TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG
Kí hiệu Tên gọi Diễn giải
Đ
∆
Phép đối xứng trục ∆
Đối xứng
Đ
O
Phép đối xứng tâm O Đối xứng
v
T

Phép tịnh tiến theo vectơ
v

Tịnh tiến
),(
α
O
Q
Phép quay tâm O, góc quay a Quay
),( kI
V
Phép vị tự tâm I, tỉ số k Tịnh tiến
(a) hoặc mp(a) Mặt phẳng a
A ∈ (a)
Điểm A thuộc mp(a) hay A nằm trên (a) hay
(a) chứa A hay (a) qua A
A ∉ (a)
Điểm A không thuộc (a) hay A không nằm

• Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược
hướng và cùng độ dài. Vectơ đối của vectơ
a

kí hiệu là -
a

;
vectơ đối của
MN
là
NM
nên ta có
NMMN
=−
.
• Hai vectơ
a

và
b

cùng phương ∃k ∈ R:
a

= k
b

.
•

b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:
Cho hai vectơ
u

= (u
1
; u
2
),
v

= (v
1
; v
2
), ta có:
•
vu

+
= (u
1
+ v
1
; u
2
+ v
2
)
•

v
2
•
2
2
2
1
uuu +=

•



=
=
⇔=
22
11
vu
vu
vu

Cho hai điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
;y
B

• Phương trình tham số của đường thẳng ∆:



=
b)(a;VTCPcoù
)y;M (xquañi
00
u
là ∆:



+=
+=
btyy
atxx
0
0
.
• Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆:



= B)(A;VTPTcoù
)y;M(xquañi
00
n
là: A(x - x
0

C
1
).
• Đường thẳng vuông góc đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 có dạng: -Bx + Ay + C
2
= 0.
3. Đường tròn:
• Đường tròn (C):



Rkínhbaùn
baItaâm );(
có phương trình: (x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
.
• Phương trình x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi
a
2
+ b
2
- c > 0. Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán kình là R =


4
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11

6
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

7
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
được gọi là vectơ tịnh tiến.
• Vậy:
vMMMMT
v


=⇔= '')(
• Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất.
 Cho hai tam giác đều ABE và BCD
bằng nhau. Tìm phép tịnh tiến biến ba
điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm
B, C, D.
Phép tịnh tiến theo vectơ
v

biến hình H thành
hình H'
Ví dụ: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép tịnh theo vectơ
v

II- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Nếu
')( MMT
v
=

,
')( NNT
v
=

T

)
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

= (1; 2). Tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của
điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến
v
T

.
9
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v

= (-2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x -
5y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến
v
T

.
Giải: Ví dụ2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4
= 0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

= (-2; 3).
10
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
Giải:
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11 BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ
AD
.
12
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác đinh ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh
tiến theo vectơ


.
c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo
v

.
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)
2
+ (y + 2)
2
=
9. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

= (-2; 5).
Bài 6: Chứng minh rằng: M' =
)'()( MTMMT
vv

−
=⇔
.
Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a
thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho
v

= (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 3 = 0,
đường thẳng d

13
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11

14
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
I- ĐỊNH NGHĨA:
Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm
M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép
đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục.
Đường thẳng d được gọi là trục của phép
đối xứng trục hoặc đơn giản là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là
Đ
d
.
Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H' qua
d, hay H và H' đối xứng với nhau qua d.
* Nhận xét:
• Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M
0
là hình chiếu vuông góc của M trên đường
thẳng d. Khi đó: M' = Đ
d
(M)
MMMM
00

d
:
15
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox
trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm
M(x; y), gọi M' = Đ
d
(M) = (x'; y') thì:



−=
=
yy
xx
'
'
Biểu thức tọa độ của phép Đ
Oy
2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy
trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm
M(x; y), gọi M' = Đ
d
(M) = (x'; y') thì:



=
III- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có
cùng bán kính.
IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH:
Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d
biến H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.
Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) của các hình sau đây:
 Ghi chú:

qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 5: Trong các chữ cái sau đây, chữ nào có trục đối xứng?
V I E T N A M W T O
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 =
0. Tìm ảnh của M qua Đ
d
.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x - 5y + 7 = 0 và đường
thẳng d' có phương trình 5x - y - 13 = 0. Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d'.
Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng.
Bài 4: Cho hai đường tròn (C) và (C') có bán kính khác nhau và đường thẳng d. Hãy dựng
hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C) và (C') còn hai đỉnh kia nằm trên d.
18
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
là phép đối xứng tâm
O.
 Cho hai điểm A, B bất kì và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Tìm ảnh của A, B
qua phép quay tâm O, góc quay -90
0
. Chứng minh AB = A'B'.
II- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng
thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam
giác bằng nó, biến đường tròn thành đường
tròn có cùng bán kính.
* Nhận xét: Phép quay góc a với 0 < a < π,
biến đường thẳng d thành đường thẳng d' sao
cho góc giữa d và d' bằng a (nếu 0 < a ≤
2
π
),
hoặc bằng π - a (nếu
2
π
≤ a < π).
Ví dụ1: Cho tam giác ABC và điểm O nằm khác phía với điểm C so với đường thẳng AB.
Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 60
0
.
Giải:
20
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11 21
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11 BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O.
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 90
0
.
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y
- 2 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm
ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB.
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 120
0
.
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 60

Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì MN = M'N'.
* Nhận xét:
1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là các
phép dời hình.
2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một
phép dời hình.
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Tìm ảnh của ∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép quay tâm B góc 90
0
và phép tịnh tiến theo vectơ
AB
.
 Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm ảnh của các điểm A, B, O
qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép
đối xứng qua đường thẳng BD.
II- TÍNH CHẤT:
Phép dời hình biến:
1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;
2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
3) Tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó;
4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
* Chú ý:
a) Nếu một phép dời hình biến tam
giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng
biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn
nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương
ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các
đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác


 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,
CD, BC, EF. Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH.
III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU:
Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau
nếu có một phép dời hình biến hình này thành
hình kia.
 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là
trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.
 Ghi chú:

25