Trang 1/5

Câu Đáp án Điểm

1
(5.0 điểm)

1. (3.0 điểm) Xác định m …
Hoành độ giao điểm của d và
m
(C )
là nghiệm của phương trình:
2
1
3 2
3 3
1
3 3 1 0 1
x
x m
x m
m
mx
g(x) x mx ( )

 


  



m

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


(luôn đúng)
Vậy d luôn cắt
m
(C )
tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m khác 0.
1.0
Giả sử
3 3 3 3
A A B B
A(x ; x m),B(x ; x m)
  với
A B
x ,x
là hai nghiệm của (1)

m
S d(O;AB).AB m


    
1.0
Mặt khác ta có:
0 0 3
C(m; ),D( ; m)

với
0
m

.
Tam giác OCD vuông tại O
1 1
3
2 2
OCD
S OC.OD m . m

   
0.5
2
3
1 40
2 10 3
2 3
10


0.5
Khi đó:
2
0 0
0
2 4
x y
y '
a a
x y

  

 


    



Giả sử ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là:
2 2
0 0
2 4 2 4
a a a a
A( ; ), B ; , C ;
   
 
  

Môn: TOÁN; Khối 12
(Đáp án – thang điểm gồm 05 trang)
Trang 2/5

4
2 0
8
a
a a
   
3
0
8 0 2
2
a
a(a ) a
a


      

 

(thỏa mãn (*)) (đpcm)
0.5
2
(5.0 điểm)

1. (2.5 điểm) Giải phương trình:
PT



1.5
Giải (*)
1 3
2 2
2 2 3
cosx sinx cos x cos x cos x
 

     
 
 2 2 2
3 3
2
2 2
3 9 3
x x k x k
k
x x k x
 
 
       
 
 
 
  





3 3 2 2
2 2 6 9 6 9
x y x y ln y y ln x x
         



3 2 3 2
2 6 9 2 6 9
x x ln x x y y ln y y
         

0.5
Xét hàm số:


3 2
2 6 9
f (t) t t ln t t
    
với
t

3 3
1 1
1 1 0
9 9
g'(u)
(u )
     



Hàm số g(u) đồng biến trên
0 0 0
[ ; ) g(u) g( )
   

Suy ra:
2
3 0
f '(t) g(t )
  
Hàm số f(t) đồng biến trên
.


Mà 1
( ) f(x) f(y) x y
   


61
31 102 1728 31 1830 0
30
x
x x x x
x

 
        




0.5
Thử lại ta thấy
61 30
x ; x
  
là nghiệm của phương trình.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
30 30 61 61
( ; ),( ; ).
 

0.5
Trang 3/5
3
(3.0 điểm)

Tìm tọa độ giao điểm …

2 2 1
I( a ;a) d (a )
  

Do
2
d
tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên:
2
d(I;d ) r


6 2 6
3 2 2 3 6
3
1
3 6 6 6
3
3
9 9
2
( a ) a
a (loaïi)
a
a (tm)


  
 


4 4
2 2 2 2 2
3 15
( y ) (y ) (y )
       2 4
2 2
15 15
y x     

Vậy tọa độ giao điểm của
1
d
và (C) là:
2 4 2 4
2 2 2 2
15 15 15 15
; , ;
   
   
   
   

1.0
4
(3.0 điểm)

Tìm

2 2 2 2 2 2 2
2
2 1 2
1 2
a
h tan a h h ( tan ) a h
tan
         
 

Suy ra:
 
2 2
2 2 2 2 2
2
4
2 4
1 2
a tan
BC a h h tan
tan

    
 

1.0
Do hình chóp đều nên H là giao
điểm của AC và BD.
Gọi M là trung điểm của CD


1 1 4
3 3
1 2
S.ABCD
a tan
V SH.BC
( tan )

  
 Đặt
2
1 2
t tan
  
với
3
2
1 2 1
1
2 3
S.ABCD
t a t
t ( ; ) tan V
t t
 
       


 
 

 
      

Bảng biến thiên:
Vậy
3
1
4
9 3
S.ABCD
( : )
a
V max=max f (t)


khi
3 1 45
o
t tan .
      


1
( x) C C x C x C x C x
      
2014 0 1 2 2 3 2013 2014 2014 2015
2014 2014 2014 2014 2014
1
x( x) C x C x C x C x C x
       


0.5
Lấy đạo hàm hai vế ta được:
2014 2013
1 2014 1
( x) ( x) .x
  

0 1 1 2 2 2013 2013 2014 2014
2014 2014 2014 2014 2014
2 3 2014 2015
C C x C x C x C x
     


0.5
Lấy
1

3
5
C
cách.
Xếp 2 chữ số còn lại vào 2 vị trí còn lại có: 2 cách.


Số các số thỏa mãn TH1 là:
3
5
3 2 60
.C .

(số)
0.5
▪ TH2: Hai chữ số còn lại là chữ số a, b hoặc b, c hoặc c, a có: 3 cách.
Xếp hai chữ số giống nhau thứ nhất vào 2 vị trí trong 5 vị trí có:
2
5
C
cách.
Xếp hai chữ số giống nhau thứ hai vào 2 vị trí trong 3 vị trí còn lại có:
2
3
C
cách.
Xếp chữ số còn lại vào có: 1 cách.

Số các số thỏa mãn TH2 là:
2 2

6
(1.5 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của k …
Ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y y z z x
P
y z x
        
  
2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y z
x y z
 
 
     
 
 
 
 
(1)
0.5
Mà:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y y z z x
y z x

x y z
 
        
 
 

0.5
Ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 4
( )
xy yz zx
x y z
     2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3
x y z xy yz zx x y z
   
        
   
   
(5)
0.5
Từ (3), (4), (5) suy ra:
3 1 2 3 1
P .