
+ − + =


⇔ − + + = −


− + + − + = −

0,25
Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0
Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1)
0,25
Đường thẳng ∆ đi qua A, B, C có phương trình